Pour un certain nombre de g´eom´etries particuli`eres, des r´esultats exacts ou des mod`eles approch´es mais pr´ecis sont disponibles, et peuvent servir de r´ef´erence pour une comparai-son avec les pr´edictions du crit`ere propos´e. On obtient les r´esultats suivants en utilisant les ´equations r´esum´ees ci-dessus :
– Cas d’un vide sph´erique Le crit`ere se r´eduit `a : 1 + 2f 3 Σ2 eq σ2 0 + 2f cosh 3 2 Σm σ0 − 1 − f2 = 0 o`u Σ2
eq et Σm d´esignent la contrainte macroscopique de von Mises et la contrainte moyenne, respectivement. C’est exactement la version am´elior´ee de [Leblond et al., 1994] du crit`ere de [Gurson, 1977] pour un vide sph´erique, respectant la “borne non lin´eaire de Hashin-Strikman” (qui n’est rien d’autre que la borne non lin´eaire de Willis pour les milieux macroscopiquement isotropes).
– Cas d’un vide cylindrique `a base circulaire Le crit`ere est r´eduit `a :
Σ2 eq σ2 0 + 3f(Σyy − Σzz)2/4 + Σ2 xy+ Σ2 yz+ Σ2 zx σ2 0 + 2f cosh √ 3 2 Σyy+ Σzz σ0 ! −1−f2 = 0 (3.48) Pour des ´etats de contraintes axisym´etriques (Σxx 6= Σyy = Σzz, Σxy = Σyz = Σzx= 0), cette expression se r´eduit exactement au crit`ere de [Gurson, 1977] pour des vides cylindriques, qui est exact dans ce cas. Pour des ´etats de contraintes g´en´eraux, cette expression respecte la “borne non-lin´eaire cylindrique de Hashin-Strikman” (qui n’est rien d’autre que la borne non lin´eaire de Willis pour les milieux isotropes transverses).
– Cas d’un sandwich Le crit`ere est r´eduit `a :
Σzx= Σzy = Σzz = 0; Σ2eq= Σ2xx+ Σ2yy− ΣxxΣyy + 3Σ2xy = (1 − f)2σ02, qui est un r´esultat exact pour une telle g´eom´etrie.
– Cas des vides sph´ero¨ıdaux allong´es ou aplatis
Pour ces vides, le crit`ere est semblable au crit`ere GLD ( [Gologanu et Leblond, 1993], [Gologanu et al., 1994], [Gologanu et al., 1997] et [Gologanu, 1997]) globa-lement, mais pas en d´etail puisque les coefficients ne sont d´etermin´es de la mˆeme mani`ere.
Il existe de plus deux g´eom´etries pour lesquelles la charge limite est connue pour des directions de chargement particuli`eres seulement, `a cause de l’uniformit´e du champ de contraintes microscopiques dans ces cas :
– Cas d’un vide cylindrique `a base elliptique
La charge limite pour un vide cylindrique elliptique soumis `a une traction ou com-pression coaxiale (tous les Σij = 0 sauf Σxx), est donn´ee par :
|Σxx| = (1 − f)σ0
Le crit`ere propos´e v´erifie ce r´esultat exact. – Cas d’une fissure circulaire ou elliptique
Pour une fissure circulaire ou elliptique soumise `a un ´etat de contrainte plane (Σzx= Σzy = Σzz = 0), la situation est plus complexe. Puisque le chargement consid´er´e satisfait les conditions aux limites sur la fissure, le crit`ere est alors exactement celui d’une plaque homog`ene dans un ´etat de contrainte plane, qui est :
Σ2eq= Σ2xx+ Σ2yy− ΣxxΣyy + 3Σ2xy = σ02 (3.49) Le crit`ere de Willis (3.46) (avec QB(Σ) = QW(Σ)) reproduit bien ce r´esultat. Cependant le crit`ere propos´e ne le reproduit pas. En effet, la fonction de charge (3.45)2 propos´ee ne peut donner le mˆeme r´esultat que celle de Willis constitu´ee des deux premiers termes, que si le troisi`eme terme 2(1 + g)(f + g)[...] est nul, ce qui correspond `a Σh = 0. Mais ceci n’est pas vrai ici puisque Σh = HxΣxx+ HyΣyy est constitu´e de quantit´es toutes non nulles.
Le crit`ere propos´e reproduit cependant le r´esultat exact (3.49) quand la seconde porosit´e g devient soit tr`es faible (parce que l’influence de la fissure disparaˆıt et le crit`ere se r´eduit `a celui de von Mises) soit tr`es ´elev´ee (parce que la configuration g´eom´etrique tend vers un sandwich pour lequel le crit`ere est exact). Il s’ensuit que le r´esultat (3.49) ne doit ˆetre que l´eg`erement viol´e pour des valeurs quelconques de g.
Il convient de noter que le crit`ere GLD est quelque peu sup´erieur pour une fissure circulaire, ´etant donn´e que la fa¸con de d´eterminer ses param`etres garantit la re-production exacte du r´esultat (3.49) pour toutes les valeurs de g ( [Gologanu et al., 1997] ; [Gologanu, 1997]). La l´eg`ere inf´eriorit´e du nouveau mod`ele de ce point de vue est le prix `a payer pour le fait que ses param`etres ont des expressions bien d´efinies pour toutes les valeurs possibles des param`etres g´eom´etriques, contrairement `a ceux du mod`ele GLD.
3.9 Conclusion
Ce chapitre est une seconde ´etape dans le d´eveloppement d’un crit`ere de type Gur-son pour les mat´eriaux ductiles poreux contenant des cavit´es ellipso¨ıdales arbitraires. L’objectif ´etait de fournir des expressions explicites de tous les coefficients du crit`ere macroscopique approch´e d´evelopp´e dans le chapitre 2. Il a fallu laisser tomber le champ de vitesse-test de [Leblond et Gologanu, 2008], dont l’utilisation aurait conduit `a des impr´ecisions dans le cas d’une cavit´e sph´ero¨ıdale tr`es aplatie.
Parmi les coefficients du crit`ere, ceux figurant dans le terme en cosinus hyperbolique ont ´et´e d´etermin´es en utilisant l’analyse-limite num´erique pour ´evaluer, dans un certain nombre de cas significatifs, la r´eponse de la cellule ellipso¨ıdale soumise `a un chargement hydrostatique. Des formules analytiques reproduisant les r´esultats num´eriques obtenus ont ´et´e propos´ees, afin de couvrir tous les cas envisageables.
Les coefficients de la forme quadratique des composantes du tenseur des contraintes ont ´et´e d´etermin´es en exigeant la co¨ıncidence du crit`ere propos´e avec celui correspondant `a la borne non lin´eaire de [Ponte-Castaneda, 1991], [Willis, 1991] et [Michel et Suquet, 1992], qui est l’extension non-lin´eaire de la borne de [Willis, 1977] pour des solides ´elastiques.
Le crit`ere macroscopique approch´e ´etant maintenant totalement d´etermin´e, il se pose maintenant la question de sa validation qui fera l’objet du chapitre 4.
Validation num´erique du crit`ere
approch´e propos´e
Sommaire
4.1 Introduction . . . 80 4.2 Cellule sph´ero¨ıdale allong´ee . . . 80 4.3 Cellule sph´ero¨ıdale aplatie . . . 81 4.4 Fissure circulaire . . . 82 4.5 Fissure elliptique . . . 83 4.6 Cellule cylindrique . . . 85 4.6.1 Cylindre `a base circulaire . . . 85 4.6.2 Cylindre `a base elliptique . . . 86 4.7 Cellules ellipso¨ıdales . . . 88 4.7.1 Vide ellipso¨ıdal de demi-axes dans les proportions 10 : 5 : 1 . . . . 88 4.7.2 Vide ellipso¨ıdal de demi-axes dans les proportions 10 : 2 : 1 . . . . 89 4.8 Conclusion . . . 90
4.1 Introduction
Les m´ethodes et les programmes d´ecrits dans la section 3.3 du chapitre 3 vont ˆetre utilis´es ici pour d´eterminer la surface de charge num´erique, suppos´ee exacte, dans un certain nombre de cas repr´esentatifs, afin de v´erifier l’exactitude du crit`ere approch´e pro-pos´e. Cela sera fait sur huit cellules de formes diff´erentes : cellules sph´ero¨ıdale allong´ee ou aplatie, fissure circulaire ou elliptique, cylindrique circulaire ou elliptique et ellipso¨ıdales g´en´erales. Ces cellules seront soumises `a des conditions de d´eformation homog`ene sur le bord ext´erieur.
La surface de charge des cellules ´etant une surface de dimension 5 dans l’espace de dimension 6 du tenseur des contraintes macroscopiques, sa d´etermination num´erique compl`ete est impossible. Le probl`eme sera donc r´eduit en supposant que les axes prin-cipaux du tenseur des contraintes macroscopique co¨ıncident avec ceux des ellipso¨ıdes int´erieur et ext´erieur, ce qui implique que les composantes hors-diagonales Σxy, Σyz, Σzx
seront nulles.
Mˆeme ainsi la surface de charge devient maintenant une surface de dimension 2 dans l’espace de dimension 3 des composantes diagonales (Σxx, Σyy, Σzz), dont la d´etermination compl`ete serait une lourde tˆache. Nous ´etudierons donc seulement la trace de cette surface de charge dans 3 plans : {Σxx = Σyy 6= Σzz}, {Σxx = Σzz 6= Σyy} et {Σyy = Σzz 6= Σxx}.
Sur les figures ci-dessous, les quantit´es repr´esent´ees sur les axes horizontal et vertical sont la contrainte moyenne macroscopique et la contrainte d´eviatorique macroscopique, normalis´ees par la limite d’´elasticit´e. Les calculs ont ´et´e effectu´es pour la valeur f = 0.01 de la porosit´e, ou g = 0.14 de la seconde porosit´e, dans le cas des fissures.
Dans cette ´etude de validation, nous avons effectu´e environ 500 calculs. Chaque calcul n´ecessite en moyenne deux heures de temps CPU.