Je décris ici comment j’étalonne la réponse continue des éléments des boucles, signaux d’erreur et signaux de correction, indépendamment de la réponse de la suspension des miroirs des grands bras ; je mesure également les pôles simples lorsqu’ils sont présents. La mesure des fonctions de transfert en boucle ouverte permet des redondances dans les mesures. J’expose la plupart des résultats reportés ci-dessous dans l’entrée 14397 du cahier électronique de manipulations de Virgo [132].
8.5.1 Correction de la fréquence du laser
Je mesure d’abord la réponse νcorrdu cristal piezo-électrique qui change la longueur de la cavité laser lorsque toutes les boucles sont ouvertes. J’applique une tension en dents de scie sur le piezo ; je mesure la différence de tension nécessaire pour un nombre entier d’intervalles spectraux libres sur la cavité de filtrage de mode. La valeur de l’intervalle spectral libre c/(2L) est connue (publication exposée dans chapitre 5). la réponse du piezo, au niveau de la lecture de la voie "PZT/20" de l’électronique de RAMPEAUTO, est 35 MHz/V ; l’erreur de répétabilité est de l’ordre de 20%, sans doute due à la diffi-culté d’avoir un balayage linéaire.
J’ai mesuré cette même réponse sur la cavité de référence avec la fréquence du laser verrouillée sur la cavité de filtrage de mode. Un signal en dents de scie est appliqué à la suspension du miroir courbe en fond de cavité ; la réponse n’est pas très linéaire, mais je corrige ce défaut en observant le signal d’erreur de la cavité rigide eRFC en fonction de la tension de correction sur le piezo du laser. Les bandes latérales à 6 MHz sont re-connues, ce qui étalonne la voie piezo. La réponse de la voie "PZT/20" de l’électronique de RAMPEAUTO, est 47 MHz/V, avec une erreur de 5%. Cette mesure s’effectue dans de meilleures conditions de linéarité que la précédente, le premier étage de stabilisation étant verrouillé ; cette mesure est plus fiable.
8.5.2 Signal d’erreur de la cavité de référence
La mesure décrite ci-dessus calibre le signal d’erreur eRFC. La pente autour de l’origine donne la réponse continue, qui vaut donc 45.2 µV/Hz. L’ajustement de la partie centrale de la courbe PDH avec une forme(f / fP)/(1+ (f / fP)2)permet de reconnaître le pôle ; il est ajusté à 250 kHz, avec une erreur de 4%.
8.5.3 Signal de correction du verrouillage de la cavité de filtrage de
mode
Lorsque le deuxième étage de stabilisation de fréquence n’est pas engagé, le verrouillage de la longueur de la cavité de filtrage de mode sur la cavité de référence rigide en amor-tit les fluctuations. La mesure de la fonction de transfert en boucle ouverte GMC permet d’estimer la sensibilité du signal de correction, tous les autres éléments de la boucle étant connus par ailleurs. Je trouve une sensibilité de la réponse de la suspension de 30.1 µm/V, valeur parfaitement compatible avec la réponse connue du pilote de cou-rant des bobines, de la réponse des bobines, de la valeur des aimants collés sur la miroir courbe de la cavité de filtrage de mode.
8.5.4 Signal d’erreur de la cavité de filtrage de mode en entrée
Il n’est pas possible de mesurer précisément la réponse du signal d’erreur de la cavité de filtrage de mode sans fermer de boucle : si le balayage est rapide, les déformations transitoires, décrites dans le chapitre3.5.4, sont importantes ; si le balayage est lent, le bruit propre de fréquence du laser déforme la réponse.
La réponse FMC est donc estimée à partir de la formule 3.42. Le pôle de la cavité de la cavité de filtrage de mode est estimé à 485±3 Hz, par mesure de temps de décrois-sance et par ajustement de la fonction de transfert à l’intervalle spectral libre. En faisant l’hypothèse que les mesures de transmittance des miroirs effectuées par le LMA à Lyon
sont exactes, les pertes sur un aller-retour du faisceau dans la cavité de filtrage de mode sont de 954 ppm. Le rapport des puissances réfléchies en résonance par rapport à hors résonance devrait valoir 2.5% ; je le mesure à 10.5%, il y a donc 8% de lumière qui n’est pas adaptée au mode résonnant. Je corrige en conséquence l’étalonnage du signal d’er-reur, pour trouver une sensibilité de 216 µV/Hz, pour le signal situé aussitôt après le mélangeur dans le tiroir électronique RAMPEAUTO.
Cette valeur de FMCest parfaitement compatible avec la mesure de fonction de transfert en boucle ouverte du premier étage de stabilisation de fréquence, où l’on connaît par ailleurs l’étalonnage du signal de correction et la fonction de transfert de l’électronique.
8.5.5 Signal de correction du deuxième étage de stabilisation de
fré-quence
L’équation 8.2 montre que l’actionneur effectif du deuxième étage de stabilisation de fréquence s’écrit TMC/FMC. Si l’on tient compte des gains relatifs des deux voies où s’ad-ditionnent les signaux d’erreur dans le tiroir RAMPEAUTO, le signal slas2de correction du deuxième étage de stabilisation de fréquence, tel que enregistré numériquement, a une sensibilité de 4 Hz/V.
Le signal de correction du deuxième étage de stabilisation de fréquence sert de signal d’erreur pour le verrouillage de la cavité de filtrage de mode ; la sensibilité du signal de correction est parfaitement compatible avec la mesure de la fonction de transfert en boucle ouverte GMC.
Le verrouillage de la cavité de filtrage de mode utilise le même filtre numérique lorsque le second étage de stabilisation de fréquence est engagé, avec le signal slas2, ou lorsqu’il ne l’est pas, avec le signal eRFC, avec un facteur numérique différent. Le rapport des deux facteurs numériques vérifie donc la mesure de sensibilité de slas2 par rapport à celle de eRFC.
8.5.6 Signal d’erreur du deuxième étage de stabilisation
L’ajustement de FL+ dans la mesure de la fonction de transfert en boucle ouverte Glas2 permet d’évaluer la sensibilité de eL+. D’après l’équation8.2, la fonction de transfert en boucle ouvert, défalquée de celle de l’électronique de verrouillage, devrait être un filtre passe-bas, avec le pôle de la double cavité : cavité de recyclage et cavité moyenne des grands bras. Dans la pratique, la forme est nettement plus complexe pour les fréquences supérieures à 4 kHz, comme le montre la figure8.4. L’injection d’une raie dans le signal d’erreur à 1111 Hz évalue la réponse de la boucle pour cette fréquence particulière. En estimant la réponse par un pôle simple, la sensibilité du signal d’erreur vaut 9.8×
réponse autour de l’intervalle spectral libre permet d’évaluer le pôle de la double cavité à 8 Hz, ce qui donc donne une sensibilité continue (fréquences plus petites que le pôle) estimée à 12.3 V/Hz.
8.5.7 Signal de correction du mouvement des miroirs des grandes
ca-vités
Pour une fréquence petite devant l’intervalle spectral libre, un déplacement relatif des miroirs des grandes cavités en mode commun produit un signal identique à un bruit re-latif de fréquence devant l’interféromètre. Un étalonnage de la réponse de la suspension du miroir d’extrémité du bras nord a consisté à introduire une perturbation sinusoïdale à 379 Hz, sur la masse de référence derrière le miroir. Le mouvement d’un seul miroir excite en partie le mode différentiel des grands bras et est donc vu comme un bruit de fréquence. La raie est présente sur le signal de correction slas2. Il est facile d’établir que la dépendance entre le signal slas2 et le signal de correction appliqué à la suspension sNE,corr : slas2 TMC FMC = Glas2 1+GT FL+,l FL+ 1 2Csusp,NEsNE,corr (8.17) où slas2TFMCMC est le signal de correction du deuxième étage de stabilisation de fréquence, étalonné en Hz ; FL+,l est la réponse de eL+à un mouvement différentiel des deux bras ; le facteur 1/2 est du à ce qu’un seul des deux miroirs est excité ; Csusp,NEest la réponse en déplacement de la suspension pour une tension de correction donnée. Pour les fré-quences petites devant la fréquence de gain unité du deuxième étage, Glas2
1+GT est bien sûr approximé à 1. La fraction FL+
FL+,l vaut ν0/L, où L est la longueur d’un grand bras. Avec la mesure reportée dans l’entrée 14206 du cahier électronique d de manipulations [132], j’établis donc que la réponse de la suspension est de 7.7×10−11 m/V à 379 Hz, en mode de contrôle bas bruit, donc par extrapolation 30 µm/V en continu.
Cette valeur diffère d’un facteur 3 de la valeur couramment utilisée pour l’étalonnage des signaux de la frange noire. La sensibilité de la suspension du bras nord, utilisée pour étalonner la réponse de l’interféromètre à une onde gravitationnelle, est plutôt estimée à 12 µm/V [133]. La raison de cet écart, à ce stade, n’est pas éclaircie.
8.6 Asymétrie
Un bruit de fréquence pourrait apparaître dans la frange noire en raison des asymétries entre les deux bras : asymétrie de longueur, de finesse, de réflectivité. Le bruit de fré-quence relatif à l’entrée de l’interféromètre est reproduit sur la frange noire, calibrée en h, l’onde gravitationnelle, par un facteur Fasym. La frange noire n’est ainsi pas seulement
sensible à une onde gravitationnelle, mais aussi à un déplacement résiduel différentiel de la longueur des bras, ainsi qu’à un bruit de fréquence.
Les premières notes sur la stabilisation de fréquence ne considèrent que l’asymétrie de finesse [110, 111], de même que les spécifications que j’ai établies [115] ; dans ce modèle, Fasymest une simple filtre passe-bas, avec un pôle aux environs de 10 Hz. Les documents [113, 124, 125] démontrent le rôle de l’asymétrie de réflectivité, due par exemple à des pertes non équilibrées dans les bras. J’étudie ici comment le bruit de fréquence se couple sur la frange noire, par un modèle et par des mesures. J’expose aussi la méthode de compensation par anticipation qui soustrairait le bruit de fréquence résiduel, offrant ainsi un facteur d’isolation supplémentaire.
− εL+ MC MC MC DARM Clas2 h ν C DARM + ++ + _ νL+ L− + + + F T L+ (1+G )(1+G ) νcorr + + νstab input ν FL+ FDARM, F DARM,h F L−,free 0 δ
FIG. 8.8 –Report du bruit de fréquence dans la frange noire.
Le couplage du bruit de fréquence est modélisé dans la figure8.8. Toutes les sources de bruits de fréquence sont ramenées à un bruit équivalent à l’entrée de l’interféromètre
νinput. Fdarm,νest la fonction de transfert qui couple le bruit de fréquence résiduel devant l’interféromètre dans le signal d’erreur de la frange noire edarm. Fdarmest la fonction de transfert entre un déplacement différentiel des miroirs L−et la frange noire. Cdarm est le produit du filtre correcteur qui maintient la sortie de l’interféromètre sur la frange
noire par la fonction de transfert de réponse des suspensions, de sorte que la fonction de transfert en boucle fermée est Gdarm = FdarmCdarm. Fdarm,h est la fonction de trans-fert entre une onde gravitationnelle et le signal d’erreur de la frange noire. La fonction d’étalonnage du signal d’erreur de la frange noire est
Fh = Fdarm,h
1+Gdarm . (8.18)
Le facteur Fasymest donné par la relation Fasym =ν0
Fdarm,ν
Fdarm,h . (8.19)
Si la perturbation p domine, la fonction Fasymse mesure par la fonction de transfert entre
eL+et edarm: Fasym = −edarm eL+ p ν0FL+ Fh . (8.20)
8.6.1 Modélisation
L’asymétrie s’écrit [125] Fasym = ∆F F 1 1+i f / frec +∆ζ 2 fP frec 1+i f / fP 1+i f / frec (8.21)où fP est le pôle à 500 Hz d’une grande cavité de 3 km, frec est le pôle de la cavité de recyclage estimé à 8 Hz, ∆FF est l’asymétrie relative de finesse des deux grandes cavités et∆ζ leur asymétrie de réflectivité en amplitude. J’ai simulé Fasymavec le modèle JAJY (chap. 3.5.2) où le bruit est un bruit de fréquence du laser. J’ai ensuite utilisé un modèle STF, plus maniable, en Matlab, qui étudie toutes les fonctions de transfert dans l’interféromètre qui font intervenir le bruit de fréquence. Les deux modèles produisent bien sûr des résultats identiques dans des conditions identiques.
Le modèle numérique consiste à utiliser un modèle de l’interféromètre similaire à l’exis-tant. Les miroirs ont des réflectivités identiques à celles mesurées à Lyon, et des pertes arbitraires, de 50 ppm ou 150 ppm, ont été ajoutées aux miroirs d’extrémité. La courbe 8.9 reproduit le résultat. Une asymétrie de finesse produit un pôle à environ 10 Hz, avec une amplitude en basse fréquence égale à l’asymétrie de finesse. Une asymétrie de pertes produit une fonction composée d’un pôle et d’un zéro ; l’amplitude basse fré-quence de la fonction de transfert est proportionnelle à l’asymétrie de réflectivité d’am-plitude, donc à la racine carrée du défaut de contraste. Lorsque les deux effets sont pré-sents, ils s’additionnent en basse fréquence ; si les signes sont corrects, ils peuvent même se compenser. La jonction entre la partie asymétrie de finesse / asymétrie de réflectivité
se fait par un zéro dont la fréquence dépend des valeurs relatives de l’asymétrie de finesse et de l’asymétrie de réflectivité.
FIG. 8.9 –Report du bruit relatif de fréquence, devant l’interféromètre, sur la frange noire, étalonnée en h. Les courbes mesurent une asymétrie de finesse de 5.4% et/ou une asymétrie de pertes de 100 ppm. La courbe verte montre une asymétrie de finesse de 0.9%.
8.6.2 Mesure
La mesure de l’asymétrie s’effectue par injection d’une perturbation dans le signal d’er-reur du deuxième étage de stabilisation de fréquence. G. Vajente, à Virgo, a mesuré la fonction de transfert entre le signal d’erreur du deuxième étage de stabilisation de fré-quence, avant perturbation, et la frange noire. La figure 8.10, extrait 17286 du cahier électronique de manipulations [132], représente la fonction de transfert, en V/V, avant
et après correction par(1+Gdarm), mais sans correction par les fonction FL+et Fdarm,h. Après correction, il reste un artefact qui est peut-être du à d’autres boucles d’asservis-sements couplées à la boucle du mode différentiel.
Si l’on rétablit les facteurs FL+et Fdarm,h, alors on obtiendra une courbe avec un pôle aux alentours de 10 Hz et un zéro à 500 Hz, courbe très similaire à celles de la figure8.9. Avec les mesures reportées dans l’entrée 14206 du cahier électronique de manipulations [132], j’établis que Fdarm,h =8.4×1011 W/h et donc que au moment de la mesure l’asymétrie en basse fréquence est de 4.1 %. L’asymétrie en haute fréquence est de 6.6×10−4, soit un défaut de contraste, avec la formule6.10, de 8.7×10−7.
FIG. 8.10 –Mesure de la fonction de transfert entre eL+et edarm, sans et avec correction de(1+Gdarm).
8.6.3 Contrôle de l’asymétrie à basse fréquence
Le contrôle de l’effet étalon entre la face anti-reflet et la face réfléchissante dans les mi-roirs d’entrée des grands bras permet d’ajuster l’asymétrie de finesse. Il est donc
pos-sible de la régler pour qu’elle compense exactement l’asymétrie de pertes, avec un signe opposé.
Le signal d’erreur est facile à créer. Une perturbation sinusoïdale à quelques dizaines de Hz serait ajoutée au signal d’erreur du deuxième étage de stabilisation de fréquence. Cette même perturbation démodulerait le signal de la frange noire. Après filtrage par un filtre passe-bas, le signal obtenu mesurerait l’asymétrie résiduelle. Le contrôle de la température de l’enceinte qui contient le miroir réaliserait la correction.
8.6.4 Verrouillage de la cavité rigide et commande par anticipation
Lorsqu’on verrouille le mode commun de l’interféromètre sur la cavité rigide, il y a risque de ramener le bruit de longueur de la cavité de référence, par le facteur d’asymé-trie Fdarm,νou par une asymétrie de gain des corrections supposées identiques effectuées sur le bras nord et sur le bras ouest. J’ai exposé comment les filtres de Coulon peuvent résoudre le problème, à condition que le mouvement des suspensions ne soient pas trop important (chap.6.4.4). Une technique additionnelle consiste à utiliser une technique de commande par anticipation ("feed-forward").
Il est possible de soustraire un bruit, de nature classique, qui perturbe une boucle, si il est mesurable et si sa fonction de transfert vers le signal d’erreur de la boucle est mesurable. Il s’agit de construire un filtre identique à la fonction mesurée, mais de signe opposé.
D’après l’équation 8.11, pour les fréquences petites devant la fréquence de gain unité du deuxième étage de stabilisation de fréquence (Glas2 1), le bruit de la cavité rigide est recopié sur la frange noire avec la fonction de transfert donnée par :
edarm = Fdarm,ν GL+
1+GL+νRFC . (8.22)
Si je décompose la fonction de correction CL+ par le filtre numérique de correction Cdsp,L+et la réponse de la suspension ν0
LCsusp,L+, où L est la longueur d’un grand bras, alors le signal de correction scorr,L+ de la boucle de verrouillage du mode commun des grands bras sur la cavité rigide voit le bruit de la cavité de référence :
scorr,L+ = L ν0 1 Csusp,L+ GL+ 1+GL+νRFC; (8.23)
donc un filtre numérique Fγ
Fγ = −F 1
darm,νCsusp,L+ L
ν0 (8.24)
G. Vajente, B. Swinkels et E. Campagna ont implémenté cette technique pour isoler les degrés de liberté de la partie centrale de l’interféromètre dans la frange noire, avec jus-qu’à un facteur 1000 d’atténuation ; ils ont récemment implémenté le filtre Fγ, ce qui rend complètement négligeable le bruit νRFCdans la frange noire [129, 134].
Cette technique pourrait également être implémentée pour corriger des raies éven-tuelles de slas2qui apparaîtraient dans le signal d’erreur, par un filtre Fδ.
corr C las2 νstab εL+ MC MC MC + − + − ν + − + − + + + + ν0 RFC ν F L+ εRFC F T (1+G ) input ν L+ ν FDARM CDARM + + + Fγ C DSP,L+ Csusp,L+ L− FDARM,ν F RFC 0 δL−,free + L +
FIG. 8.11 –Soustraction du bruit ramené de la cavité rigide par une technique de commande par anti-cipation.