Simplification de la d´ependance spatiale de hd 2

(r)iEλ (2.72)

– Pour une grande surface Eλ, le membre de gauche de la condition (2.72) est un o(1/v2(λ)) en utilisant l’´equation (2.36) , tandis que celui de droite est un O(1/v2(λ)) en utilisant l’´equation (2.35) ; donc la condition (2.72) est satisfaite.

– Pour une surface Eλ, proche de l’ellipso¨ıde confocal compl`etement aplati, le vecteur hd0(r)i<sup>dg</sup><sub>E</sub>λ tend `a la limite vers un vecteur colin´eaire `a U, compte tenu de la d´efinition (2.69) de ce vecteur ; puisque les vecteurs U et V sont orthogonaux, le membre de gauche de la condition (2.72) tend vers z´ero. En revanche, le membre de droite tend vers une limite non nulle finie ou infinie, selon le cas consid´er´e (voir les ´equations (2.384, (2.53),(2.64),(2.65)3,(2.66)2). Donc la condition (2.72) est encore remplie. – La condition (2.72) ´etant ainsi remplie lorsque la surface Eλ est soit ´eloign´ee soit

proche de l’ellipso¨ıde confocal compl`etement aplati, elle doit ˆetre approximativement satisfaite pour toutes les positions de cette surface.

– De plus, dans les cas des sph´ero¨ıdes allong´es ou aplatis, le membre de gauche de la condition (2.72) est exactement nul. En effet, la direction du vecteur hd0(r)i^dg_Eλ

∈ R3 est ind´ependante de v(λ) dans ces deux cas pour des raisons de sym´etrie (hd0

yy(r)i^dg_Eλ = hd0

zz(r)i^dg_Eλ = −¹₂hd0

xx(r)i^dg_Eλdans le cas d’un sph´ero¨ıde allong´e, hd0

xx(r)i^dg_Eλ = hd0

yy(r)i^dg_Eλ = −1 2hd0

zz(r)i^dg_Eλ dans le cas d’un sph´ero¨ıde aplati ), et il s’ensuit que ce vecteur est perpendiculaire `a V non seulement dans la limite v(λ) → 0, mais aussi pour toutes les valeurs de v(λ).

Avec cette approximation, l’´equation (2.71) devient : hd²eq(r)iEλ ≃ ²₃A²hd⁰eq

2

(r)iEλ+ ⁴

3ABhd0

(r)i^dg_Eλ.U + ∆²_eq (2.73)

2.6.2 Simplification de la d´ependance spatiale de hd

(r)i

Nous allons maintenant suivre `a partir de maintenant la d´emarche adopt´ee par [Go-loganu et al., 1994] dans le cas des cavit´es aplaties ; la transition au cas g´en´eral ne va

introduire aucune nouveaut´e majeure. En notant L la racine carr´ee de la limite d´efinie par l’´equation (2.38), on introduit la nouvelle variable

w ≡ ¹

3v(λ)/2 + χ/L ^(2.74)

o`u χ est une constante de l’ordre de l’unit´e. L’avantage d’introduire un tel changement de variable, avec une telle constante ajustable, apparaˆıtra plus loin. Notons que lorsque v(λ) varie entre 0 et +∞, w varie entre L/χ et 0.

Nous allons maintenant ´ecrire les quantit´es hd0 eq

2

(r)iEλ et hd0(r)i^dg_Eλ.U sous la forme sui-vante, qui d´efinit les fonctions F (w) et G(w) :

hd⁰eq 2

(r)iEλ ≡ F²(w)w², ⁴

3ABhd0

(r)i^dg_Eλ.U ≡ 2F (w)G(w)w² (2.75)

Aussi, puisque la base (U, V) est orthonorm´ee, l’´equation (2.70)1 implique que :

∆²_eq = ² 3^∆ dg.∆^dg+⁴ 3^(∆ 2 xy + ∆²_yz+ ∆²_zx) = ² 3(B²+ C²) + ⁴ 3^(∆ 2 xy + ∆²_yz+ ∆²_zx) (2.76) Avec ces notations, l’´equation (2.73) devient :

hd²eq(r)iEλ ≃ A²F²(w)w²+2B2 3 + 2ABF (w)G(w)w²+2C2 3 ⁺ 4 3^(∆ 2 xy+ ∆²_yz+ ∆²_zx) (2.77) Ceci peut encore s’´ecrire sous la forme :

hd²eq(r)iEλ ≃ [AF (w) + BG(w)]²w²+ ² 3B²H²(w) + 2C2 3 ⁺ 4 3^(∆ 2 xy + ∆²_yz+ ∆²_zx) (2.78) o`u H²(w) ≡ 1 − ³ 2^G 2(w)w² (2.79)

La quantit´e H2(w) est bien positive puisque la forme quadratique des variables A, B, C, ∆xy, ∆yz, ∆zx d´efinie par l’´equation (2.78) est d´efinie positive. Nous introduisons l’ap-proximation finale suivante :

A3 : Les fonctions F (w), G(w), H(w) de l’´equation (2.78) peuvent ˆetre remplac´ees par les valeurs moyennes F , G, H.

Justification de l’approximation A3

– Consid´erons d’abord la fonction F (w), d´efinie par l’expression (2.75)1 de hd0 eq

2

(r)iEλ. • Lorsque v(λ) → +∞, w ∼ 2/(3v(λ)) → 0 grˆace `a l’´equation (2.74). Ainsi l’´equation (2.75)1devient hd0

eq 2

(r)iEλ ∼ 4F2(0)/(9v2(λ)). En comparant cette derni`ere avec l’´equation (2.36), on a :

• L’´etude de la limite de F (w) pour v(λ) → 0 exige de distinguer entre les diff´erents types de g´eom´etrie.

◮ Pour un ellipso¨ıde g´en´eral ou un sph´ero¨ıde aplati, au voisinage de l’ellipso¨ıde confocal compl`etement aplati (v(λ) → 0), w tend vers la limite L/χ de sorte que hd0

eq 2

(r)iEλ tend vers la limite F2(L/χ)L2/χ2, qui doit ˆetre identifi´ee `a L2 d’apr`es l’´equation (2.38)4; il vient par cons´equent :

F (L/χ) = χ (2.81)

Les ´equations (2.80) et (2.81) montrent que quand w varie dans l’intervalle (0, L/χ), F (w) varie de 1 `a χ. Puisque χ est de l’ordre de l’unit´e, cette variation est modeste, ce qui justifie le fait que l’on puisse remplacer F (w) par une constante.

◮Dans le cas d’un sph´ero¨ıde allong´e, L = +∞ donc w = 2/(3v(λ)) pour toute valeur de v(λ). Ainsi, au voisinage de l’ellipso¨ıde confocal compl`etement aplati (v(λ) → 0), w tend vers +∞ et hd0

eq 2

(r)iEλ ∼ 4F2(+∞)/(9v2(λ)). En comparant avec l’´equation (2.64) on voit que :

F (+∞) = √

3

2 ^(2.82)

Ainsi la fonction F (w) varie encore modestement sur l’intervalle de d´efinition (0, +∞) de w, de 1 `a √

3/2 ≃ 0.87, donc elle peut encore ˆetre remplac´ee par une constante.

◮ Dans le cas sph´erique, on a encore w = 2/(3v(λ)) puisque L = +∞. Ainsi les

´equations (2.66)2 et (2.75) impliquent que F (w) est rigoureusement constante et ´egale `a 1 pour toute valeur de w.

– Consid´erons maintenant la fonction G(w), d´efinie par l’expression (2.75)2de hd0(r)i^dg_Eλ.U. • Pour une grande surface Eλ(v(λ) → +∞), notons qu’`a partir de l’´equation (2.80), on trouve 4

3hd0(r)i^dg_Eλ.U ∼ 2G(w)w2. On montre en comparant cette expression avec l’´equation (2.35) que : G(w)w² = o  1 v(λ)  , w → 0 (2.83)

Par cons´equent, dans cette limite, [⁴₃hd0(r)i^dg_Eλ.U]2 ∼ [2G(w)w2]2 = o(w2) est beau-coup plus petit que hd0

eq 2

(r)iEλ ∼ 4/(9v2(λ)) ∼ w2. En appliquant la propri´et´e pr´ec´edente aux coefficients de A2, B2 et AB dans la forme quadratique (2.77) d´efinissant hd2

eq(r)iEλ, il en r´esulte que l’on peut n´egliger le terme en AB au voi-sinage de l’infini (w → 0). La propri´et´e [G(w)w2]2 ≪ w2 reste vraie si l’on remplace la fonction G(w) par une constante G, puisqu’on a encore (Gw2)2 ≪ w2 dans la

limite w → 0. Ainsi, au voisinage de l’infini, remplacer G(w) par G revient juste `a remplacer un terme n´egligeable par une approximation aussi n´egligeable, ce qui est inoffensif quelle que soit la valeur G choisie.

• Pour une surface au voisinage de l’ellipso¨ıde compl`etement aplati (v(λ) → 0), il est n´ecessaire de distinguer les diff´erents types de g´eom´etrie.

◮ Dans les cas g´en´eral et sph´ero¨ıdal aplati, lorsque (v(λ) → 0), le terme

4

3ABhd0(r)i^dg_Eλ.U tend vers 2F (L/χ)G(L/χ)L2/χ2 = 2G(L/χ)L2/χ d’apr`es les ´equations (2.75)2et (2.81). Maintenant, en utilisant les d´efinitions (2.38)1,2,3et (2.69) de U, on voit que la valeur de la limite est 4

3pL2 x+ L2 y + L2 z, et il s’ensuit que : G(L/χ) = ^2χ 3L2 q L2 x+ L2 y + L2 z (2.84)

Ainsi, on peut remplacer la fonction G(w) par une constante est raisonnable au voi-sinage de l’ellipso¨ıde confocal compl`etement aplati `a condition que la valeur choisie pour cette constante soit proche de celle donn´ee par l’´equation (2.84).

◮Dans le cas d’un sph´ero¨ıde allong´e, les ´equations (2.75)2, (2.59) et (2.61) conduisent `a 4

3ABhd0(r)i^dg_Eλ.U ∼ ^√3G(w)w2 = o(ln v(λ)) = o(ln w), de sorte que G(w) = o(ln w/w2) et par cons´equent :

G(+∞) = 0 (2.85)

Ainsi au voisinage de l’ellipso¨ıde compl`etement aplati, le remplacement de la fonc-tion G(w) par G est encore raisonnable `a condifonc-tion de prendre G ´egal `a 0 ou tr`es petit.1

◮ Dans le cas sph´erique, la fonction G(w) est uniform´ement nulle par l’´equation (2.66) de sorte que G = 0 est encore une bonne valeur.

– Consid´erons finalement la fonction H(w), d´efinie par l’´equation (2.79). • Au voisinage de l’infini (w → 0), il r´esulte de l’´equation (2.83) que

G²(w)w² = [G(w)w²]²w⁻² = o(1) → 0 (2.86)

d’o`u :

H(0) = 1 (2.87)

• D’autre part, sur l’ellipso¨ıde compl`etement aplati, l’´equation (2.84) implique que : H(L/χ) = " 1 −³₂G²(L/χ) L χ 2#1/2 =  1 − ²₃^L 2 x+ L2 y + L2 z L2 1/2 (2.88) 1. [Gologanu et Leblond, 1993] ont fait le premier choix, et [Gologanu et al., 1994] le second.

En utilisant les ´equations (2.46), (2.47) et (2.53), on peut v´erifier que lorsque k varie de 0 (cas d’un sph´ero¨ıde allong´e) `a 1 (cas d’un sph´ero¨ıde aplati), la valeur de H(L/χ) donn´ee par l’´equation (2.88) varie de 1 `ap32/(3π2+ 32) ≃ 0.72. Ainsi H(L/χ) est toujours assez proche de l’unit´e. Il en r´esulte que la variation de la fonction H(w) dans l’intervalle de d´efinition de w est modeste. Ainsi il est encore raisonnable de la remplacer par une constante.

Ceci conclut la justification de l’approximation A3. Avec cette approximation, l’´equation (2.78) devient :

hd²eq(r)iEλ ≃ [AF + BG]²w²+² 3B²H²+ 2C2 3 ⁺ 4 3^(∆