Harmoniques sph´eriques tensoriels

−g^δ (4) (x − xp(τ )) dτ . (3.32) Ici l’espace-temps de fond est un trou noir de Schwarzschild de m´etrique g_αβ. Les fluctuations de la m´etrique de fond seront donn´ees par le tenseur de perturbation h_αβ solution de (3.32) et dont l’amplitude est de l’ordre du rapport de masse ε = m₀/M ≪ 1. On verra dans les sections suivantes, que l’on peut tirer b´en´efice de la sym´etrie de la g´eom´etrie de fond par une d´ecomposition multipolaire de l’´equation (3.32). De plus la libert´e sur le choix de jauge nous conduira `a simplifier le probl`eme dans la jauge de Regge-Wheeler sous la forme de deux syst`emes d’´equations chacun li´e `a la nature paire ou impaire des perturbations.

3.3.2 Harmoniques sph´eriques tensoriels

Le d´eveloppement multipolaire en harmoniques sph´eriques est tr`es souvent d’une grande aide simplificatrice dans de nombreux probl`emes de physique d`es lors que les objets ma-nipul´es sont des champs. La complexit´e du d´eveloppement d´epend g´en´eralement de la nature du champ consid´er´e. Par exemple lorsque l’on traite le champ (scalaire) gravita-tionnel newtonien produit par une distribution de mati`ere quelconque, il est habituelle-ment d´ecompos´e sur un ensemble de fonctions qui forhabituelle-ment une base sur la sph`ere S2 et qui constitue l’ensemble des harmoniques sph´eriques scalaires (HSS)

n

Y_ℓm(θ, φ) , ℓ ∈ N; m ∈ N; |m| ≤ ℓ^o . (3.33) Les HSS sont d´efinies comme l’ensemble des fonctions (de carr´e int´egrable) appartenant `

a l’espace des fonctions propres du laplacien ∆S2 ··= sin−1θ_∂θ^∂ sin θ_∂θ^∂

+ sin⁻²θ_∂^∂2²φ sur la 2-sph`ere S2. Plusieurs conventions existent pour la formulation explicite des HSS4, on prendra Y_ℓm(θ, φ) ··= r 2ℓ + 1 4π ℓ − m ℓ + m^P m

ℓ (cos θ)e^imφ , (3.34)

pour θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π) et o`u Pm

ℓ sont les polynˆomes de Legendre. Le facteur de normalisation est d´efini tel que la relation d’orthogonalit´e s’´ecrit

Z

S2

Y_ℓm(θ, φ)Y_ℓ^⋆′m′(θ, φ)dΩ = δ_ℓℓ′δ_mm′ , (3.35)

4Certains auteurs ajoutent le facteur de phase de Condon-Shortley (−1)m`a l’expression (3.34)

nor-malement inclus dans la d´efinition des polynˆomes de Legendre. Inclure ce terme dans la d´efinition des

avec δ_ij le symbole de Kronecker et ⋆ indiquant le complexe conjugu´e. Les HSS forment ainsi une base orthonormale de l’espace L2(S2) des fonctions de carr´e int´egrable dans le sens o`u toute fonction scalaire a ∈ L²(S²) peut se d´ecomposer sur S² tel que

a(θ, φ) =X ℓm A_ℓmY_ℓm(θ, φ) A_ℓm= Z S2 a(θ, φ)Y_ℓm^⋆ (θ, φ)dΩ , (3.36)

L’´evaluation des coefficients A_ℓm est souvent simplifi´ee en utilisant les relations de sym´etrie des HSS

Y_ℓm(θ, φ + π) = (−1)^mY_ℓm(θ, φ) , Y_ℓm(π − θ, φ) = (−1)^ℓ+mY_ℓm(θ, φ) , Y_ℓm(π − θ, φ + π) = (−1)^ℓY_ℓm(θ, φ) .

(3.37)

En relativit´e g´en´erale, le champ de gravitation est repr´esent´e par un tenseur sym´etrique de rang 2. La base sur laquelle on d´ecompose les perturbations de la m´etrique ne peut plus ˆetre de nature scalaire mais de nature tensorielle. Mˆeme si l’usage des harmoniques sph´eriques tensoriels (HST) en relativit´e g´en´erale a ´et´e peu fr´equent, la d´efinition des HST est loin d’ˆetre standardis´ee. Diff´erentes bases d’HST ont ´et´e introduites depuis les travaux d’Einstein [42] sur les ondes gravitationnelles, chaque base ´etant assortie au probl`eme trait´e par leur auteur (on pourra se r´ef´erer `a Thorne [129] pour un recensement exhaustif des HST en relativit´e g´en´erale). On peut mentionner les travaux initiateurs de Regge et Wheeler [23] qui, en 1957, proposent une base nomm´ee base tensorielle multipolaire qui leur permet de d´ecrire les perturbations non sph´eriques de la m´etrique d’un trou noir de Schwarzschild. Plus tard, par un proc´ed´e diff´erent, Matthews [130] puis Zerilli [25] fournissent une base orthogonale appel´ee base tensorielle harmonique, l´eg`erement diff´erente de celle de RW et mieux adapt´ee `a la description du rayonnement gravitationnelle dans la zone radiative [129]. On retiendra cette derni`ere base pour le traitement de nos calculs. Compte tenu de la sym´etrie sph´erique, la vari´et´e de fond M peut ˆetre vue comme M = M2×S2 o`u M2 est une vari´et´e lorentzienne bi-dimensionnelle ´etiquet´ee par les coordonn´ees (t, r). Cette distinction nous permet de traiter la partie spatio-temporelle des perturbations `a part sur M2 et de confiner la partie angulaire des perturbations sur S² dont la m´etrique est

Ω_ab= ^{1 0} 0 sin²θ ! , Ω^ab= ^{1 0} 0 sin⁻²θ ! . (3.38)

La base harmonique tensorielle peut s’obtenir `a partir de 10 ´el´ements construits `a par-tir de 3 scalaires, 2 vecteurs et 3 tenseurs, chacun associ´e `a un type de parit´e, sous la

transformation (θ, φ) → (π − θ, π + φ).

• Les composantes scalaires des HST sont les HSS que l’on a d´ej`a d´efinis qui satis-font l’´equation aux valeurs propres Ω^ab∇a∇bY^ℓm = −ℓ(ℓ + 1)Y^ℓm et ob´eissent au relations d’orthogonalit´e (3.35) :

Y_ℓm , de parit´e (−1)^ℓ (3.39)

• Les composantes vectorielles des HST sont de deux types :

∇aY_ℓm , de parit´e (−1)^ℓ

ε^b_a∇bY_ℓm , de parit´e (−1)^{ℓ+1 (3.40)} • Les composantes tensorielles des HST, qui sont en fait une combinaison lin´eaire

de la base introduite par Regge-Wheeler [23], sont de deux types diff´erents :

Ω_abY_ℓm et ∇a∇bY_ℓm+¹ 2^{ℓ(ℓ + 1)ΩabYℓm ,} de parit´e (−1)^ℓ 1 2  ε^c_b∇a∇cY_ℓm+ ε^c_a∇b∇cY_ℓm , de parit´e (−1)^ℓ+1 . (3.41)

On a employ´e le tenseur antisym´etrique compl`etement covariant ε<sub>ab</sub> d´efini par ε<sub>ab</sub>εbc= Ω<sup>c</sup><sub>b</sub> et ∇cε<sub>ab</sub> = 0 o`u les lettres latines a, b, c . . . parcourent les composantes θ, φ tel que ε^θφ= −ε^φθ = 1/ sin θ. Les HST d´efinies par Zerilli que l’on notera⁵

n

Y_ab^(i)ℓm(θ, φ) , ℓ ∈ N; m ∈ N; |m| ≤ ℓ; i ∈ {1 . . . 10}^o (3.42) constituent une base orthogonale dans le sens o`u

Z

S2η^αγη^βδ

Y_γδ^(i)ℓm⋆

Y_αβ^{(j)ℓ′m′}dΩ = δijδ_ℓℓ′δ_mm′ (3.43) pour tout i, j ∈ {1 · · · 10} o`u ηαβ est donn´ee par6η_αβ = diag(1, 1, r2, r2sin²θ). Parmi les Y_ab^(i)ℓm, sept sont de parit´e (−1)^ℓ et constituent une base pour tout tenseur sym´etrique covariant de rang 2 de parit´e (−1)^ℓ, les trois restant sont de parit´e (−1)^ℓ+1et constituent une base pour un tel tenseur de parit´e (−1)^ℓ+1. Ainsi tout tenseur t_αβ sym´etrique

5Nous choisissons une notation diff´erente de celle de Zerilli dans le but d’all´eger et d’uniformiser les

expressions. Le tableau3.1permettra de faire le lien entre les deux notations.

6Zerilli [25] utilise une d´efinition diff´erente du produit scalaire en prenant la m´etrique de Minkowski

pour faire monter et descendre les indices mais qui ne respecte pas exactement les conditions

d’orthogonalit´e des HST. Sous ces conditions on a par exemple (a⁽¹⁾_ℓm, a⁽¹⁾_ℓm) = −1. On choisira, en

suivant Nakano et Lousto [131][132] une autre d´efinition de ηαβ qui pr´eserve l’orthogonalit´e des HST

covariant de rang 2 peut ˆetre d´ecompos´e sous la forme t_αβ =X ℓm 10 X i=1

t^(i)ℓm(t, r)Y_αβ^(i)ℓm(θ, φ) (3.44) o`u les coefficients fonctions de t et r sont donn´es par le produit scalaire

t^(i)ℓm(t, r) = Z S2 η^αγη^βδt_αβ Y_γδ^(i)ℓm⋆ dΩ . (3.45) avec dΩ = sin θdθdφ.