Sensibilit´e ` a h

Comme pour le param`etre ℓ<sub>max</sub>, le param`etre de pas de grille h doit ˆetre choisi judi-cieusement pour ne pas demander un surplus de calcul inutile pour la pr´ecision que l’on souhaite. On suivra le mˆeme raisonnement qu’avec ℓ_max, on consid´erera le terme

∆kaselfk^hk L1 = kaselfk^hk−1 L1 − kaselfk^hk L1 kaselfk^hk L1 , (5.203) o`u kaselfk^hk

L1correspond `a l’auto-acc´el´eration calcul´ee pour ℓ<sub>max</sub>= 8 avec un pas d’int´egration h/2M = h<sub>k</sub> tel que h<sub>0</sub> = 0.01, h<sub>1</sub> = 0.005, h<sub>2</sub> = 0.0025, h<sub>3</sub> = 0.001. On trouve que le crit`ere

∆kaselfk^h_L1 ≤ 0.1% (5.204)

est satisfait pour h/2M = 0.001.

5.5.4 Comportement asymptotique en ℓ

A la section 5.3.1 on a d´ej`a not´e que le code respectait bien le comportement asymp-totique des quantit´es telles qu’elles sont donn´ees dans les ´equations quand le nombre ℓ devient grand (voir Fig. 5.7). Afin de valider si la technique de r´egularisation fonctionne

et que les param`etres de r´egularisation ont ´et´e correctement calcul´es il peut ˆetre judi-cieux de v´erifier le comportement asymptotique de l’auto-acc´el´eration (ou de la force propre) par rapport aux modes L.

2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5

L

ℓ

/

M

/m

a

Figure 5.25: Vitesse de convergence de la s´erie aself=P

ℓaℓ

ret− Ba.

La Fig. 5.25 donne la valeur des modes a^ℓ_self en fonction de L = ℓ + 1/2. La pente de la droite donne la vitesse de convergence de la s´erie a_self=P

ℓaℓ

ret− Bα

a qui est bien en O L⁻²
. (On rappelle que a^ℓ_ret est une moyenne telle que a^ℓ_ret = 1/2(a^ℓ_ret+ + a^ℓ_ret-)). Le bon comportement a ´et´e v´erifi´e pour plusieurs valeurs de R ∈ [2M, r0] et plusieurs valeurs de r₀ ≥ 10.

La Fig. 5.26 donne la mˆeme v´erification pour les composantes de la force propre.

2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5

L=ℓ+1/2

lo

g

|(

4

M

/m

)F

αℓ sel^f|

Figure 5.26: Vitesse de convergence de la s´erie Fα

self =P

ℓFαℓ

ret− Bα pour les deux

Dans ce travail de th`ese nous avons sond´e le th`eme complexe de la mod´elisation des EMRI et les probl`emes conceptuels et math´ematiques qu’elle pose. Heureusement de nombreux travaux ant´erieurs nous proposent aujourd’hui un cadre formel bien d´efini et accessible. Nous avons trait´e deux aspects de la mod´elisation des EMRI.

La premi`ere partie, dont les r´esultats ont ´et´e pr´esent´es au chapitre 4, a permis d’examiner la g´en´eration d’ondes gravitationnelles et leur propagation dans le formal-isme de Regge-Wheeler. Nous nous sommes plac´es dans le cas d’un syst`eme constitu´e d’une particule ponctuelle en orbite autour d’un trou noir de Schwarzschild. L’´evolution du champ perturb´e peut ˆetre ramen´e `a l’´equation d’onde de RWZ dont nous avons propos´e une m´ethode d’int´egration num´erique. Cette m´ethode exploite la nature non continue de la solution le long de la g´eod´esique en utilisant les conditions de saut de la fonction d’onde et de ses d´eriv´ees que nous avons d´efini analytiquement. Cette m´ethode a l’avantage de traiter la source comme une vraie distribution sans approximation ana-lytique et sa portabilit´e `a des ´equations hyperboliques quelconques dont le terme source est singulier est tout `a fait envisageable (cet algorithme a d’ailleurs ´et´e test´e avec succ`es pour l’´equation de Regge-Wheeler dans le cas scalaire). Le produit issu de ce travail est donc un code de calcul d’ordre 2 permettant d’obtenir les formes d’ondes `a l’infini et `a l’horizon pour chaque mode de perturbation ℓm et pour tous types d’orbites. Les spec-tres, les flux d’´energie et de moment angulaire calcul´es `a partir de ces formes d’ondes ont ´et´e compar´ees aux donn´ees pr´eexistantes issues de techniques de calcul diff´erentes. Nos donn´ees apparaissent conformes `a la litt´erature selon les chiffres donn´es essentiellement aux Tabs. 4.1,4.2,4.3,4.4,4.5et4.6. La pr´ecision du code ´etant valid´ee, une extension au 4`eme ordre a ´et´e construite pour des orbites radiales afin de l’appliquer au calcul des composantes du tenseur de perturbation qui n´ecessitent l’´evaluation de la d´eriv´ee troisi`eme de la fonction d’onde. De plus la r´esolution de la partie homog`ene a ´et´e perfec-tionn´ee et optimis´ee d’un point de vue purement algorithmique en employant diff´erentes techniques (SSE, parall´elisation) sur les unit´es de calculs dont nous disposions (voir Fig. 4.22).

La seconde partie a ´et´e ax´ee sur le calcul de la force propre en jauge de RW pour une particule en chute libre depuis un point fixe sur un trou noir de Schwarzschild et le calcul

de son effet sur le mouvement mˆeme de la particule. La premi`ere phase de ce travail a consist´e `a obtenir la force propre gravitationnelle le long d’une g´eod´esique purement radiale. On a d’abord propos´e une d´erivation des param`etres de r´egularisation A<sup>α</sup>, B<sup>α</sup> et C<sup>α</sup> en jauge de RW. Ce calcul est bas´e sur l’analyse locale de la fonction de Green, technique introduite par Barack dans le cas scalaire et en jauge harmonique. Le calcul explicite de cette proc´edure dans la jauge de RW n’apparaˆıt pas dans la litt´erature, c’est pourquoi nous l’avons d´etaill´e dans cette th`ese au chapitre 5. Les composantes du tenseur de perturbation et de la force retard´ee ont ensuite ´et´e calcul´ees num´eriquement pour chaque mode ℓ ≤max`a l’aide du code d’ordre 4 mis en place pr´ec´edemment. Une fois r´egularis´ee, la force propre est obtenue `a mieux de 0.1% et a pu confirmer les courbes de l’unique papier [54] donnant la force propre gravitationnelle en jauge de Regge-Wheeler pour une particule en chute libre. La force propre gravitationnelle intervenant dans l’´equation du mouvement au premier ordre perturbatif peut ˆetre r´e´ecrite en temps coor-donn´ee o`u le terme d’auto-acc´el´eration est reli´e aux composantes de la force propre par l’´equation (5.176). Nous avons montr´e que le terme d’auto-acc´el´eration est essentielle-ment domin´e par les premiers modes (le mode ℓ = 2 pouvant contribuer `a hauteur de 55%) et que la jauge de Zerilli n’est pas bien adapt´ee pour fournir le mode ℓ = 0. Nous avons utilis´e une autre jauge (not´ee G2) qui fournit un monopˆole bien d´efini `a l’horizon pour compl´eter la s´erie (5.184) `a r´egulariser.

Nous avons donn´e deux r´esolutions possibles pour l’´equation du mouvement. L’une est bas´ee sur l’approche pragmatique initialement propos´ee par Lousto [187]. Elle con-siste `a lin´eariser l’´equation du mouvement n´ecessitant l’´evaluation de l’auto-acc´el´eration (et par cons´equent de la force propre) uniquement sur la g´eod´esique. On a montr´e, con-trairement `a Lousto [187] que la d´eviation orbitale ´etait purement n´egative, d’amplitude ∼ O(m0/M ) et uniquement modul´ee par le rapport de masse et la position initiale r₀. Au cours du mouvement on peut ´egalement voir que l’´ecart de vitesse par rapport au mouvement g´eod´esique mettait en exergue deux r´egimes. Durant la premi`ere phase de chute la particule gagne de la vitesse par rapport au mouvement g´eod´esique puis une fois qu’elle entre dans la zone de champ fort (proche du maximum du potentiel de Zer-illi) elle d´ec´el`ere par rapport au mouvement g´eod´esique. De plus ce comportement est ind´ependant de m₀ ou de r₀.

La deuxi`eme approche que nous avons mise en place pour la r´esolution de l’´equation du mouvement est une approche osculatrice. Cet algorithme a enti`erement ´et´e d´evelopp´e et consiste `a trouver en chacun des points de la trajectoire perturb´ee une g´eod´esique tangente qui passe en ce point. On suppose alors que la force-propre calcul´ee en ce point peut ˆetre approxim´ee par la force propre prise sur la g´eod´esique osculatrice au point consid´er´e. Le code reproduit les r´esultats de l’approche pragmatique mais cette m´ethode est plus fid`ele `a l’esprit ”auto-consistant” puisqu’elle prend vraiment en compte l’action de la force propre `a chaque it´eration. On a pu montrer que la correction sur

la d´eviation orbitale par rapport `a l’approche pragmatique ´etait de l’ordre de quelques pour-cents (3% pour r<sub>0</sub>/2M = 15) et que les formes d’ondes perturb´ees ´etaient corrig´ees d’un facteur au plus ∼ O(m0/M ). Enfin, l’´energie calcul´ee par ´evolution orbitale est ´egalement corrig´ee d’une quantit´e positive qui peut ˆetre prise en compte dans le cas de rapports de masses interm´ediaires (m0 = 10<sup>−1</sup> − 10<sup>−2</sup>). Dans le cas d’un rapport de masse plus faible (m<sub>0</sub> = 10<sup>−5</sup>) cette correction apparaˆıt n´egligeable devant le crit`ere de pr´ecision de 1% que nous avions fix´e pour le calcul de l’´energie.

Aborder le probl`eme de l’´evolution orbitale dans le cas radial a ´et´e un bon exercice pour mettre en place les outils n´ecessaires pour envisager l’application `a des orbites g´en´eriques. Mˆeme si la chute radiale est d’un int´erˆet astrophysique moindre qu’un mou-vement plan, elle regroupe de nombreuses difficult´es int´eressantes dans son traitement num´erique : non-adiabaticit´e, zone de champ fort proche de l’horizon, zone de champ faible loin de l’horizon (configuration comparable lorsqu’on a un mouvement sur une orbite tr`es excentrique), cohabitation de deux ´echelles de temps (temps de chute et temps de propagation des OG). De plus d’un point de vue historique, la chute radiale a souvent ´et´e d’un grand int´erˆet permettant d’exposer ou d’illustrer un concept dans un cadre simplifi´e tout en ´etant physiquement pertinent. L’approche pleinement relativiste de la chute radiale, que nous venons d’exposer est, de ce point de vue, bien adapt´ee pour introduire la notion de force-propre (calculable en jauge de RW assez facilement) et son rˆole dans le mouvement orbital d’un syst`eme EMRI.

Les travaux pr´esent´es sur la r´esolution de l’´equation de RWZ pour le calcul des formes d’ondes ont ´et´e rassembl´es dans un article en pr´eparation. En addition au contenu nous souhaitons ajouter une ´etude sur l’influence d’un ´eventuel troisi`eme corps sur les formes d’ondes. Cet aspect est en cours de d´eveloppement.

En extension aux r´esultats pr´esent´es au chapitre 5 il est envisag´e d’´etudier les cal-culs post-newtoniens dans le cas radial afin d’avoir des donn´ees de confrontation fiables notamment sur l’´energie corrig´ee ou sur une autre quantit´e invariante de jauge encore `

a d´eterminer. Ces travaux sur la chute radiale feront l’objet de deux publications en cours de pr´eparation : l’une propose d’ins´erer, dans le contexte historique d’´etude sur la chute des corps, l’impl´ementation pleinement relativiste de la chute d’une particule sur un trou noir de Schwarzschild; l’autre, plus technique, d´etaillera tout le mat´eriel algorithmique mise en place pour traiter l’´evolution orbitale dans la jauge de RW.

Les codes de calcul que nous avons d´evelopp´es peuvent encore ˆetre optimis´es. Il est notamment pr´evu d’utiliser une technique de compactification spatio-temporelle [180] permettant de r´eduire consid´erablement le domaine d’int´egration et donc le temps de calcul pour chaque mode. Pour les orbites planes, le portage `a une pr´ecision d’ordre sup´erieur `a 2 pourrait ˆetre envisag´e permettant l’acc`es aux perturbations. Les modes de perturbation ´etant non continus dans ce cas (contrairement au cas radial) la r´egularisation

de la force propre n’est pas possible. Cependant les travaux r´ecents de Hopper et Evans [154][155] laissent esp´erer une technique de correspondance entre jauge de RW et jauge harmonique qui permettraient de calculer la force propre gravitationnelle en jauge har-monique `a partir des perturbations calcul´ees en jauge de RW.

Pour finir, ce travail de th`ese pr´esent´e dans ce document, doit essentiellement ˆetre vu comme une estimation du formalisme et des m´ethodes num´eriques n´ecessaires pour acqu´erir des bases solides avant d’´etudier des scenarii astrophysiquement plus appro-fondis. Cette ´etude a ´et´e pr´esent´ee `a la 16`eme rencontre de la communaut´e CAPRA `a Dublin au mois de juillet 2013.

Conditions de sauts : Orbites

planes

On liste ici la forme explicite des conditions de saut des fonctions ψ^ℓm_e/o et de leurs d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre 2. Les conditions de saut sont calcul´es sur une g´eod´esique rep´er´ee par (R(t), Φ(t), Θ(t)). On consid`erera ici que le point ”·” correspond `a la d´eriv´ee temporelle d/dt telle que ˙R = dR/dt = f<sub>R</sub>/E<sup>p</sup>E2− fR o`u on a not´e f_R ··= f(R). On rappelle l’expression de λ = (ℓ − 1)(ℓ + 2)/2 et on introduira K = (π m0ut)/(λ + 1) avec u^t= dt/dτ = E/fR, Λ₁(R) = (λR + 3M ) et Λ₂(R) = λR²(λ + 1). On rappelle ´egalement les fonctions angulaires

X^ℓm(θ, φ) = 2 (∂_θ∂_φ− cot θ∂φ) Y^ℓm(θ, φ) (A.1) W^ℓm(θ, φ) = ∂_θ²− cot θ∂θ− sin⁻²θ∂_φ²
Y^ℓm(θ, φ) (A.2) A^ℓm(Θ, Φ) = ˙ Θ sin⁻¹Θ∂_φ− sin Θ ˙Φ∂θ  Y^ℓm(Θ, Φ) . (A.3)

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