CHAPITRE 2 : LA MESURE EN MICROELECTRONIQUE
5 Optimisation de la boucle de régulation
5.5 Comparaison des algorithmes pour la régulation lot à lot
5.5.5 Sensibilité des paramètres des algorithmes
La sensibilité des paramètres est un point important à prendre en compte. En effet, si les paramètres sont trop sensibles, une petite variation de leur valeur par rapport à la valeur optimale peut induire de très mauvais résultats pour la régulation. Ainsi, les erreurs quadratiques des algorithmes sont observées pour différentes valeurs de leurs paramètres. Ces erreurs sont simulées à partir de la base de test.
Algorithme EWMA
On fait varier le poids de la régulation ω et on regarde l’incidence sur l’erreur quadratique Z. La Figure 148 montre les variations de Z en fonction de ω. Si l’on tolère une augmentation de 10% de l’erreur quadratique minimum, ω peut se situer dans l’intervalle [0.4, 1]. Les valeurs de ω trop faibles induisent rapidement une forte augmentation de l’erreur quadratique.
Figure 148: Variation de l’erreur quadratique en fonction de ω pour la méthode EWMA
Algorithme PCC et double EWMA
Les 2 paramètres ω1 et ω2 de la régulation varient entre 0 et 1 et l’erreur quadratique
résultante Z est observée. La Figure 149 et la Figure 150 représentent l’évolution de Z lorsque ω1 et ω2 varient pour les méthodes PCC et double EWMA. La zone blanche
représente une augmentation par rapport à l’erreur quadratique minimum supérieure à 10%.
Figure 149: Variations de l’erreur quadratique en fonction de ω1 et ω2 pour la
méthode PCC
Figure 150: Variations de l’erreur quadratique en fonction de ω1 et ω2 pour la
méthode double EWMA
Lorsque l’on tolère une augmentation de l’erreur quadratique de 10 %, les paramètres
risquer une trop grande dégradation de l’erreur quadratique. On retrouve le fait que l’algorithme double EWMA permet d’avoir une erreur quadratique moins importante que l’algorithme PCC.
Algorithme EWMA basée sur l’usure
Les 2 paramètres ω1 et ω2 de la régulation varient entre 0 et 1 et l’erreur quadratique
résultante Z est observée en Figure 151. La zone blanche représente une augmentation par rapport à l’erreur quadratique minimum supérieure à 10%.
Figure 151: Variations de l’erreur quadratique en fonction de ω1 et ω2 pour la
méthode EWMA basée sur l’usure
La sensibilité des paramètres est similaire aux méthodes PCC et double EWMA.
Filtre de Kalman
La sensibilité des paramètres du filtre de Kalman est plus difficile à mettre en œuvre du fait du grand nombre de paramètres. Les paramètres sont donc observés indépendamment les uns des autres.
Tout d’abord, la sensibilité de R, bruit de la mesure, est observée. Les autres paramètres sont fixés à leur valeur optimale calculée précédemment. La Figure 152 représente les variations de l’erreur quadratique en fonction de R.
Figure 152: Variations de l’erreur quadratique en fonction de R pour le filtre de Kalman
L’algorithme est relativement sensible à la valeur de R. En effet, une petite diminution de R par rapport à sa valeur optimale induit une augmentation rapide de l’erreur quadratique.
La même étude est effectuée en faisant varier les paramètres de Q, la matrice de variance du bruit du procédé. Une matrice de la forme suivante est supposée :
= 2 0 0 1 Q Q Q .
L’erreur quadratique est observée en fonction des variations de Q1 et Q2 sur la Figure 153.
La sensibilité de Q1 est relativement faible, par contre la valeur de Q2 ne doit pas trop s’éloigner de sa valeur optimale.
De même, pour P0, une matrice de la forme suivante est supposée :
= 2 0 0 1 0 P P P .
L’erreur quadratique est observée en fonction des variations de P1 et P2 sur la Figure 154.
Figure 154: Variations de l’erreur quadratique en fonction de P0 pour le filtre de
Kalman
La sensibilité de P1 est quasiment nulle, contrairement à P2 qui est relativement sensible.
La sensibilité de l’estimation initiale des paramètres du modèle θ0 est observée.
= 2 1 0
θ
θ
θ
Figure 155: Variations de l’erreur quadratique en fonction de θ0 pour le filtre de
Kalman
La sensibilité des paramètres θ1 et θ2 est relativement similaire. On peut se permettre
une faible variation de θ1 et θ2 par rapport à leur valeur optimale sans trop dégrader
l’erreur quadratique. La sensibilité de θ1 et de θ2 n’est pas trop critique. En effet, leur
estimation s’effectue aisément à l’aide de données de production. Ils correspondent à la pente moyenne et à la constante moyenne de la relation entre vitesse de polissage et usure du pad.
Prédiction non-paramétrique
Pour la prédiction non-paramétrique, un seul paramètre est à ajuster, R, qui correspond aux nombres de valeurs consécutives de la vitesse dont on se sert pour prédire la vitesse au temps suivant. L’erreur quadratique est observée pour différentes valeurs de R sur la Figure 156.
Figure 156: Variations de l’erreur quadratique en fonction de r pour la prédiction non-paramétrique
La sensibilité de R est relativement importante. Ainsi, la valeur de R doit être estimée précisément pour ne pas affecter l’erreur quadratique.
Conclusion : En terme de sensibilité, les méthodes de type EWMA sont relativement robustes. Le filtre de Kalman nécessite un ajustement plus précis de ses paramètres, en particulier de Q et R. Les algorithmes qui nécessitent le moins d’attention dans le paramétrage sont l’algorithme EWMA basé sur l’usure et l’algorithme EWMA simple. Le Tableau 35 résume ces performances.
Tableau 35: Performance des algorithmes pour la sensibilité de leurs paramètres
Algorithmes Sensibilité des paramètres
EWMA sans remise à zéro ++
EWMA avec remise à zéro ++
PCC +
Double EWMA +
Double EWMA basée sur l’usure du pad + + Filtre de Kalman – – Prédiction non paramétrique +