Simulation électromagnétique paramétrée thermo-mécaniquement

Une approche qui se voudrait trop rigoureuse des simulations multiphysiques amène en fait de fortes imprécisions de simulation avec les outils numériques disponibles. Une technique de simulation répondant à la problématique de ce manuscrit, moins générique, a donc été développée, en limitant et réduisant nos objectifs.

L’évolution des dimensions et des caractéristiques électromagnétiques est paramétrée en fonction de la température de façon directe avec les outils de simulation électromagnétique classiques. Ce qui veut dire que la température est considérée comme étant homogène à l’intérieur du dispositif testé. Nous nous limitons donc à simuler l’impact de variations lentes de température d’ambiance. Cette approche permet de tester et confirmer le principe de compensation mis en œuvre dans la suite de ce travail ou d’estimer la dérive fréquentielle résultante en fonction des matériaux utilisés.

La Figure 52, présente le paramétrage d’un résonateur cylindrique constitué d’un matériau dont les caractéristiques sont connues. Le CET et le CTP sont déterminés avec les méthodes de caractérisation décrites dans la partie précédente. Les changements dimensionnels et de permittivité sont alors déterminés par les équations suivantes :

Figure 52 : Paramétrage en température d’un cylindre constitué

d’un matériau caractérisé

D(T)  =  𝐷(𝑇₀) + 𝐷(𝑇₀). CT𝐸_𝑥𝑦. (𝑇 − 𝑇0) (20)

𝐿(T)  =  𝐿(𝑇₀) + 𝐿(𝑇₀). CT𝐸_𝑧. (𝑇 − 𝑇0) (21)

ε(T)  =  ε(𝑇₀) + ε(𝑇₀). 𝑇𝐶𝑃. (𝑇 − 𝑇0) (22)

Cette technique est uniquement focalisée sur l’utilisation d’un outil de résolution électromagnétique et doit être paramétrée avec soin pour simuler des phénomènes de l’ordre du ppm. Pour une simulation électromagnétique classique, le maillage est généré et associé à une configuration géométrique : tout changement dimensionnel provoque la réalisation d’un nouveau maillage et un bruit de maillage de l’ordre de quelques MHz. Ce bruit masque en partie ou totalement les résultats de simulation car il est similaire à l’ordre des changements fréquentiels dans notre gamme de température.

La première solution a été de réaliser un maillage très fin permettant d’avoir un bruit de simulation beaucoup plus bas (de l’ordre du kHz). Cette méthode demande cependant des ressources numériques et un temps de simulation important car plusieurs maillages doivent être générés pour quantifier le bruit de simulation. Une meilleure solution, plus rapide et beaucoup moins exigeante en ressource, consiste à utiliser un maillage mobile. Ce principe, illustré en Figure 46, utilise une seule configuration de maillage pour les simulations à différents points de température. Le changement dimensionnel est pris en compte en étirant ou en modifiant légèrement les mailles. Le bruit de maillage est très fortement réduit et l’influence de la température peut être observée.

L’observation et la résolution du problème de maillage sont illustrées avec la Figure 53 pour le résonateur planaire en anneau précédemment mesuré. Sous CST, le maillage initial (sans optimisation ou raffinement) est conservé pour chaque simulation effectuée. La fréquence de résonance est relevée pour chaque élévation de température. Les CTE du RO4003C selon les orientations verticales et horizontales sont appliqués sur l’épaisseur du substrat et le diamètre de l’anneau. L’impact de l’option du maillage mobile27 est étudié sur la base du graphique (d) de la Figure 53.

Figure 53 : (a) CAO du résonateur planaire, (b) maillage appliqué sur la structure, (d) paramètres S simulés et (c) comparaison de l’évolution de la dérive fréquentielle en température avec ou sans le

maillage mobile et par rapport à la mesure en température effectuée.

Même avec des mailles assez grossières, il est possible de s’extraire du bruit de maillage, et d’obtenir un comportement similaire à la mesure grâce au maillage mobile. Sans cette option, les résultats sont trop bruités pour extraire une tendance d’évolution de la fréquence de résonance.

Cette méthode est appliquée aux autres dispositifs simulés de la partie précédente : la comparaison entre simulation et mesure est effectuée dans la Figure 54 et le Tableau 13. Le tableau présente les dispositifs précédemment mesurés et le type de modélisation réalisée pour la simulation des effets thermiques. Les dérives fréquentielles sont similaires et confirment l’intérêt de la technique de simulation avec un maillage mobile. Le f n’est pas calculé, car il n’apporte pas d’information supplémentaire : la simulation n’intègre pas les effets non-linéaires. De plus, le f compare les performances des résonateurs entre eux et il est moins pertinent dans le cas d’une comparaison entre simulation et mesure d’un même objet.

La Figure 54 présente la comparaison de la dérive fréquentielle en température, mesurée et simulée. Les coefficients thermiques d’expansion et de permittivité sont utilisés dans des formules linéaires, les résultats de simulation sont donc aussi linéaires. Le CTP est déterminé dans la partie précédente à partir d’une formule linéaire pour les résonateurs diélectriques (11). Malgré cela, nous observons une bonne concordance des évolutions fréquentielles, ce qui valide la méthode de simulation à partir des données expérimentales. Les simulations concordent sur l’intervalle de température sur lequel est défini le CTP. Il est donc essentiel de préciser l’intervalle de température utilisé pour toute expérimentation ou simulation.

Visualisation mesure fmesure / MHz (de 20 à 80 °C)

Visualisation simulation ^Méthode simulation fsimulation / MHz (de 20 à 80 °C) Cavité en cuivre ^-9,896 Résolution mode propre de la cavité avec CTEcuivre

-9,974 Résonateur planaire à anneau -10,125 Résolution excitation forcée avec CTEsubstrat -10,800 Echantillon RD1 ^7,675 Résolution mode propre avec CTERD et CTPRD 8,394 Echantillon RD2 ^-0,046 Résolution mode propre avec CTERD et CTPRD -0,023

Tableau 13 : comparaison des dérives fréquentielles en température, mesurés et simulés

Figure 54 : dérive fréquentielle en fonction de la température, mesurée et simulée, des échantillons de résonateur diélectrique et du résonateur planaire en anneau

Cette approche valide par une simulation peu coûteuse (en temps et en ressource) une technique de compensation ou une observation de la dérive fréquentielle, en fonction des matériaux utilisés. Cette simulation est limitée : les phénomènes non-linéaires ne sont pas pris en compte et nous n’avons pas d’indication de répartition des températures ou des forces de déformation dans le dispositif. Cela ne permet pas d’anticiper le comportement des interfaces ou les assemblages de matériaux, zones généralement sensibles. L’utilisation de formes géométriques relativement simples est nécessaire pour que l’utilisateur puisse anticiper et paramétrer la dilatation de manière intuitive.

Cette simulation est réalisable à partir des données matériaux qui ont pu être caractérisées avec les techniques de la partie précédente. Les paramètres à connaître sont donc limités et l’utilisation du maillage mobile permet l’évaluation d’un comportement en température. La fiabilité de cette approche repose sur le fait que les paramètres de simulation proviennent de caractérisations de matériaux par des mesures précises.