Mouvement d’une particule charg´ee dans un espace-temps courbe . 23

L’´equation qui r´egit la dynamique du quadri-potentiel vecteur A^α dans une m´etrique g_αβ quelconque sous la condition de jauge de Lorenz ∇αA^α= 0 est

g^αβ∇α∇βA^α− R^αβA^β = −4πj^α (2.30) o`u R<sub>β</sub><sup>α</sup> et ∇α sont respectivement le tenseur de Ricci et la d´eriv´ee covariante calcul´es dans la m´etrique g<sub>αβ</sub>. Tout comme dans la section pr´ec´edente, il est possible de trouver des solutions particuli`eres de l’´equation (2.30) en terme d’int´egrales des fonctions de Green retard´ee et avanc´ee

A^α_ret(x) = Z γ G^α_retβ′(x, x^′)j^β′√ −gd⁴x^′ (2.31) A^α_adv(x) = Z γ G^α_advβ′(x, x^′)j^β′√ −gd⁴x^′. (2.32)

Comme on peut s’en douter, `a cause du terme de courbure pr´esent dans (2.30), les fonctions de Green Gα

ret,advβ′(x, x′) n’auront pas le mˆeme support que dans les ´equations (2.18) et (2.19) :

• G^αretβ′(x, x^′) est support´ee par le cˆone et l’int´erieur du cˆone de lumi`ere futur de x^′. Ainsi les contributions affili´ees au potentiel Aα

reten un point x proviennent de tous les point x^′ situ´es dans le pass´e chronologique de x.

• Gα

advβ′(x, x′) est support´ee par le cˆone et l’int´erieur du cˆone de lumi`ere pass´e de x^′. Donc les contributions affili´ees au potentiel A^α_adv en un point x proviennent de tous les point x′ situ´es dans le futur chronologique de x (voir le Tab.2.1).

Dans le cas d’un espace-temps plat on a construit un champ singulier Aα

S dont la singu-larit´e au voisinage de la particule poss`ede la mˆeme structure que celle du champ retard´e A<sup>α</sup><sub>ret</sub>. A<sup>α</sup><sub>S</sub> nous a permis de construire la partie radiative A<sup>α</sup><sub>R</sub>= A<sup>α</sup><sub>ret</sub>− A<sup>α</sup>S seule respons-able de la force propre qui s’exerce sur la particule. Cependant si l’on applique la mˆeme d´efinition (2.21) dans le cas d’un espace-temps courbe, le bi-tenseur associ´e `a A^α_R serait donn´e par Gα

Rβ′(x, x′) = 1/2h Gα

retβ′(x, x′) − Gα

advβ′(x, x′)i

. Cette formulation implique que le champ r´egulier en un point x d´epend d’´ev´enements x^′ qui se d´eroulent dans le futur de x, ce qui est causalement peu exploitable. Detweiler et Whiting [76] montrent que l’on peut utiliser une autre version du champ singulier qui reproduit correctement le comportement singulier de la solution retard´ee et qui assure que le bi-tenseur r´egulier Gα

Rβ′ n’implique pas le futur chronologique de x. Il d´efinissent alors G^α_Sβ′(x, x^′) = ¹ 2 h G^α_retβ′(x, x^′) + G^α_advβ′(x, x^′) − Hβ^α′(x, x^′)i , (2.33) o`u le bi-tenseur Hα

β′(x, x′), support´e par la ligne d’univers est choisit de tel sorte `a supprimer les caract´eristiques causales gˆenantes dans l’approche na¨ıve mentionn´ee plus haut⁴ (voir le Tab.2.1pour les propri´et´es de H). Ainsi la fonction de Green

G^α_Rβ′(x, x^′) = G^α_retβ′(x, x^′) − G^αSβ′(x, x^′) = ¹

2 h

G^α_retβ′(x, x^′) − G^αadvβ′(x, x^′) + H_β^α′(x, x^′)i (2.34) reste finie dans la limite x → x^′ et assure que le champ r´egulier correspondant d´ependra uniquement de l’histoire pass´ee de la particule et reste par la mˆeme occasion lui aussi bien d´efini au voisinage de la particule. De la sorte, on peut montrer, comme dans le cas plat, que A^α_S n’exerce aucune force sur la particule et que le potentiel r´egulier A^α_R, solution de l’´equation d’onde homog`ene, est lui seul responsable de la force propre.

4On pourra se r´ef´erer `a [76] pour une d´efinition plus pr´ecise de H `a partir de la d´ecomposition de

Maintenant que le champ r´egulier a bien ´et´e identifi´e, la force propre peut ˆetre calcul´ee. La g´en´eralisation de l’´equation (2.29) `a un espace-temps courbe donne5

m₀a^α = F_ext^α + qF_Rβ^α u^β (2.35)

o`u a<sup>α</sup> = Du<sup>α</sup>/dτ = u<sup>β</sup>∇βu<sup>α</sup> est maintenant l’acc´el´eration covariante et o`u le tenseur ´electromagn´etique r´egulier est donn´e par FR

αβ = ∇βAR

α−∇αAR

β. Dans sa forme explicite, l’´equation du mouvement est [73][87]

m₀a^α = F_ext^α +² 3^q 2(δ^α_β + u^αu_β)^DF β ext dτ +¹ 3^q 2(δ^α_β + u^αu_β)R^β_γu^γ + 2q²u_βlim ǫ→0 Z τ −ǫ −∞ h ∇^αG^β_retγ′− ∇^βG^α_retγ′ i u^γ′dτ^′ (2.36)

dans laquelle tous les tenseurs sont ´evalu´es `a la position de la particule. Les deux pre-miers termes du membre de droite sont identiques `a ceux pr´esent dans l’´equation d’ALD (2.29). Le troisi`eme est un terme de courbure li´e au tenseur de Ricci non pr´esent dans un espace-temps plat puisque R<sub>αβ</sub> = 0 dans ce cas. Le quatri`eme terme est une int´egrale qui exprime la nature non locale en temps de la force propre en espace-temps courbe. En effet ce dernier terme, non pr´esent dans un espace-temps plat (puisque Gα

retβ = 0 sur le domaine d’int´egration consid´er´e) repr´esente la contribution des radiations ´emises dans le pass´e de la particule et qui viennent interagir avec cette derni`ere apr`es avoir ´et´e diffus´ees par la courbure de l’espace-temps (voir Fig. 2.2). Par cons´equent, en espace-temps courbe, les ondes ´electromagn´etiques se propagent non seulement `a la vitesse de la lumi`ere mais ´egalement `a toutes les vitesse inf´erieures `a la vitesse de la lumi`ere, le d´elai ´etant caus´e par cette interaction entre le champ et la courbure. Ce comportement est intimement li´e au fait que la structure causale de la fonction de Green est plus riche dans un espace-temps courbe que dans le cas plat comme on l’a vu pr´ec´edemment.

L’´equation du mouvement (2.36) fut calcul´ee pour la premi`ere fois par Dewitt et Brehme [73] et corrig´e par Hobbs [87] qui ajouta le terme de courbure non pr´esent dans la formulation originale. En fait Dewitt et Brehme ont suivit une approche un peu diff´erente de celle expos´ee ici. Ils d´ecoupent le potentiel retard´e en deux contributions : un contribution ”directe” et une contribution ”diffus´ee” (tail). La contribution directe associ´ee au vecteur potentiel en un point x est la partie qui se propage le long du cˆone de lumi`ere pass´e de x depuis le point d’intersection entre le cˆone de lumi`ere pass´e de x et la ligne d’univers. La contribution diffus´ee, en revanche, est la partie des radiations

5En r´ealit´e la partie singuli`ere du champ n’est pas impliqu´ee dans le mouvement de la particule mais

contribue `a son inertie. Par cons´equent la masse de la particule doit ˆetre renormalis´ee et le terme de

masse m0 intervenant dans2.35et2.36n’est pas la masse nue de la particule mais sa masse renormalis´ee

contribution directe une contribution diffusée x x′(τ ) x′(τret)

Figure 2.2: La contribution directe au vecteur potentiel en un point x est la partie qui

se propage le long du cˆone de lumi`ere pass´e de x depuis le point d’intersection entre le cˆone de lumi`ere pass´e de x et la ligne d’univers. La contribution diffus´ee, en revanche, est la partie des radiations qui se propagent `a l’int´erieur du cˆone de lumi`ere pass´e de x et qui proviennent de tous les points occup´es par la particule dans le pass´e jusqu’au point (exclu) qu’elle occupe au temps retard´e τret.

qui se propagent `a l’int´erieur du cˆone de lumi`ere pass´e de x et provient de tous les points occup´es par la particule dans le pass´e jusqu’au point (exclu) qu’elle occupe au temps τ . Par analogie `a Aα

S et Aα

R Dewitt et Brehme construisent Aα

dir et Aα

tail et montrent que c’est la partie directe du potentiel retard´e qui diverge quand x → x^′ et que seule la contribution diffus´ee est responsable de la force propre. La connaissance de Aα

tailpermet ainsi le calcul de l’auto-acc´el´eration

m₀a^α= F_ext^α + qF_tailβ^α u^β (2.37) o`u Ftail

αβ = ∇βAtail

α − ∇αAtail

β est la force propre calcul´ee `a partir du champ diffus´e A<sup>tail</sup><sub>α</sub> . Cependant, comme le mentionnent Detweiler et Whiting [76], la d´ecomposition ”directe/diffus´e” est utile pour le calcul de la force propre mais ne permet pas d’expliquer physiquement la force propre en terme d’interaction de charge avec un champ ´electroma-gn´etique externe, comme cela est fait avec la d´ecomposition ”R/S”. Par ailleurs, A<sup>α</sup><sub>tail</sub> n’est pas solution homog`ene de (2.30).

Le r´esultat important `a retenir ici est donc que la force propre ´electromagn´etique ressenti par la particule charg´ee `a un temps τ donn´e d´epend de l’histoire pass´ee de la particule dans sa totalit´e. Ce comportement n’est pas propre `a l’´electromagn´etisme, on trouvera une formulation ´equivalente `a (2.36) dans les travaux de Mino, Sasaki et Tanaka [27] puis Quinn et Wald [28] qui ´etendent cette ´etude au cas gravitationnel pour une particule massive en mouvement dans une m´etrique de fond quelconque. Nous verrons

que, dans ce cas, c’est le champ de perturbation de la m´etrique elle mˆeme qui interagira les contributions venant du pass´e de la particule par l’interm´ediaire de la m´etrique de fond.

G_ret/adv Satisfait l’´equation in-homog`ene

x′(τret) Retardé Avancé x x x′(τadv) G^ret_β′α 6= 0 ∀ x ∈ I⁺(x^′) Gadv β′α 6= 0 ∀ x ∈ I−(x′) Gret β′α= Gret αβ′

H Satisfait l’´equation homog`ene

x H_β^α′ = G^α_retβ′ ∀ x ∈ I⁺(x^′) Hα β′ = Gα advβ′ ∀ x ∈ I−(x′) H_β′α= H_αβ′

G_S Satisfait l’´equation in-homog`ene

x x′(τret) x′(τadv) Gα Sβ′ = 0 ∀ x ∈ I±(x′) GS β′α= GS αβ′

G_R Satisfait l’´equation homog`ene

x x′(τadv) Gα Rβ′ = Gα retβ′ ∀ x ∈ I+(x′) G^α_Rβ′ = 0 ∀ x ∈ I⁻(x^′)

Table 2.1: Tableau r´ecapitulatif des propri´et´es des diff´erentes fonctions de Green et

fonctions introduites pour le calcul du potentiel retard´e dans le cas d’un espace-temps courbe. Dans chaque cas, les potentiels vecteurs associ´es d´ependent de l’histoire de la

particule durant l’intervalle donn´ees par les courbes rouges. Le temps retard´e τret et

le temps avanc´e τadv correspondent aux dates pour lesquelles le cˆone de lumi`ere de x

coupe la ligne d’univers (courbe noire). I+(x′) correspond `a l’ensemble des ´ev´enements situ´es dans le pass´e chronologique de x′. De mˆeme I+(x′) est l’ensemble des ´ev´enements

appartenant au futur chronologique de x′.

2.2 Force propre gravitationnelle