La figure (2.23) montre un exemple d’utilisation du chapeau haut-de-forme noir pour l’ex- traction des interstices entre les fragments de roches.
2.2.7 Remarque
Notre objectif d’introduire les diff´erents outils morphologiques qui seront employ´es tout le long de ce travail pour le filtrage est `a pr´esent atteint. Les premiers tests de filtrages concerneront les filtres `a noyau. En second lieu ce seront les apports des filtres morphologiques qui seront analys´es. Avant de pouvoir juger de la pertinence de ces filtrages, nous allons introduire une derni`ere transformation tr`es puissante en analyse d’image qui est la ligne de partage des eaux. En effet, l’acc`es aux contours des fragments apr`es filtrage moyennant l’algorithme de la ligne de partage des eaux permettra d’´evaluer correctement les r´esultats obtenus.
2.3
Segmentation morphologique : la ligne de partage des eaux
Dans cette section nous proposons de d´ecrire la ligne de partage des eaux (LPE) qui se pr´esente comme l’outil actuel de segmentation le plus puissant en morphologie math´ematique. Elle sert plus pr´ecis´ement `a d´efinir les r´egions disjointes incluses dans la partition d´efinie par l’image. Comme son nom le sugg`ere, son concept est bas´e sur une interpr´etation topographique de l’image.Il s’ensuit que l’application de son concept sera particuli`erement int´eressante lorsqu’il s’agira d’images `a niveaux de gris. Faisant appel en partie aux mˆemes notions pr´ec´edemment introduites de g´eod´esie, la LPE est construite g´en´eralement sur l’image gradient `a partir des marqueurs des r´egions `a extraire.
A l’origine, la LPE a ´et´e introduite et formalis´ee par Beucher et Lantuejoul [3] [34] [5] [6]. Des contributions importantes ont suivi concernant la notion de marquage par Meyer et Beucher [48], et l’impl´ementation de son algorithme par la m´ethode des files d’attentes hi´erarchiques Meyer [47].
D´efinition
Lors du calcul de la LPE, les structures les plus int´eressantes du relief topographique, repr´e- sent´e par une fonction num´erique f, qui vont ˆetre consid´er´ees sont : les minima r´egionaux et les bassins versants.
Les minima du relief topographique (fonction f ) d´efinissent les creux ou les vall´ees. Si on consid`ere un minimum M , le bassin versant qui lui est associ´e est l’ensemble des points x de f telle qu’une goutte d’eau tombant en x finit par rejoindre le fond de la vall´ee associ´ee `a M .
Pour la construction des bassins versants, une inondation progressive du relief est d´ebut´ee simultan´ement `a partir de l’emplacement des minima (pris comme sources). Avec la progression de l’inondation chaque fois que les eaux provenant de deux bassins versants sont susceptibles de se m´elanger, un barrage est construit en chaque ´eventuel point de contact. Lorsque l’ensemble du relief est inond´e, les barrages ´elev´es et entour´es d’eau constituent la LPE (Fig. 2.24).
Fig. 2.24:Caract´eristiques du relief topographique et ligne de partage des eaux
Par construction, les lacs finaux d´elimit´es par les barrages sont en nombre ´egal aux minima du relief, et ce sont plus pr´ecis´ement les bassins versants associ´es `a ces minima.
Marquage
Le gradient morphologique, introduit pr´ec´edemment, est un bon indicateur des contours (zones de transition dans l’image initiale). Calcul´ee sur le gradient, la LPE correspond ainsi aux zones de crˆetes autour des minima.
Cependant, deux probl`emes apparaissent pour le cas des images r´eelles, celles des fragments de roche notamment :
– l’intensit´e des zones de transitions n’´etant pas ´egale partout sur l’image (existence de contours peu contrast´es). Il n’est ainsi pas possible d’extraire directement les contours int´eressants. En effet, on rencontre le mˆeme probl`eme de seuillage qui donne lieu `a des contours partiels et peu pr´ecis.
– la sensibilit´e du gradient aux faibles variations d’intensit´e entre pixels dues au bruit, fait qu’il est caract´eris´e par un tr`es grand nombre de minima, donc de bassins versants ´equi- valents.
En cons´equence, la construction de la LPE sur l’image gradient `a partir de ses minima produit un nombre tr`es important de r´egions. Ceci se traduit par une sur-segmentation et une fusion des r´egions importantes de l’image (fragments de roches pour notre application) (Fig. 2.25).
2.3 Segmentation morphologique : la ligne de partage des eaux 47
Afin d’´eviter ce probl`eme, l’id´ee consiste `a construire la LPE sur le gradient mais `a partir d’un nombre r´eduit de minima choisis de fa¸con `a localiser correctement les zones de l’image les plus importantes (celles qui correspondent aux fragments pour notre application). On parle, dans ce cas, de construction de LPE contrˆol´ee par marqueurs, et c’est l`a, toute la puissance de la m´ethode.
L’algorithme qui permet d’imposer les minima choisis `a l’image gradient utilise la recons- truction g´eod´esique introduite pr´ec´edemment :
g0 = ²recmrk(g ∧ mrk) (2.28)
o`u :
– g est la fonction gradient initiale,
– mrk est la fonction marqueurs. Elle est ´egale `a z´ero au niveau des nouveaux minima (marqueurs) et ∞ ailleurs,
– ²rec est l’´erosion g´eod´esique,
– et g’ est la fonction gradient modifi´ee.
Enfin, comme pour le cas d’une inondation `a partir des minima du gradient initial, le nombre des bassins versants obtenus apr`es modification du gradient, dite modification d’homotopie, est exactement ´egal au nombre de marqueurs.