Les résultats obtenus sur signaux idéaux sont encourageants, cependant il est important de valider l'e cacité de notre méthode de démélange en l'appliquant dans le cas de signaux réalistes, et notamment dans le cas de spectres de ré ectance issus de la télédétection. En eet, il faut s'assurer que ces spectres de ré ectance respectent les propriétés demandées, et il faut également s'assurer du bon fonctionnement de cette méthode dans des conditions réalistes.
Cas d'un mélange LI Les spectres utilisés pour nos tests sont générés en utilisant les spectres réels issus de la base de données MEMOIRES de l'ONERA2. Ces spectres ne sont pas échan-
tillonnés régulièrement, les longueurs d'onde les plus basses sont deux fois plus échantillonnées. Nous avons donc sous-échantillonné (pris un échantillon sur deux) cette zone des spectres pour obtenir un échantillonnage régulier par pas de 20 nm, entre 400 et 2480 nm (soit 105 longueurs d'onde). Les spectres ainsi générés sont montrés en gure9.12. Cette gure représente 2 spectres sources de matériaux : le premier spectre est un spectre d'asphalte, et le deuxième est un spectre d'herbe, deux matériaux usuels en milieux urbains. On voit que ces deux spectres paraissent assez diérents avec plus de variations pour l'herbe, et un spectre assez lisse pour l'asphalte avec quelques variations rapides de faible amplitude. On observe leurs TF en gure9.13. A n de diminuer l'amplitude du pic en 0 de ces TF, nous avons centré les spectres de ré ectance. Les TF des spectres centrés ainsi obtenues sont montrées en gure9.14. On remarque que leurs TF ont
9.5. Tests 0 500 1000 1500 2000 indice de frequence 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Amplitude Mélange 1 0 500 1000 1500 2000 indice de frequence 0 10 20 30 40 50 60 Amplitude Mélange 2
Figure 9.9 Mélanges bilinéaires générés
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
valeur du coefficient de séparation 350 400 450 500 550 600 650 700 750 indice de fréquence
Figure 9.10 Évolution de la fréquence maximale du signal y en fonction de la valeur µ pour le cas bilinéaire avec signaux idéaux
une coupure fréquentielle bien moins marquée que les spectres idéaux. Pour cet exemple, c'est la TF de la source 1 qui semble avoir la plus large occupation fréquentielle, car l'amplitude haute fréquence est plus grande que celle de la source 2. Du fait que l'information spectrale décroît lentement et qu'il est di cile de percevoir les fréquences maximales de chaque signal, on décide donc pour l'application des méthodes de ne pas tenir compte des 5 premières fréquences positives (et donc négatives). Cela permet de régler plus précisément les paramètres des approches, i.e. p pour notre critère et la fréquence maximale pour le critère d'Ando et al.. L'énergie cumulée ne sera donc pas calculée sur les plus basses fréquences, cependant cela ne change en rien le principe des deux méthodes testées.
On mélange alors nos sources comme dans la relation (9.15) utilisée pour l'application sur signaux idéaux. On sait alors que le µ recherché pour séparer les sources est égal à 0.5. Ici, les signaux réels ayant une diminution de l'information fréquentielle bien plus douce, nous allons tester plusieurs valeurs pour le paramètre p représentant le pourcentage de l'énergie cumulée à partir duquel on considère qu'il n'y a plus d'information spectrale dans le signal. Les résultats obtenus pour notre méthode de séparation sont montrés en gure 9.15. On voit ici que nous n'arrivons pas à séparer nos sources puisque pour toutes les valeurs p testées, nous trouvons
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 valeur du coefficient de séparation
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 valeur du critère
Figure 9.11 Évolution du critère de Ando et al. en fonction de la valeur µ pour le cas bilinéaire avec signaux idéaux
0 20 40 60 80 100 120 indice de longueur d'onde -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 source 1 0 20 40 60 80 100 120 indice de longueur d'onde -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 source 2
Figure 9.12 Spectres de ré ectance générés à partir de spectres réels
globalement la même fréquence maximale pour toutes ces valeurs et non pas une fréquence maximale plus faible pour µ = 0.5.
On compare nos résultats à ceux obtenus avec la méthode d'Ando et al. en gure9.16. Cette fois-ci, c'est directement la fréquence maximale du signal que nous faisons varier pour évaluer ce critère. On voit que là non plus nous n'arrivons pas à séparer les sources puisqu'on obtient une valeur d'énergie à peu près semblable pour tous les coe cients de séparation testés.
On en déduit ici que les spectres réels ne semblent pas adaptés aux critères de séparation testés. La douceur de la diminution fréquentielle et l'absence de fréquence maximale nette nous empêchent de bien séparer les sources.
Cas d'un mélange bilinéaire On souhaite également tester la suppression d'une contribu- tion bilinéaire dans des conditions réalistes. On choisit cette fois-ci deux spectres de ré ectance semblables, pour qu'ils aient une étendue fréquentielle similaire, et que le terme bilinéaire ait donc une étendue supérieure comme indiqué dans la sous-section 9.2 présentant les conditions d'application de notre méthode. On sélectionne donc dans la base de données MEMOIRES les spectres des matériaux présentés en gure9.17: les spectres de ré ectance de l'asphalte et de la terre. On voit bien sur cette gure que les spectres sont similaires, avec une variation assez lente
9.5. Tests -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 indice de frequence 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TF source 1 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 indice de frequence 0 5 10 15 20 25 30 TF source 2
Figure 9.13 TF des spectres sources de ré ectance non centrés
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 indice de frequence 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 TF source 1 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 indice de frequence 0 2 4 6 8 10 12 TF source 2
Figure 9.14 TF des spectres sources de ré ectance centrés qui croît au début de la gamme de longueurs d'onde puis décroît en n de spectre.
On observe ensuite les TF de ces trois sources étendues (les 2 sources et le terme bilinéaire) en gure 9.18. On voit que les 3 TF sont assez similaires. Comme précédemment, l'information spectrale décroît lentement, de plus le pic d'énergie en 0 est assez important, on ne tient donc pas compte des 5 premières fréquences positives et négatives. Nous testons des plages de valeurs pour les deux paramètres d'estimation des approches, pour voir l'in uence de ces paramètres sur les méthodes de suppression du terme non linéaire.
On mélange nos sources avec la matrice de mélange (9.6) suivante ˜
A =1 1/3 1/2
1 1 1
, (9.18)
puis on applique les deux approches de séparation. Les résultats obtenus avec notre critère sont montrés en gure 9.19. On remarque que là encore notre méthode ne parvient pas à séparer le terme bilinéaire car la fréquence maximale devrait être minimale pour un coe cient de séparation µ = 0.5. Or ici le minimum est trouvé pour µ = 0.9 quelle que soit la valeur du paramètre p testée. Pour ce modèle de mélange comme pour le mélange LI, la forme des TF des spectres de ré ectance testés ne semble pas adaptée à notre critère de suppression du terme bilinéaire.
8 1 10 12 0.98 0.7 Indice de frequence 0.65 14 0.6 Trace de notre critere
paramètre p 0.96 16 0.55 coefficient de séparation 0.5 18 0.45 0.94 0.4 0.35 0.92 0.3
Figure 9.15 Évolution de l'indice de la fréquence maximale trouvée selon la valeur du para- mètre p et la valeur du coe cient de séparation µ
tionne mieux sur cette application car le minimum est trouvé pour µ = 0.55, ce qui reste assez proche de la solution attendue µ = 0.5, et ce quelle que soit la fréquence maximale du signal considérée pour le calcul de leur critère.