3.6.1 Principe de d´etermination de Q(Σ)
Afin d’am´eliorer l’analyse-limite du chapitre 2 pour les chargements d´eviatoriques, il serait certainement possible de remplacer le champ de taux de d´eformation uniforme utilis´e ici par le champ ´elastique d’ [Eshelby, 1957], comme l’ont fait [Monchiet et al., 2007], [Monchiet et al., 2011] dans le cas simple des vides sph´erique et sph´ero¨ıdal. Cependant nous allons adopter plutˆot une autre approche plus directe, qui consiste `a laisser tomber l’analyse-limite et `a utiliser certaines bornes rigoureuses applicables aux composites non lin´eaires, qu’on va adapter aux mat´eriaux plastiques poreux. Les coefficients de la forme quadratique Q(Σ) qui figurent dans la surface de charge propos´ee (´equation (2.97)) seront simplement d´etermin´es de mani`ere `a ´egaler cette borne. On ne fera r´ef´erence `a aucun champ de vitesse.
Il est `a noter que l’ajustement de la forme quadratique n’est pas la seule fa¸con de retrouver une borne ou une autre. Il a ´et´e montr´e par [Monchiet et al., 2007], [Monchiet et al., 2011] que le mˆeme r´esultat peut ˆetre obtenu en rempla¸cant la forme lin´eaire L(Σ) qui se trouve dans le terme en “cosh” de la fonction de charge propos´ee par la racine carr´ee d’une forme quadratique (voir ´equation (28) de [Monchiet et al., 2007] et ´equation (42) de [Monchiet et al., 2011]). Notre choix est motiv´e par une impl´ementation num´erique facile de notre mod`ele dans un code de calcul par ´el´ements finis.
Le probl`eme du choix d’une borne convenable sera envisag´e dans la section 3.6.3. On supposera ici cette borne choisie.
Puisque les diff´erentes bornes sont obtenues `a partir de l’estimation de l’´energie ´elastique d’un milieu lin´eaire de comparaison, n´ecessairement quadratique vis-`a-vis des composantes du tenseur des contraintes, le crit`ere de plasticit´e macroscopique approch´e associ´e s’´ecrit :
ΦB(Σ) ≡ Q
B(Σ) σ2
0 − (1 − f)2 = 0 (3.44)
o`u QB(Σ) d´esigne une forme quadratique d´efinie positive des composantes du tenseur des contraintes macroscopiques. La fonction de charge ΦB(Σ) ainsi d´efinie est suppos´ee repr´esenter une estimation par d´efaut de la vraie fonction de charge Φ(Σ), qui fournit une estimation par l’ext´erieur de la surface de charge (ΦB(Σ) < Φ(Σ), de sorte que si Φ(Σ) est n´egatif, il en est de mˆeme de ΦB(Σ)).
On sait que les bornes disponibles dans la litt´erature donnent des pr´edictions pr´ecises pour des chargements essentiellement d´eviatoriques, mais pas pour ceux essentiellement hydrostatiques. Pour ce dernier type de chargement Σxx ≃ Σyy ≃ Σzz de sorte qu’en utilisant les ´equations (2.99)3 et (2.101) du chapitre 2, on obtient Σh ≃ Σm. Ainsi les chargements pour lesquels les bornes sont impr´ecises ont une valeur ´elev´ee de |Σh| comme de |Σm|. Donc il est tout `a fait logique d’utiliser le crit`ere approch´e (3.44) comme r´ef´erence pour de faibles valeurs de |Σh| seulement. Plus pr´ecis´ement, nous allons imposer la co¨ınci-dence des fonctions de charge Φ(Σ) et ΦB(Σ) au second ordre en Σh/σ0.
En utilisant les ´equations (2.97) et (2.99) du chapitre 2, et le d´eveloppement limit´e au second ordre de Φ(Σ), on obtient :
Φ(Σ) = Q(Σ)σ2 0 + 2(1 + g)(f + g)1 + κ2Σ2h 2σ2 0 − (1 + g)2− (f + g)2+ O Σh σ0 4 = 1 σ2 0[Q(Σ) + (1 + g)(f + g)κ2Σ2 h] − (1 − f)2+ O Σh σ0 4 (3.45) En identifiant les membres de droite (sans les termes en O[(Σh/σ0)4]) des expressions (3.44) et (3.45), on obtient l’´equation :
Q(Σ) = QB(Σ) − (1 + g)(f + g)κ2Σ2h, (3.46)
qui relie les coefficients de la forme quadratique Q(Σ) `a ceux de QB(Σ), en plus des coefficients g, κ, Hx, Hy, Hz d´ej`a d´efinis.
Pour faciliter l’´etude de la fonction de charge ainsi d´efinie, on peut la r´e´ecrire sous la forme : Φ(Σ) = QBσ(Σ)2 0 + 2(1 + g)(f + g)hcoshκΣh σ0 −κ2Σ2h 2σ2 0 i − (1 + g)2− (f + g)2 = QBσ(Σ)2 0 − (1 − f)2+ 2(1 + g)(f + g)hcoshκΣh σ0 − 1 − κ2Σ2h 2σ2 0 i (3.47)
– Convexit´e
En effet, la fonction de charge Φ : Σ 7→ Φ(Σ) est convexe car elle est la somme des fonctions Σ 7→ ΦB(Σ) et Σ 7→ 2(1 + g)(f + g)hcoshκΣh
σ0 − 1 − κ2Σ2h 2σ2 0 i qui sont toutes deux convexes. La convexit´e de la premi`ere fonction est assur´ee par la d´efinie positivit´e de la forme quadratique QB(Σ) et celle de la seconde vient du fait qu’elle est la compos´ee de la fonction lin´eaire Σ 7→ κΣh/σ0 et de la fonction convexe x 7→ cosh x − 1 − x2/2. Par cons´equent, le domaine d’´elasticit´e Φ(Σ) < 0 est convexe, quelle que soit la borne de r´ef´erence choisie.
– Respect de la borne ΦB(Σ) < 0
Le terme 2(1 + g)(f + g)[...] ´etant positif, si Φ(Σ) < 0, alors ΦB(Σ) < 0. Donc la fonction de charge Φ(Σ) respecte la borne choisie pour tous les ´etats de contraintes possibles. Ceci marque une diff´erence avec l’ancien mod`ele GLD pour les vides sph´ero¨ıdaux, dans lequel la mˆeme borne de r´ef´erence a ´et´e utilis´ee mais d’une mani`ere diff´erente n’assurant pas automatiquement le respect de cette borne pour tous les ´etats de contraintes [Gologanu, 1997].
– D´efinition toujours acceptable de la forme quadratique Q(Σ)
Il est clair `a partir de l’´equation (3.46), que si les coefficients de la forme quadratique QB(Σ) sont bien d´efinis pour toutes les valeurs des param`etres g´eom´etriques, il en est de mˆeme de ceux de la forme quadratique Q(Σ). Cette propri´et´e aussi marque une diff´erence avec la fonction de charge du mod`ele GLD, dont [Monchiet et al., 2008] ont remarqu´e que les coefficients deviennent infinis pour de grandes valeurs (d’int´erˆet pratique mineur il est vrai) de la porosit´e.
3.6.2 Bornes des composites non lin´eaires
– Borne de Voigt
Parmi les bornes des composites non lin´eaires, la borne de Voigt (voir par exemple [Ponte-Castaneda et Suquet, 1998]) est la plus simple du fait qu’elle ne tient pas compte de la morphologie des h´et´erog´en´eit´es.
Il existe d’autres bornes plus pr´ecises qui rajoutent l’hypoth`ese suppl´ementaire sur la g´eom´etrie des h´et´erog´en´eit´es. Les mod`eles donnant ces bornes reposent sur la substitution du comportement local non lin´eaire du composite par une loi lin´eaire, dont le tenseur des modules effectifs des phases est estim´e grˆace `a une formulation variationnelle. Donc ces bornes diff`erent selon la formulation variationnelle. On a dans l’ordre chronologique :
– Borne de Willis
La premi`ere approche variationnelle a ´et´e propos´ee par [Hashin et Shtrikman, 1962], et permet de trouver des bornes pour les composites lin´eaires ´elastiques avec h´et´erog´e-n´eit´es statistiquement isotropes. La borne d’Hashin-Shtrikman a ´et´e g´en´eralis´ee par [Willis, 1977] `a des composites ´elastiques avec des h´et´erog´en´eit´es ellipso¨ıdales qui sont d´ecrites par des fonctions de distribution `a deux points “statistiques c’est `a dire faisant intervenir la forme et l’orientation des h´et´erog´en´eit´es”. La borne de
Willis r´esulte de l’extension de celle de [Willis, 1977] au cas non lin´eaire, et est due `a [Willis, 1991], [Ponte-Castaneda, 1991] et [Michel et Suquet, 1992]7. Cette borne non lin´eaire de Willis est appliqu´ee au cas o`u des h´et´erog´en´eit´es sont des vides el-lipso¨ıdaux ayant la mˆeme forme et la mˆeme orientation. Elle suppose de plus que la fonction de distribution de leurs centres poss`ede une “sym´etrie ellipso¨ıdale” simi-laire `a celle des vides eux-mˆemes.
– Borne de Ponte-Castaneda-Willis
Cette borne a ´et´e ´etablie par [Ponte-Castaneda et Willis, 1995] dans le cas lin´eaire et ´etendue au cas non lin´eaire par [Ponte-Castaneda et Suquet, 1998]. Elle se pr´esente comme une extension de la borne de Willis au cas o`u la fonction de distribution des centres des vides a une sym´etrie ellipso¨ıdale quelconque ind´ependante de celle des vides eux-mˆemes.
3.6.3 Choix d’une borne convenable
Chacune de ces bornes peut ˆetre adopt´ee pour d´efinir la forme quadratique de r´ef´erence QB(Σ) (´equation (3.46)). Cependant, la borne de Voigt pr´edit `a tort que les fissures circu-laires orthogonales `a la direction z n’ont aucun effet sur la surface de charge sous un char-gement de cisaillement pur Σzx ou Σzy. A l’autre extrˆeme, la borne de Ponte-Castaneda-Willis est peut-ˆetre inutilement raffin´ee pour le cas pr´esent. En effet, l’am´elioration qu’elle apporte par rapport `a la borne simple de Willis r´eside dans l’incorporation de l’influence de la distribution spatiale des vides ; mais cette fonction de distribution a encore plus ra-rement ´et´e caract´eris´ee exp´erimentalement que le rapport d’aspect des vides, et son effet est d’apr`es [Danas et Ponte-Castaneda, 2009a] mineur pour les faibles porosit´es d’int´erˆet pratique. Nous proposons donc d’adopter la borne de Willis qui semble repr´esenter un bon compromis entre simplicit´e et r´ealisme. L’expression de la forme quadratique QW(Σ) correspondant `a cette borne est fournie dans les annexes F et G.
Il faut reconnaitre que certaines hypoth`eses sous-jacentes `a la borne non lin´eaire de Willis sont quelque peu incompatibles avec celles introduites ci-dessus :
– L’hypoth`ese de l’identit´e des sym´etries ellipso¨ıdales des vides eux-mˆemes et de la fonction de distribution de leurs centres est incompatible avec la nˆotre de confo-calit´e des ellipso¨ıdes int´erieur et ext´erieur. Cette lacune pourrait ˆetre combl´ee par l’adoption de la borne de Ponte-Castaneda-Willis comme r´ef´erence au lieu de celle de Willis au prix d’une complexit´e suppl´ementaire (notamment l’introduction de deux tenseurs d’Eshelby au lieu d’un seul).
– Fondamentalement, la borne non-lin´eaire de Willis ne repose pas sur une analyse in-trins`equement approximative d’une “cellule repr´esentative” soumise `a des conditions de taux de d´eformation homog`ene, mais sur une homog´en´eisation rigoureuse d’un mi-lieu infini (la diff´erence apparaˆıt par exemple lorsqu’on compare la borne d’Hashin-7. Cette borne a ´et´e adopt´ee comme r´ef´erence dans le mod`ele pour les mat´eriaux plastiques poreux propos´e par [Ponte-Castaneda et Zaidman, 1994] ; mais cela a ´et´e fait pour tous les ´etats de chargements possibles, ce qui donne des r´esultats tr`es impr´ecis dans le cas des chargements hydrostatiques.
Shtrikman d’un milieu ´elastique poreux macroscopiquement isotrope charg´e en ci-saillement `a la solution exacte d’une sph`ere creuse ´elastique soumise au mˆeme char-gement `a travers des conditions de d´eformation homog`ene sur le bord ; voir [Garajeu, 1995]).
Ces carences sont consid´er´ees comme de peu d’importance, car elles se rapportent `a l’influence des r´egions situ´ees loin des vides qui, encore une fois, devrait ˆetre mineure pour les faibles porosit´es.