2. Le synthétiseur
2.7. Modèles des pertes dans le conduit vocal
2.7.1. Simulation des pertes par vibration des parois
Les parois du conduit vocal ne sont pas rigides. Elles se déforment sous l’influence de la pression acoustique qui règne à l’intérieur (Fant, 1972). La figure 2.17 illustre cette déformation. L’aire S(x,t) d’une section donnée devient une fonction du temps.
> r{x,t)
Figure 2.17 : Effet de la vibration des parois.
Si 5'o(x,t)et C^{x,t) sont respectivement les valeurs de faire et de la circonférence d’un tube élémentaire avant déformation alors l’expression de la section réelle à un instant t est donnée selon l’équation (2.42). r(x,t)est le déplacement de la paroi du tube par rapport à sa forme initiale.
S{x,t) = 5'o(x,t) + A'(x,OC'o(x,/) (2.42)
Par analogie aux systèmes mécaniques, chaque élément de paroi peut être assimilé à une masse M^ reliée à la paroi par un ressort, de raideur b^, qui oscille localement sans liaison ni couplage avec les éléments voisins. Les fréquences d’oscillations propres à ce système sont très faibles (Fant, 1972). Dans ces conditions, r{x,t) obéit à l’équation de mouvement donnée par (2.43).
d^r dr
M n T +
---^ ôt---^ dt (2.43)
D’autre part, dans ce cas de tube non rigide, les équations de Webster s’expriment par le système (2.44).
dp _ ô (u^ dx ^
du _dS 1 d(pS) dx dt P dt
(2.44)
En substituant l’aire S(x, t) de (2.42) dans la deuxième équation du système (2.44), nous obtenons :
dp _ d (u'' dx ^ dt yS y
- — = C ^ I *^0 ^^1 ^0
dx ^ dt P dt P dt
(2.45)
Pour pouvoir remplacer le déplacement r par sa valeur dans le système (2.45), il est approprié de passer à la représentation dans le domaine fréquentiel de l’équation (2.43) donnée par (2.46).
r
=
___________P___________{jCDŸM ^ +{jCû)bp
(2.46)À partir de (2.46) et après avoir négligé les termes de second ordre de (2.45), nous obtenons le système (2.47) suivant régissant l’évolution de la pression et du débit d’air à la jonction. Dans la deuxième équation de ce système, un terme supplémentaire, dû aux vibrations des parois, apparaît. dp . P --- = ICO — U dx Sq CqP du _ dx j(ûM+b^ + jco-p c (2.47) On pose : Z(co,x) - jco Y{o),x) = jco P So(x) So(x) Y,(co,x) = Cq jcoMp +bp
Finalement, l’impédance des parois, pour un tube élémentaire de longueur / et de circonférence Co, peut être représentée par la mise en série de deux impédances résistive et inductive dont les expressions sont données par (2.48). ZP _ resis ZP _ induc
II.
CoJ j(0-Lp C,1 (2.48)Plusieurs valeurs de et ont été proposées. Ici, nous présentons les valeurs de trois références différentes :
1)- Milenkovic et al. (1988) R P = bp = 1060 g.s~'.cm Lp =\-^g-cm ^ 2) - Ishizaka et al. (1975) R P =bp = 800g^.5'“’.c/w“^ Lp = M P =2.\.g.cm'^ 3) - Flanagan et al. (1972) Rp=bp = 65QQ g.s~\crrr^ Lp=^p=
Nous avons simulé les impédances inductive et résistive de (2.48) par la concaténation de deux tubes cylindriques élémentaires en dérivation à chaque jonction. L’extrémité du tube simulant la résistance Rp est ouverte vers l’extérieur alors que le tube simulant l’inductance pure Lp est directement connecté à la jonction. Le rôle de ces tubes ajoutés est de réaliser une chute de pression acoustique à chaque jonction.
Les sections Sr et Si de ces tubes sont inversement proportionnelles aux modules des impédances respectives. Les expressions des sections sont données par (2.49) et (2.50).
S. = P-c.Cq J.
S, = : aire du tube qui simule l’inductance. (2.50) Le coefficient de réflexion à la jonction entre ces deux tubes s’exprime par :
R. = VA
S^+S, (2.51)
Pour résoudre les équations de propagation en pression, on s’est basé sur la méthode de la propagation dans trois tubes comme montré à la figure 2.18 en exprimant les conditions de continuité à la jonction :
Figure 2.18 ; Jonction entre trois tubes cylindriques de différentes sections.
On a Pk = Pk^i = Pi
^k -w, =0
(2.52)
Ce qui donne le système d’équations (2.53) suivant :
jnk(^-^)-A(^+^)]->;.ik,(0-V(0]-i^k(0 ^2 53)
W +Pk ((+^)=Pm (0+Pm (0=PÎ (0+P7(t)
En résolvant le système d’équations (2.53) à trois inconnues qui sont les composantes réfléchies à la jonction, nous aboutissons à (2.54) :
Pk (^ + r) = r, pI (t-T) + (\ + r,,, )p;^^ (0 + (1 + r, )p' (t)
■ pL
(0
= (! + '■* )p1 (t-r) + (t) + (1 + r. )p' (t) (2.54) PÎk(0
= (! + '■* )K (^ - Î-)+
(1+
)p;+i(0
+ r,P7(0
avec les coefficients de réflexion à la jonction :
^ Y,,,-Y,-Y, s,,,-s,-s, ' Y,+Y,^,+Y, +h = 2S, et + '•*+1 = l + r = 25*+i Sk+Sk.^+S, 25, +‘S'i+i +S^
Finalement la solution (2.55) est donnée par :
Pk it + = TT—7^—TPPk {t-T^) + k+\ ^k + *^*+1 + ^k +'^*+1 +*^i
■p;+i(o+
25, 5'* + *^*+1 + S,■p;(t) p UO-p,i(0 = 25. ^k + “^*+1 + + / N *^* + 1 ~^k - / N ■Pk(f-'^) + TT ^ (0 + 25, 5,+5,„+5, + *^*+1 + p-{t) 25. + *^*+1 + Plit-T) + 25i+l ‘S'i + *^i+i + Si p7^^ (0 + 5'* + *^i+i + Si Comme l’extrémité du tube d’indice r est ouverte vers l’extérieur, nous supposons que la composante de pression p^* réfléchie vers l’intérieur du tube vaut 0. Par conséquent :p;(t) = K,PÎit-T) (2.56)
Effet de la vibration des parois sur les formants du conduit vocal: Les figures 2.19, 2.20 et 2.21 illustrent l’effet des pertes par vibrations des parois sur les fréquences des formants ainsi que sur les largeurs de bandes respectivement pour les voyelles [a], [i] et [u].
35
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fréquence (hfe)
Figure 2.19 : Effet des pertes par vibration des parois sur les fréquences des formants du conduit vocal pour la voyelle [a].
1
U 1D 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Fréquence (Ffe) 4500 5000Figure 2.20 : Effet des pertes par vibration des parois sur les fréquences des formants du conduit vocal pour la voyelle [i].
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fréquence (Hz)
Figure 2.21 : Effet des pertes par vibration des parois sur les fréquences des formants du conduit vocal pour la voyelle [u].
Voyelle [a] Fl F2 F3 F4 F5
Paroi rigide 806 1205 2877 3417 4563
Param. Flanagan 836 1207 2906 3446 4591
Param. Ishisaka 889 1239 2895 3440 4575
Param. Milenkovic 919 1251 2901 3449 4579
Tableau 2.2 : Fréquences des formants, en Hz, de la voyelle [a] dans le cas d’une paroi rigide et vibrante.
Voyelle [a] Fl F2 F3 F4 F5
Paroi rigide 43 60 39 128 45
Param. Flanagan - 162 120 292 109
Param. Ishisaka 65 64 39 128 45
Param. Milenkovic 99 74 41 132 46
Tableau 2.3 : Largeurs de bande des formants, en Hz, de la voyelle [a] dans le cas d’une paroi rigide et vibrante.
Le tableau 2.2 montre que la valeur de la fréquence centrale du premier formant de la voyelle [a] est plus sensible au phénomène de vibration des parois. Ce phénomène est également observé sur les spectres de la figure 2.20. Le tableau 2.3 montre une augmentation des largeurs de bande pour les premier et deuxième formants comme
conséquence de la vibration des parois. Cette augmentation est considérable pour les paramètres de Flanagan.
Nous avons obtenu des résultats semblables pour les voyelles [i] et [u]. En conclusion, tenant compte de l’effet de vibration des parois, un amortissement en basse fréquence de la réponse fréquentielle et donc un élargissement de la bande passante est constaté. Pour les trois voyelles étudiées, nous avons constaté l’augmentation de la fréquence centrale du premier formant essentiellement si elle est faible. Cette variation peut atteindre 130Hz dans le cas des voyelles [i] et [u] et elle est de l’ordre de 113 pour la voyelle [a]. Dans la suite, nous utilisons les paramètres de Flanagan pour la simulation des vibrations des parois.