Signaux idéaux

Nous souhaitons tout d'abord valider notre approche en l'appliquant à des signaux idéaux, c'est-à-dire à des TF de type signaux portes avec une limite fréquentielle nette, comme montré en gure 9.4. Pour notre exemple, s1 a pour limite l'indice fréquentiel 600, et s2 a pour limite

400. Pour se rapprocher du cas réel, on voit sur la gure que nous avons ajouté un résidu haute fréquence de sorte que l'énergie cumulée ne soit pas à 100% de l'énergie totale du signal à la fréquence considérée comme fréquence maximale de celui-ci. Il est à noter ici que ce qu'on appelle fréquence maximale correspond donc à la fréquence au dessus de laquelle il n'y a que du bruit.

0 200 400 600 800 indice de frequence 0 1 2 3 4 5 6 Amplitude Source idéale 1 0 200 400 600 800 indice de frequence 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Amplitude Source idéale 2

Figure 9.4  Exemple de TF idéales de deux signaux sources en fonction des indices de fréquence Remarque : Ici, pour simplier les tests, nous générons et travaillons directement sur des signaux fréquentiels. Cependant, dans le cas réel, on travaillera sur la TF des signaux d'intérêt, c'est-à-dire la TF des spectres de réectance.

Cas d'un mélange LI En premier lieu, on souhaite tester notre méthode sur des mélanges LI. Pour cela, on créé deux mélanges x1 et x2, tels que :

x1= s1+ 2s2

x2= 2s1+ s2 (9.15)

avec s1 et s2 les deux signaux idéaux montrés en gure 9.4. Ces deux mélanges sont représentés

signaux jusqu'à la fréquence maximale du signal s2, puis un autre palier correspondant à la

présence du signal s1, puis un dernier palier lorsqu'il n'y a plus d'information spectrale. On

cherche donc à supprimer le deuxième palier. Dans cet exemple, pour séparer le spectre ayant la

0 200 400 600 800 indice de frequence 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Amplitude Mélange 1 0 200 400 600 800 indice de frequence 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Amplitude Mélange 2 Figure 9.5  Mélanges LI générés

plus petite des limites fréquentielles, i.e. s2, par une combinaison linéaire comme indiqué dans

la relation (9.9), il faut µ = 1/2 : y = x1− 1 2x2 = s1+ 2s2− 1 2(2s1+ s2) = 3 2s2. (9.16)

Dans (9.13), on avait appelé s1 la source la plus étroite dans le domaine fréquentiel (celle qui res-

tait après la séparation), ici c'est l'inverse. Nous décidons de tester notre méthode sur l'intervalle de valeurs µ ∈ [0.3, 0.7] par pas de 0.01. De plus, notre méthode requiert de xer le paramètre p indiquant le pourcentage de l'énergie cumulée du signal à partir duquel on considère qu'il n'y a plus d'information spectrale. Pour cela, nous testons empiriquement plusieurs valeurs et nous choisissons celle permettant d'obtenir une estimation de µ la plus précise possible. On prend ici p = 99.84%. On applique ensuite notre algorithme 3, et on obtient la gure 9.6 montrant les fréquences maximales estimées pour le signal y selon chaque valeur de µ testée. On constate qu'eectivement la valeur minimale obtenue est 400, ce qui correspond à la fréquence maximale de s2, et ce pour toutes les valeurs discrètes testées de µ entre 0.5 et 0.54. Cependant, la méthode

ne permet pas de trouver une seule valeur, i.e. la valeur du coecient de séparation recherchée de 0.5.

On applique également la méthode d'Ando et al. [Ando et al., 2014] à notre exemple, et on obtient la gure9.7montrant la valeur de leur critère selon les valeurs de µ testées. Le minimum est trouvé pour µ = 0.52, ce qui est proche de la valeur recherchée de 0.5 mais pas exact. Notre approche semble donc intéressante puisqu'elle englobe la bonne valeur de µ dans ses solutions mais n'est pas assez discriminante par rapport à la méthode d'Ando qui ore une solution unique relativement proche de la solution.

9.5. Tests

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

valeur du coefficient de séparation

400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 indice de fréquence

Figure 9.6  Évolution de la fréquence maximale du signal y en fonction de la valeur µ pour le cas LI avec signaux idéaux

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 valeur du coefficient de séparation

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 valeur du critère

Figure 9.7  Évolution du critère de Ando et al. en fonction de la valeur µ pour le cas LI avec signaux idéaux

Cas d'un mélange bilinéaire On souhaite maintenant tester notre méthode sur des mélanges bilinéaires, toujours dans un cas idéal. Pour cela, on génère, en plus des deux sources précédentes s1 et s2, le terme bilinéaire conv(s1, s2). En eet, ici les signaux sont générés directement dans le

domaine fréquentiel, donc le terme bilinéaire qui nous intéresse dans nos travaux, i.e. le produit des deux signaux dans un domaine donné (spectres de réectance dans notre application), est la convolution entre ces deux signaux dans le domaine de Fourier. Les 3 signaux considérés sont donnés en gure 9.8. On remarque ici que le terme bilinéaire a bien une limite fréquentielle de 800, égale au double de la limite fréquentielle des signaux sources s1 et s2. Il est à noter que le

terme bilinéaire est normalisé par son nombre d'échantillons pour avoir une amplitude du même ordre que les spectres sources.

On créé alors les deux mélanges pour tester la suppression de ce terme bilinéaire grâce à notre méthode. La matrice de mélange (9.6) utilisée est :

˜

A =1 5 2

2 2 5



(9.17) Ces deux mélanges sont représentés en gure 9.9.

Pour cet exemple, il faut µ = 2/5 pour séparer les termes linéaires du terme bilinéaire comme dans la relation (9.9). Nous testons alors notre méthode sur l'intervalle de valeurs µ ∈ [0.1, 0.7] par pas de 0.01. Pour le paramètre p, nous avons choisi empiriquement p = 99.5%. Les résultats

0 100 200 300 400 500 600 700 800 indice de frequence 0 2 4 6 Amplitude Source idéale 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 indice de frequence 0 2 4 6 Amplitude Source idéale 2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 indice de frequence 0 2 4 6 8 Amplitude terme bilinéaire

Figure 9.8  Les 3 spectres idéaux considérés dans le cas bilinéaire

obtenus avec notre algorithme 3 sont donnés en gure9.10 montrant les fréquences maximales estimées pour chaque valeur de µ. On constate qu'ici la limite fréquentielle minimale trouvée est bien aux alentours de 400 (de 399 à 400), correspondant à la fréquence maximale de s1 et s2,

cependant là encore c'est une plage de valeurs de µ allant de 0.36 à 0.48 qui correspond à cette fréquence incluant la bonne valeur de 0.4.

La méthode d'Ando et al. [Ando et al., 2014] quant à elle, a obtenu les résultats montrés en gure 9.11. Leur critère est minimal lorsque µ = 0.43. Comme précédemment, leur critère a l'avantage de ne désigner qu'un seul coecient de suppression estimé, mais ne donne cependant pas non plus la valeur attendue de 0.4.