4.9 Première étape à température ambiante
5.1.4 Sensibilité de la mesure aux différentes sources d’erreurs
5.1.4.1 Sensibilité aux différences d’intensité entre les bras de l’interféromètre
- Prenons d’abord le cas d’une différence d’intensité achromatique. Le flux mesuré par le dé- tecteur à la sortie de l’interféromètre peut s’écrire alors :
N (ddm) = Z σ2 σ1 K(σ)I1+ I2+ p I1I2cos (2πσddm + ε(σ)) dσ (5.7)
En faisant les mêmes hypothèses que pour l’équation 5.2, on obtient de nouveau l’équation 5.3, avec
S(σ) =pI1I2K(σ) exp (i.ε(σ)) (5.8)
La méthode de mesure de la phase résiduelle par transformée de Fourier est insensible aux défauts d’in- tensité achromatique.
- Si on fait l’hypothèse que le défaut d’intensité est chromatique, alors l’équation 5.11 devient :
N (ddm) = Z σ2 σ1 I1K1(σ) + I2K2(σ) + p I1I2K1(σ)K2(σ) cos (2πσddm + ε(σ)) dσ (5.9)
Où K1/2(σ)est défini par B1/2(σ) = 12.I1/2.K1/2(σ)
De la même façon on retrouve l’équation 5.3, avec
S(σ) =pI1I2K1(σ)K2(σ) exp (i.ε(σ)) (5.10)
La méthode de mesure de la phase résiduelle par transformée de Fourier est insensible aux défauts d’intensités.
5.1.4.2 Sensibilité aux défauts de polarisation entre les bras de l’interféromètre
Comme nous l’avons vu au chapitre 3, il y a deux types de défauts de polarisation :
• Les défauts de rotation de polarisation : des défauts géométriques, et par suite achroma- tiques.
• Des défauts de phase dus aux différences d’incidences sur les deux bras de l’interféromètre. - Dans le premier cas, si on suppose qu’il n’existe pas de déphasage résiduel différentiel dû à la polarisation, alors le flux en sortie de l’interféromètre est la somme d’une composante inco- hérente ne produisant pas d’interférence, et d’une composante interférentielle déséquilibrée en intensité. L’équation 5.1, devient :
I(ddm) = Z σ2 σ1 K(σ)Iincoherent+ I1+ I2+ p I1I2cos (2πσddm + ε(σ)) dσ (5.11)
Encore une fois, pour retrouver la phase résiduelle introduite par le déphaseur, il suffit d’ap- pliquer la formule 5.4. La mesure de la phase résiduelle est insensible aux rotations de pola-
5.1. Méthode par transformée de Fourier 137
- Le deuxième cas est nettement différent. En effet cette fois la phase résiduelle dans l’inter- féromètre ε′(σ), est la somme de la phase résiduelle introduite par le déphaseur et de la phase
résiduelle introduite par les différences d’incidences dans les deux bras de l’interféromètre. De plus comme l’interféromètre fonctionne en lumière non polarisée, l’intensité en sortie d’in- terféromètre est la somme incohérente de deux signaux interférométriques avec des fonctions de phase résiduelle différentes (un signal pour la polarisation horizontale et un signal pour la polarisation verticale). Dans ce cas l’équation 5.2, devient :
Im(ddm) = Re Z σ2 σ1 −hBs(σ)eiε ′ s(σ)+ B p(σ)eiε ′ p(σ) i . exp 2iπ λ ddm dσ (5.12)
en prenant la transformée de Fourier inverse de Im, on obtient la phase de B(σ) exp (iε′s(σ)) +
Bp(σ) exp iε′p(σ). Arg T F−1(Im(ddm))= arctan Bs(σ) sin(ε′s(σ)) + Bp(σ) sin(ε′p(σ)) Bs(σ) cos(ε′s(σ)) + Bp(σ) cos(ε′p(σ)) (5.13)
comme les εs/psont très petits, et comme Bset Bp sont très voisins alors la grandeur mesurée
est :
Arg T F−1(Im(ddm))≃
ε′s+ ε′p
2 (5.14)
Le logicielJONESprésenté au chapitre 3, permet d’évaluer la différence de phase εs− εp. Le tableau suivant donne des valeurs de déphasage dans la situation où les alignements sont faits à la précision d’une minute d’arc.
dθ = 1 minutes SYNAPSE dθ = 1 minutes NULLTIMATE
λ = 2 µm 8 × 10−4rad λ = 6 µm 8 × 10−5rad
λ = 2, 5 µm 8 × 10−4rad λ = 18 µm 4 × 10−5rad
Il y a donc deux situations :
• Dans le cas de SYNAPSE, le déphasage dû à la polarisation est du même ordre de grandeur que le déphasage que l’on souhaite mesurer. Cela n’empêche pas la mesure, cela réduit simplement la précision.
• Dans le cas de NULLTIMATE, les défauts de phase dû à la polarisation sont négligeables vis à vis de ce que l’on veux mesurer.
5.1.4.3 Sensibilité de la méthode au bruit sur la mesure du flux en sortie de l’interféromètre
En sortie d’interféromètre la mesure du flux se fait avec un rapport signal à bruit déterminé. Cela impacte la transformée de Fourier. On peut montrer que l’erreur quadratique moyenne
faite sur la phase est inversement proportionnelle au rapport signal à bruit sur la mesure du flux. Ce calcul est inspiré de Davis et al. (2001).
Soit ǫI le bruit sur la mesure du signal interférométrique, et Nmax l’intensité maximale du si-
gnal interférométrique. Ce bruit est supposé blanc. La puissance totale de bruit dans l’inter- férogramme est 2ǫ2
ILddm. La transformée de Fourier d’un bruit blanc est un bruit blanc, et le
théorème de Parseval nous indique que la puissance totale de bruit dans le domaine spectral est conservée. Si on note ǫσla puissance de bruit dans le domaine spectral, alors
ǫσ = ǫI
r 2L
2σmax (5.15)
Le bruit est uniformément distribué dans le spectre obtenu et ne dépend pas du niveau de signal spectral local. La phase est obtenue par l’opération suivante :
ε(σ) = arctan Imag T F−1(Nm(ddm)) Re [T F−1(Nm(ddm))] ! ≃ Imag T F−1(Nm(ddm)) Re [T F−1(Nm(ddm))] (5.16)
Le bruit sur la mesure de la phase résiduelle ∆ε est :
∆ε = 2
√ 2ǫσ
Re [T F−1(Im(ddm))] (σ) (5.17)
Comme ε est un petit angle, on a ReT F−1(Nm(ddm))(σ) ≃ B(σ). On a aussi Nmax ≃
2Rσ2 σ1 B(σ)dσ. Alors : ∆ε = 4 √ 2Rσ2 σ1 B(σ)dσ B(σ)(S/B)N r L σmax (5.18)
L’erreur de phase obtenue est inversement proportionnelle au rapport signal à bruit de la me- sure du signal interférométrique.
Applications numériques (rapport signal à bruit sur la frange brillante) :
• Banc SYNAPSE : Pour 25 points entre 2 et 2,5 µm il faut (S/B)N = 2500pour avoir ∆ε =
2 × 10−3
• Banc NULLTIMATE : Pour 25 points entre 6 et 11 µm il faut (S/B)N = 5000 pour avoir
∆ε = 2 × 10−3
• Banc NULLTIMATE : Pour 25 points entre 11 et 18 µm il faut (S/B)N = 10000pour avoir
∆ε = 2 × 10−3
Il est intéressant de noter que le rapport signal à bruit nécessaire à la mesure de la phase est bien plus faible que celui nécessaire pour mesurer une extinction de 10−6 (extinction obtenue pour un défaut de
5.1. Méthode par transformée de Fourier 139 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 σ en µm−1 P h as e en m ra d
Effet sur la mesure de phase d’un bruit blanc de diff´erence de marche Phase r´eelle Phase Mesur´ee (a) 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 −6 −4 −2 0 2 4 6 σ en µm−1 P h as e en m ra d
Effet sur la mesure de phase d’un bruit sinuso¨ıdal de diff´erence de marche
Phase r´eelle Phase Mesur´ee
(b)
FIG. 5.1: Figure illustrant les effets de bruits de différence de marche. La bande passante simulée est
celle du banc SYNAPSE (2 − 2.5µm). (a) correspond à un bruit blanc d’amplitude 5nm. (b) correspond à un bruit sinusoïdal ayant 20 périodes pendant la durée du balayage en différence de marche, avec une amplitude de 5nm.
5.1.4.4 Sensibilité de la méthode aux erreurs de position de la ligne à retard
La position de la ligne à retard est ce qui va déterminer la différence de marche dans l’in- terféromètre. Ce positionnement n’est jamais parfait. C’est le paramètre le plus critique d’une telle mesure. C’est en effet le mètre sur lequel on s’appuie pour faire la mesure. Il faut encore distinguer deux différentes sources de problèmes :
• Un bruit aléatoire à moyenne nulle (effet des vibrations)
• un bruit périodique (effet potentiel de l’actuateur de la ligne à retard)
Tous ces bruits ont des conséquences de type perturbations basses fréquences du spectre ob- servé (voir figure 5.1)
Le second type d’erreur est lui facilement détectable dans le module de la transformée de Fou- rier. En effet il produit des artefacts visibles dans le spectre. Cela produit des “ghosts”, des copies en plus petit et décalés du spectre principal (figure 5.2, page 140).
Pour quantifier l’effet de ces défauts une solution simple consiste à effectuer des simulations numériques de ces effets. Deux cas ont été considérés :
• Le banc SYNAPSE : la bande spectrale est située entre 2 et 2.5 µm (0.4 − 0.5µm). La mesure considérée consiste en un balayage de 680 mesures sur une distance de 440 µm
• Le Banc NULLTIMATE : La bande spectrale considérée est celle entre 6 et 11µm. La mesure est un balayage de 140 mesures sur une distance de 330µm
Ces simulations permettent de tirer des conclusions qualitatives sur les effets susmentionnés :
• Une perturbation sous forme de bruit blanc provoque des erreurs proportionnelles à l’ampli- tude de ce bruit (voir figure 5.3, page 141)
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 σ en µm−1 U n it ´ee s A rb it ra ir es
Effet sur la mesure du spectre d’un bruit sinuso¨ıdal de diff´erence de marche
Spectre r´eel Spectre Mesur´ee
FIG. 5.2: Figure illustrant les effets d’un bruit sinusoïdal de différence de marche. La bande passante si-
mulée est celle du banc SYNAPSE (2−2.5 µm). Le graphique correspond à un bruit périodique de 20 périodes pendant la durée du balayage et d’une amplitude 200nm.
• Une perturbation sinusoïdale provoque des erreurs proportionnelles à l’amplitude de la si- nusoïde.
• L’effet d’une perturbation sinusoïdale est variable avec la fréquence de la sinusoïde. Il semble y avoir des effets de résonance (figure 5.4). La position en l’amplitude de ces résonances dépend du spectre de la source et au déphasage à mesurer.
• L’effet d’une perturbation sinusoïdale s’atténue à basses fréquences, en effet, à basse fré- quence cela revient à faire un décalage du zéro de la différence de marche.
Ces simulations numériques donnent des tolérances sur les différents bruits pour effectuer des mesures avec une incertitude de 2 × 10−3rad:
• Sur SYNAPSE
– Le bruit blanc de vibrations doit avoir une amplitude inférieure à 3nm – L’amplitude des perturbations périodiques doit rester inférieure à 2 nm
• Pour NULLTIMATE
– Le bruit blanc de vibrations doit avoir une amplitude inférieure à 6nm – L’amplitude des perturbations périodiques doit rester inférieure à 2 nm
Ces valeurs de tolérances sont du même ordre de grandeur que celle requise pour avoir une extinction de 10−6. Cela semble relativement cohérent, puisque “l’instrument de mesure” de la phase est la variation de différence de marche.