Les schémas d’intégration temporelle sont l’ensemble des algorithmes permet-tant de résoudre numériquement les problèmes d’évolution fournit par la modé-lisation physique. Nous parlons de schémas implicites et schémas explicites selon que le schéma requiert ou non la résolution d’une fonction implicite. Un schéma d’intégration est en général dédié à la résolution d’une famille d’équations diffé-rentielles (premier ordre, deuxième ordre...). Nous distinguons les schémas à un pas des schémas multi pas selon que les termes des suites mises en jeu soient déter-minés en considérant un ou plusieurs de leurs termes précédents. Nous présentons ici les familles des schémas utilisés par la suite et donnons quelques extensions possibles dans un dernier paragraphe.
1.3.1 – Schémas d’Euler
Les schémas d’Euler sont des schémas à un pas utilisés pour résoudre les problèmes de Cauchy constitués d’une équation différentielle du premier ordre en temps :
˙u(t) = f (u(t), t) (1.54)
Il peuvent être formulés comme le problème suivant :
Problème1.2 – connaissant tk, uk, ˙uk et ∆t, trouver tk+1, uk+1et ˙uk+1tels que :
tk+1 = tk+ ∆t (1.56)
uk+1 = uk+ ∆t(1− α) ˙uk+ α ˙uk+1 (1.57)
˙uk+1 = f uk+1, tk+1 (1.58)
avec α ∈ [0; 1]. Pour α = 0 le schéma est explicite et appelé schéma d’Euler explicite (ou progressif). Pour toute autre valeur de α il est implicite. Pour α = 1 le schéma est appelé schéma d’Euler implicite (ou rétrograde) et pour α = 1
2 nous obtenons le schéma de Crank-Nicolson. Le schéma d’Euler implicite est souvent utilisé dans les codes de calcul en mécanique pour l’intégration du modèle de comportement par exemple en présence de variables internes et leur modèle d’évolution associé.
Remarque1.4 – Nous pouvons également présenter les schémas d’Euler explicite et implicite en considérant les schémas de point milieu généralisés (Simo et Hughes
(1998)) qui peuvent être formulés comme le problème suivant :
Problème1.3 – connaissant tk, uk, ˙uk et ∆t, trouver tk+1, uk+1et ˙uk+1tels que :
tk+α = tk+ α∆t (1.59) uk+α = (1− α)uk+ αuk+1 (1.60) ˙uk+α = f uk+α, tk+α (1.61) tk+1 = tk+ ∆t (1.62) uk+1 = uk+ ∆t ˙uk+α (1.63) ˙uk+1 = f uk+1, tk+1 (1.64)
avec α ∈ [0; 1]. Le schéma d’Euler explicite est obtenu pour α = 0 et le schéma d’Euler implicite pour α = 1. Pour α = 1
2 c’est le schéma de point milieu implicite qui est obtenu. Le schéma de point milieu explicite est obtenu si nous remplaçons (1.60) par : uk+1/2 = uk+ 12∆t ˙uk.
1.3.2 – Schémas de Newmark
Les schémas de Newmark (1959) sont des schémas à un pas utilisés pour résoudre les problèmes de Cauchy constitués d’une équation différentielle du deuxième ordre en temps :
¨
u(t) = f ( ˙u(t), u(t), t) (1.65)
u(0) = u0 (1.66)
˙u(0) = v0 (1.67)
Problème 1.4 – connaissant tk, uk, ˙uk, ¨uket ∆t, trouver tk+1, uk+1, ˙uk+1 et ¨uk+1 tels que : tk+1 = tk+ ∆t (1.68) uk+1 = uk+ ∆t ˙uk+∆t 2 2 (1− α) ¨uk+ α¨uk+1 (1.69) ˙uk+1 = ˙uk+ ∆t(1− β) ¨uk+ β ¨uk+1 (1.70) ¨
uk+1 = f ˙uk+1, uk+1, tk+1 (1.71)
avec α ∈ [0; 1] et β ∈ [0; 1]. Pour α = β = 0 le schéma est explicite sinon il est en général implicite. Pour α = 0 et β = 1
2 le schéma obtenu est également appelé schéma des différences centrées. Il est en général implicite mais peut devenir explicite si le modèle physique le permet c’est-à-dire lorsque nous pouvons écrire f ( ˙u(t), u(t), t) = f (u(t), t). C’est le cas de l’élasticité. Pour la visco élasticité nous pouvons rendre le schéma explicite en écrivant ¨uk+1 = f ˙uk+1/2, uk+1, tk+1 où ˙uk+1/2 = ˙uk+ ∆t2 u¨k est la vitesse de prédiction (Belytschko et al. (2000)). Remarque 1.5 – Les définitions d’un schéma explicite et d’un schéma implicite varient selon les auteurs. En mécanique des structures pour le schéma des diffé-rences centrées certains auteurs considèrent le schéma comme explicite lorsque la matrice des masses est condensée sur la diagonale. Dans ce cas l’inversion de la matrice est trivial et aucun système linéaire n’est à résoudre.
1.3.3 – Qualité des schémas
Avant d’utiliser un schéma d’intégration temporelle plutôt qu’un autre, il convient de vérifier un certain nombre de propriétés du schéma qui assure une résolution satisfaisante du problème de Cauchy considéré. Parmi ces propriétés nous comptons l’ordre du schéma, sa consistance (parfois appelée cohérence), sa convergence et sa stabilité (Quarteroni et al. (2007)).
L’ordre et la consistance sont basés sur les notions d’erreur de troncature locale et d’erreur de troncature globale qui quantifient respectivement l’erreur obtenue sur un pas de temps quand la solution exacte est injectée dans le schéma et l’erreur de troncature locale maximale obtenue. L’ordre du schéma correspond à l’ordre de l’erreur de troncature globale. La consistance caractérise la faculté du schéma à tendre vers la solution exacte pour un pas de temps tendant vers 0, le schéma est consistant si la limite de l’erreur de troncature globale est égale à 0 pour un pas de temps tendant vers 0. Un schéma est convergent si l’écart entre la solution approchée et la solution exacte est majorée par une fonction croissante avec le pas de temps. L’ordre de cette fonction détermine l’ordre de convergence. Un schéma est stable (zéro-stable) si pour une petite perturbation du problème de Cauchy l’écart entre les solutions approchées du problème de Cauchy et du problème de Cauchy perturbé reste petit en tout instant. Le théorème d’équiva-lence de Lax-Richtmyer indique qu’un schéma consistant et stable est convergent.
Ces analyses peuvent être conduites pour des équations différentielles de tout ordre. En revanche, une discrétisation spatiale est requise pour les équations aux dérivées partielles. Historiquement, le théorème de Lax-Richtmyer est d’ailleurs établi dans le contexte des différences finies (Lax et Richtmyer (1956)). La dé-finition de la stabilité est différente de la dédé-finition donnée précédemment. Un schéma est stable si la matrice d’amplification A du problème qui est telle que uk+1 = Auk+ Lk possède uniquement des valeurs propres comprises entre −1 et 1 (strictement pour les valeurs propres multiples) (Hughes (2000)). Il arrive que cette stabilité ne soit obtenue que pour certains pas de temps inférieurs à un pas de temps critique ∆tc. Dans ce cas nous parlons de stabilité conditionnelle et la condition sur le pas de temps est appelée condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Pour les schémas de Newmark appliqués à l’équation du mouvement avec un comportement élastique linéaire et discrétisée dans le cadre de la méthode des éléments finis nous avons :
— pour β < 1
2 le schéma est inconditionnellement instable, — pour β ≥ 1
2 et β − α ≤ 0 le schéma est inconditionnellement stable, — pour β ≥ 1
2 et β − α > 0 le schéma est conditionnellement stable de condition CFL : ∆t≤ ∆tc = min i 1 ωi r 2 β− α (1.72)
où les ωi sont calculés en résolvant le problème :
det [M ]− ω2[K] = 0 (1.73)
où [M] et [K] sont respectivement les matrices de masse et de rigidité.
Ces considérations sur la qualité des schémas sont purement mathématiques, du point de vue de la physique, il convient également de s’assurer des limitations d’un schéma. Pour les schémas de Newmark appliqués à l’équation du mouvement il est intéressant de déterminer si l’énergie est conservée. Dans le même contexte que précédemment mais pour une force conservative uniquement, nous pouvons introduire la quantité E définie par :
E = 1
2{U}⊤[K]{U} + 1
2{ ˙U}⊤[M ]{ ˙U} − {U}⊤{F }
| {z } équation discrète de conservation de l’énergie −∆t 2 4 (β− α) { ¨U}⊤[M ]{ ¨U} (1.74) où {U}, { ˙U} et { ¨U} sont respectivement les vecteurs déplacement, vitesse et accélération. {F } est le vecteur force extérieure. Nous avons :
— pour β = 1
2 la quantité E est conservée, — pour β = 1
2 et α = 1
2 l’énergie est conservée.
autrement ni l’énergie ni la quantité E ne sont conservées. Nous parlons de schéma quasi conservatif lorsque la quantité E est conservée.
nom α ordre consistant stable
Euler explicite 0 1 oui oui sous CFL
Euler implicite 1 1 oui oui
Crank-Nicolson 1
2 2 oui oui
point milieu explicite 1
2∗ 2 oui oui sous CFL
point milieu implicite 1
2∗ 2 oui oui
Tableau 1.1 – schémas d’Euler et de point milieu
nom α β ordre consistant stable conservatif
accélération moyenne 1 2
1
2 2 oui oui oui
accélération linéaire 1 3
1
2 2 oui oui sous CFL quasi
Fox-Goodwin 1
6 1
2 4† oui oui sous CFL quasi
différence centrée 0 1
2 2 oui oui sous CFL quasi
Tableau 1.2 – principaux schémas de Newmark
1.3.4 – Méthodes multi schémas et multi pas de temps
Pour les applications industrielles d’envergures (telles que les simulations nu-mériques possédant un grand nombre de degrés de liberté, les applications multi physiques comme l’interaction fluide structure, ou encore les applications multi matériaux comme l’interaction sol structure) le choix du schéma de Newmark peut devenir difficile au sens où le plus approprié pour traiter un problème de mécanique ne l’est pas forcément pour un autre contenu dans la même application. En particulier Combescure et Gravouil (2002) mentionnent les problèmes d’im-pact induisant des vibrations. L’imd’im-pact entraîne à proximité du point d’imd’im-pact un comportement fortement non linéaire de la structure pour lequel un schéma
∗. voir remarque (1.4)
explicite semble bien approprié pour sa précision et sa robustesse. L’échelle tem-porelle du phénomène ne fait pas de la stabilité conditionnelle un problème. En revanche quand vient l’étude de la vibration induite dans le reste de la struc-ture pour lesquels les fortes non linéarités ne sont plus dominantes et l’échelle temporelle est bien plus longue un schéma implicite inconditionnellement stable semble être un meilleur choix. Cette problématique a entrainée l’apparition de méthodes de plus « haut niveau » ou de schémas dérivés (selon le caractère intru-sif, non intruintru-sif, transparent pour l’utilisateur ou non). Mentionnons parmi ces méthodes les schémas multi pas de temps (Belytschko et al. (1979), Casadei et
Halleux (2009)), les méthodes multi schémas (Belytschko (1978), Hughes et al.
(1979)) et les méthodes multi pas de temps et multi schémas (Gravouil et
Com-bescure (2001),Combescure et Gravouil (2002)) qui apparaissent comme les plus
abouties et qui ne changent en rien les schémas de Newmark mais assurent que différents schémas sur différents domaines avec différents pas de temps puissent communiquer ensemble sans altérer la condition de stabilité de chaque schéma.