6.6 Performances
6.6.1 Signal d’écart du deuxième étage de stabilisation de fréquence
FIG. 6.5 –Mesure de l’écart entre le bruit de fréquence mesuré et la référence donnée par l’interféro-mètre, en boucle. La courbe magenta donne l’estimation du bruit de photons, la courbe noire la spécifica-tion, en tenant compte de l’asymétrie mesurée. Les courbes vertes et rouges donnent l’écart quadratique moyen, pour le bruit de photons et pour la mesure, intégré depuis les hautes fréquences : il permet d’esti-mer rapidement la "largeur de raie" pour un temps d’intégration donné, en supposant que la contribution du spectre pour les fréquences non mesurées est négligeable. La largeur de raie du laser, estimée dans la boucle, est donc ici 9 mHz sur 100 ms.
Les performances relatées ici proviennent de données acquises le 15 février 2008 avec l’interféromètre en mode optimal pour la détection d’ondes gravitationnelles. La figure 6.5 représente la densité spectrale du signal d’erreur du deuxième étage de stabilisa-tion de fréquences. Ce signal d’erreur elas2 est étalonné en fréquences avec l’équation
elas2/FL+, où FL+ est la fonction de transfert entre un bruit de fréquence devant l’in-terféromètre et le signal d’erreur ; Un simple filtre passe-bas avec un pôle à 8 Hz ap-proxime FL+; l’étalonnage est décrit dans le chapitre8.5.6. elas2/FL+ représente le bruit de fréquence résiduel à l’entrée de l’interféromètre. La figure montre qu’il faut en fait
principalement tenir compte du bruit de photons pour estimer le niveau réel de bruit de fréquence, tel qu’il sera vu, hors boucle, dans le signal de frange noire. J’ai ici éliminé du spectre le signal de calibration à 1111 Hz.
L’écart type d’Allan σ¯y est couramment utilisé en métrologie des oscillateurs pour ca-ractériser la stabilité d’horloges. Il indique l’écart type de deux mesures successives de fréquences intégrées sur une durée τ. Il s’obtient à partir de la densité spectrale avec la relation [126] : σ2¯y(τ) =Z ∞ 0 ˜ν(f) ν0 2 2 sin2(πτ f) sin πτ f πτ f 2 d f . (6.7)
FIG. 6.6 –Ecart type d’Allan pour le signal d’erreur de la stabilisation de fréquence (en boucle), son bruit de fréquence et la spécification. Le signal d’erreur étant plus petit que le niveau de bruit de photons, c’est ce dernier qui est pertinent pour évaluer les performances hors boucle. Les deux courbes ont été calculées sur le même intervalle de fréquences, donnant des effets de bornes d’intégration similaires.
En pratique, je ne dispose pas de tout l’intervalle de fréquences ; l’estimation se fait donc sur un spectre borné en fréquences par fminet fmax. Les écarts types calculés pour les temps d’intégration proches de 1/(2 fmin) et 1/(2 fmax) auront des erreurs d’effets
de bornes d’intégration. Je choisis la durée de mesure pour rendre l’erreur à fmin né-gligeable. L’équation 6.7 n’est pas utilisable telle quelle sur la densité spectrale de ré-solution du bruit de photons, illustrée dans la figure6.5 : l’intégrale est divergente. Ce paradoxe apparent vient de ce que l’on cherche à calculer des écarts standards pour des temps d’intégration plus courts que l’inverse du pôle du système. Pour le calcul de l’écart type d’Allan, je ne compense donc pas les spectres par le pôle du système, ce qui se ferait naturellement si j’utilisais des données temporelles. L’écart type d’Allan dépend du pôle du système : un système limité par le bruit de photon avec un pôle petit peut cacher plus de bruit qu’un système avec un pôle élevé.
Le calcul appliqué au signal d’erreur de la stabilisation de fréquence donne la figure 6.6. Une estimation réaliste de la stabilité hors boucle doit prendre en compte le bruit de photons, puisque celui-ci domine en boucle. Le laser réalisé a une stabilité de 10−21 sur un temps d’intégration de 0.1 s, soit six ordres de grandeur de mieux qu’une cavité cryogénique en saphir sur un temps d’intégration équivalent [57]. Les étalons primaires de fréquence ont en fait besoin d’excellentes références de fréquences "volant d’inertie" sur des temps d’intégration de l’ordre de 1 à 10 s ; l’interféromètre a une stabilité peu intéressante de l’ordre de 10−9sur ces échelles de temps où le bruit sismique domine. La mesure hors boucle n’est pas possible avec la même résolution : La frange noire est moins sensible au bruit de fréquence à cause de la symétrie des deux bras. Il est toutefois possible de projeter l’erreur de fréquence mesurée sur la frange noire (fig.6.7) en utilisant l’asymétrie mesurée. Une fréquence sinusoïdale à 1111 Hz est ajoutée au signal d’erreur du deuxième étage de stabilisation de fréquence. Le rapport de cette raie sur celle de la frange noire mesure l’asymétrie à 1111 Hz. Je fais l’hypothèse ensuite que l’asymétrie sur les signaux non étalonnés est indépendante de la fréquence (fig. 8.10). Le signal d’erreur étant plus petit que le niveau de bruit de photons, c’est bien sûr de ce dernier qu’il faut tenir compte dans la frange noire, même si, de par sa nature quantique, il ne donne pas de cohérence avec le signal hors boucle. Notons que la densité spectrale de résolution de la frange noire n’est pas encore au niveau nominal.
J’ai aussi mesuré la cohérence entre le signal d’erreur du deuxième étage de stabilisa-tion de fréquence et le signal de frange noire. Cette mesure est utile pour vérifier la similitude entre deux signaux ; elle ne précise pas les liens de cause à effet. Une source de bruit extérieure peut produite le même effet dans les deux signaux. La cohérence ne permet pas d’évaluer le report du niveau de bruit de photons du signal d’erreur de la stabilisation de fréquence dans la frange noire si la source lumineuse n’utilise pas d’états comprimés de la lumière. La cohérence est plus grande que 0.5, hors harmoniques du secteur, pour des lignes à 18.5, 78.6 et 82.9 Hz ; pour les lignes de calibration à 444, 1111 Hz ; pour les "modes violons", excitation des fils de suspension des miroirs par le bruit thermique, à 300, 601, 1201 et 2403 Hz ; pour les excitation des modes des miroirs par le bruit thermique à 5583 et 7718 Hz [127] et pour un ensemble entre 8200 et 9200 Hz où le gain de boucle et l’asymétrie sont plus faibles, mais encore suffisants.
FIG. 6.7 –Fraction de bruit de fréquence dans la frange noire.
La densité spectrale de bruit de phase ˜φse dérive simplement de la densité spectrale de bruit de fréquence ˜ν par
˜
φ(f) = ˜ν(f)
f . (6.8)
Le bruit de phase Sc(f), en dBc, s’exprime à partir du bruit de fréquence ˜ν par
Sc(f) =10 log " ˜ν f 2# . (6.9)
L’erreur de bruit de phase est représentée en figure6.9. L’erreur de phase vaut 600 nrad jusqu’à des temps d’intégration de 5 s ; la ligne à 1201 Hz domine cette erreur. Je vérifie que l’indice de modulation pour le bruit est très petit devant un, hypothèse qui avait été nécessaire pour les calculs et l’interprétation des résultats.
FIG. 6.9 –Signal d’erreur du deuxième étage de stabilisation de fréquence, exprimé en bruit de phase. Avec un niveau moyen de -155 dBc, le laser est un des oscillateurs les plus stables.