Simulation des pertes par rayonnement aux lèvres

Nous avons présenté à la section 2.5.4, un modèle simple mais peu réaliste des pertes aux lèvres qui se limite à des pertes résistives. Le coefficient de réflexion est réel et vaut -0.9. En pratique, il existe des pertes d’énergie aux lèvres. Ces pertes dépendent de la fréquence. Un modèle de rayonnement aux lèvres, proposé par Flanagan (1972), considère que la réflexion aux lèvres dépend de la fréquence. Plus récemment, un modèle similaire a été proposé par Deng et al. (2006).

La fonction de transfert en z dans le domaine discret du filtre proposé par Flanagan s’exprime à partir de sa fonction de transfert continue au moyen d’une transformation bilinéaire. Le signal de parole à la sortie des lèvres est obtenu par filtrage de la composante de pression incidente du dernier tube par le filtre de transmission T(z) = l+/?(z) où R(z) est le filtre de réflexion.

Une troisième approche consiste à simuler la propagation tridimensionnelle de Fonde acoustique à la sortie des lèvres. La méthode consiste à placer un cône à l’extrémité du conduit. La pression acoustique transmise à partir des lèvres est calculée en se basant sur les lois de la propagation tridimensionnelle de Fonde acoustique dans le cône. Dans la suite, nous traitons les deux modèles de rayonnement aux lèvres.

modèle : Filtre de réflexion

Le filtre qui simule la réflexion aux lèvres est excité par la composante de pression à la sortie du dernier tube d’indice M du conduit et émet à sa sortie la composante de pression réfléchie à l’intérieur de ce tubep^^. La composante de pression rayonnée à l’extérieur est obtenue à l’aide du filtre de transmission.

Une description complète du modèle temporel de rayonnement aux lèvres est donnée par Flanagan et Rabiner (1972). L’expression de l’impédance aux lèvres dépend de la fréquence et est donnée par l’équation (2.76). La résistance Ri et l’inductance Z, sont données par (2.77) et (2.78) où c est la vitesse du son, est le rayon du dernier tube déduit de sa section et son impédance.

j(oR,L,

R, + jo)Li (2.76)

R,= 128Z^

_

'Stic

(2.78) Pour transformer l’impédance en une impédance discrète, nous utilisons la transformation bilinéaire. Posons p - jco alors

ZrM =

P^iL,

En utilisant la valeur de la période R, +pL,

d’échantillonnage , nous effectuons le changement de variable donné par :

2 1-z-' P =

T\+z'

Ainsi, nous obtenons la version discrète de l’impédance aux lèvres par sa transformée en z selon (2.79).

Z,(z) = ^{2F^R,L,-2F^R,L,z-'}

R,+2F,L^+iR,-2F^L,)z-' (2.79)

Nous exprimons enfin le filtre discret qui régit la réflexion de la pression acoustique aux lèvres en fonction de l’impédance aux lèvres et de l’impédance du dernier tube M par (2.80).

R Z, (z)

Z,(^) + Z^ (2.80)

En effectuant le changement de variable suivant : \R,=R'-Z^

\2F,L, = L'.Z^

Nous pouvons écrire le filtre de réflexion sous la forme (2.81).

R(z)^ ^{-R'-L' + RT -{R'-L' + R'L')z-^}

R' + L' + R'L' + {R' -L'- R'L')z-' ^(2.81)

Si on pose les coefficients :

«2 =-R'-L' + R'L' ûj =-R' + L'-R’U Z>2 = R'+ L' +R'L' b^ =-R' + L' + R'L'

avec les valeurs de résistance et impédance modifiées suivantes : ^ et L' = 2F, —

9ti^ Stic

-1

b-, - b,Z (2.82)

Ce qui exprime la composante de pression réfléchie à l’intérieur du tube M par (2.83) et la composante de pression rayonné vers l’extérieur par (2.84). (2.83) Pm ~ , (Pm -^2 PMprev '^1 ^ PMprev ) t>2 Pou, ^Pm+Pm ^^(Pou,^preyA + K'(^2 + «2 ) +)) (2-84) bi

P OUI _ prev ’ PMprev et PMprev sout Ics valcurs deP„„,, et à l’itération précédente. La figure 2.25 illustre la réponse en fréquence du filtre de réflexion aux lèvres simulé pour la fréquence d’échantillonnage Fs = 88.2 kHz et la figure 2.26 illustre la réponse en fréquence du filtre de transmission correspondant.

Figure 2.26 : Réponse en fréquence du filtre de transmission T

2®""' modèle : Connexion d’un cône à l’extrémité du conduit Pour le 2®"’® modèle, nous plaçons un cône à la sortie des lèvres pour simuler la propagation tridimensionnelle de fonde acoustique. Ainsi, nous passons d’une propagation unidimensionnelle à l’intérieur du dernier tube du conduit vocal à une propagation tridimensionnelle à l’extérieur du conduit.

Pour simuler cette transition entre deux espaces de dimensions différentes, nous commençons par étudier la propagation de fonde acoustique dans deux troncs de cônes qui ont le même axe (figure 2.27). Les sommets des cônes M et N sont distants de et du plan d’intersection. Nous faisons ensuite tendre la distance vers l’infini pour retrouver la forme du dernier tube cylindrique M du conduit vocal. La composante de pression rayonnée est celle dans le cône N.

Cône M Cône N

Figure 2.27 : Jonction entre deux tubes coniques de différentes sections à la jonction. Ici, < 0 et > 0 .

Vu que le cône présente une symétrie de révolution, Fonde de pression acoustique p qui s’y propage n’est fonction que du temps et de la distance r qui la sépare du sommet du cône. Par conséquent, l’équation de d’Alembert qui régit la propagation de la pression acoustique, dans ce milieu, s’exprime dans le domaine temporel par (2.85).

d\rp)

dt^ dr^ (2.85)

L’équation (2.85), à une dimension spatiale r, possède une solution générale de la forme (2.86). La pression est donc la somme d’une composante sphérique divergente — p^ qui se propage à la vitesse c et

r

dont l’amplitude décroit en — et d’une composante sphérique r

convergente qui se propage à la même vitesse et décroit également en — . r

p{r,t)^-p^{r-ct) + -p {r + ct)

(

.

)

A la jonction entre les deux cônes, nous exprimons les conditions de continuité de la pression et du débit par le système (2.87).

Pm 0 + Pm ir, t)^ pl{r,t) + pf^ {r, t)

K ir,t) - ulf {r,t) = {r,t) - u~ (r,t)

(2.87)

L’admittance acoustique des ondes sphériques, dans des tubes coniques dépend de la fréquence (Kinsler et Frey, 1950). Cette admittance relie le débit à la pression acoustique. Son expression dépend du sens de propagation des ondes acoustiques. Elle est exprimée respectivement dans les cônes M et N par (2.88) et (2.89).

(2.88)

Pm p.c _(O-^M

Un

(2.89)

Pn p.c COJTn

Par substitution des équations (2.88) et (2.89) dans le système (2.87), nous obtenons les équations (2.90) qui expriment les composantes de pression réfléchies en fonctions des composantes incidentes à la jonction entre les deux cônes.

•«

7^(^)-7;(ru) ^ Y;iœ) + Y-(oy)

+ Y-(co) + Y^(co)^P~n{(o) y:, {ai) + Y-{CO) Y;,{co) + Y-{(o)^{Pm{o}) +} Y-{co)-Y-{co) y; {CO) + Y-{CO) P~n{0}) (2.90)

Les fonctions de réflexion et de transmission à la jonction s’expriment par :

L-(.) = WzW

y;,{co)+y-{co)

[ Y-{CO) + y;, {CO)

y; {CO) ^ Y-{CO)

Y-{(O) + y; {CO)

' TUo) +

y;{co) + Y-{w)

(2.92)

Par substitution des expressions des admittances de (2.88) et (2.89) dans (2.91) et (2.92), nous obtenons les formules générales des fonctions de réflexion et de transmission par (2.93) et (2.94). est le rapport

g

des sections à la jonction : ^ et a est un coefficient qui vaut

a= (^-^) R*(co) = ^^ L V+1 r{co) T-{co) 2B B + \⁽1 -____ -____-_______ +i)(y^ + «) 2a (Smn +\){jo) + a) --- ) = l + i?^(dy) jco + a —) = l + /?"(ft;) jco + a (2.93) (2.94)

La Jonction entre deux cônes se caractérise donc par des filtres de réflexion qui dépendent de la fréquence à la place de simple coefficients réels de réflexion dans le modèle de KL. Nous pouvons retrouver les coefficients de réflexion et de transmission à la jonction entre deux tubes cylindriques si les distances et tendent vers l’infini.

Dans le système (2.90), nous supposons que la composante de pression pj, est nulle. Pour calculer la composante de pression réfléchie vers l’intérieur du tube M ainsi que la composante de pression rayonnée vers l’extérieur, il faut commencer par discrétiser le filtre de réflexion

R*{co) . En posant p = jco, le filtre R^(p) s’écrit :

R^(P) ^MN ^_________________

^MN ^ (*^A«V ■*" OC/* +

(2.95) L’expression du filtre de réflexion discret est obtenue à l’aide de la méthode de l’invariance impulsionnelle par (2.96). T est le pas

S — 1 d’échantillonnage et R^f^ =

a.T.{\ + )

1 (2.96)

Dans le cas où le dernier tube est cylindrique c’est-à-dire tend vers moins l’infini, le coefficient a s’écrit :

a = c

2.r„ (2.97)

L’évolution de la composante de pression réfléchie à l’intérieur du dernier tube du conduit vocal est donnée par (2.98) et la composante de pression rayonnée vers l’extérieur est donnée par (2.99).

Pm («) = «2 -pli («) + «I -Pw (« -1) + K .plf {n -1) (2.98)

pI («) = -pI («-!) + (! + Û2 )-Pm (n) + ia^ - è, ).pl^ (n -1) (2.99)

Avec a^=R^~ ai (1 + )

0\ = —Rmn ^

b, = e-‘^‘

La figure 2.28 montre la réponse en fréquence du filtre de réflexion aux lèvres R* {p) pour différentes ouvertures du cône à la sortie des lèvres. Le rapport de sections 5^ est pris égal à 0.9. La fréquence d’échantillonnage est égale à 88.2 kHz.

-25

0 0.5 1.5 2 2.5

Hz

3.5 4 4.5

X lO"

Figure 2.28 : Réponse en fréquence du filtre de réflexion R pour différentes ouvertures du cône en degré

35

Figure 2.29 : Réponses en fréquence du filtre de transmission T pour différentes ouvertures du cône en degré

Effet de l’ouverture du cône aux lèvres

Les tableaux (2.5), (2.6) et (2.7) montrent l’effet de l’ouverture du cône aux lèvres sur les formants du conduit, pour un rapport = 0.9.

Ouverture en degré Fl F2 F3 F4 F5

Modèle sans pertes 806 1205 2877 3417 4563

80 801 1193 2862 3414 4524 70 794 1173 2840 3411 4471 60 788 1152 2819 4409 4432 50 777 1130 2803 3406 4416 45 771 1118 2797 3405 4420 Modèle de Flanagan 772 1118 2772 3401 4275 40 764 1105 2795 3405 4439

Tableau 2.5 : Evolution des cinq premières fréquences des formants pour la voyelle [a] en fonction de l’ouverture du cône.

Angle en ° Fl F2 F3 F4 F5 80 258 1182 2448 3701 4842 70 257 1165 2448 3701 4839 60 256 1145 2448 3701 4836 50 255 1121 2448 3701 4833 45 254 1108 2448 3701 4832 Modèle de Flanagan 254 1101 2448 3701 4828 40 253 1092 2447 3701 4830

Tableau 2.6 : Evolution des cinq premières fréquences des formants pour la voyelle [u] en fonction de l’ouverture du cône.

Angle en ° Fl F2 F3 F4 F5 80 225 2481 3543 3973 4788 73 225 2481 3501 3949 4771 65 225 2488 3443 3923 4750 55 224 2486 3370 3895 3724 45 224 2484 3870 4699 Modèle de Flanagan 224 2483 3175 3863 4667 Tableau 2.7 : Evolution des cinq premières fréquences des formants

pour la voyelle [i] en fonction de l’ouverture du cône.

L’ouverture progressive du cône à la sortie des lèvres a un effet croissant sur les valeurs des fréquences des formants. Pour une ouverture du cône de 45°, nous remarquons que les valeurs des fréquences des cinq premiers formants sont très proches des valeurs trouvées par le modèle de Flanagan malgré que les réponses en fréquence ne correspondent pas. Dans la suite, nous utilisons le modèle de Flanagan pour simuler le rayonnement aux lèvres.