Simulation numérique par une approche level set épaisse de l'impact à basse vitesse sur matériaux énergétiques

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Simulation numérique par une approche level set épaisse

de l’impact à basse vitesse sur matériaux énergétiques

Kévin Moreau

To cite this version:

Kévin Moreau. Simulation numérique par une approche level set épaisse de l’impact à basse vitesse sur matériaux énergétiques. Mécanique des solides [physics.class-ph]. Ecole Centrale de Nantes (ECN), 2014. Français. �tel-01130367�

Thèse de Doctorat

Kévin MOREAU

Mémoire présenté en vue de l’obtention du

grade de Docteur de l’École Centrale de Nantes sous le label de l’Université Nantes Angers Le Mans

École doctorale : Sciences pour l’Ingénieur, Géosciences, Architecture (SPIGA) Discipline : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces Unité de recherche : institut de recherches en Génie civil et Mécanique (GeM) Soutenue le jeudi 16 octobre 2014

Simulation numérique par une approche level set épaisse de

l’impact à basse vitesse sur matériaux énergétiques

JURY

Président : Thierry J. MASSART, Professeur, École Polytechnique de Bruxelles Rapporteurs : Rodrigue DESMORAT, Professeur des Universités, ENS de Cachan

Yann MONERIE, Professeur des Universités, Polytech Montpellier Examinateurs : Alain COMBESCURE, Professeur des Universités, INSA de Lyon

Mohammed HJIAJ, Professeur des Universités, INSA de Rennes Didier PICART, Docteur HDR, CEA Le Ripault

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Thierry Jacques Massart pour avoir accepté de présider le jury de thèse. Un grand merci à Rodrigue Desmorat et Yann Mone-rie, les deux rapporteurs de la thèse, qui ont minutieusement relus le manuscrit. Je remercie également Alain Combescure et Mohammed Hjiaj, examinateurs de la thèse, pour avoir accepté de juger ce travail. Les questions des membres du jury ont toutes été d’une grande pertinence, pointues et encourageantes.

Je remercie Nicolas Moës, directeur de la thèse, pour m’avoir permis de réaliser celle-ci. En plus d’être un chercheur reconnu, une fois encore cette année par la médaille d’argent du CNRS, Nicolas est un encadrant exceptionnel, disponible, et transmettant ses connaissances avec une très grande pédagogie. Travailler avec lui durant ces trois années fut extrêmement enrichissant.

Merci à Didier Picart et Laurent Stainier, encadrants de la thèse, qui ont maintenu un rythme soutenu de réunions d’avancement, toujours fructueuses et motivantes.

Je remercie mes différents collègues de bureau, dans l’ordre chronologique, merci à Grégory Legrain, Paul-Émile Bernard, Olivier Zahm, Elias Safatly, Andrés Parrilla-Gómez, Matthieu Graveleau, Qian Zhao et Berenger Berthoul.

Un grand merci à Alexis Salzman, ingénieur au sein du labo et nouvellement doctorant, pour sa disponibilité et son aide sur les problèmes de code.

Merci aux enseignants-chercheurs du labo dont Patrice Cartraud, Patrick Ro-zycki, Grégory Legrain, Nicolas Chevaugeon et Thomas Heuzé.

Merci aux doctorants et post-doctorants Ophélie Westphal, Gwendal Jouan, Loïc Giraldi, Mathieu Foca, Romain Hamounou, Jean-Charles Guldner, Thibault Gorris...

Merci aux informaticiens, toujours aidant, Éric Manceau et Pierre-Emmanuel Guérin. Merci aux secrétaires du labo Karine Viavant, Katia Coussin et Mélissa Freslon.

Je remercie également Yvon Riou pour m’avoir permis de réaliser un stage au sein du laboratoire bien avant la thèse et découvrir ainsi le monde de la recherche. Enfin, je ne remercierai jamais assez Pauline, sa famille et ma famille pour leur soutien durant ces trois années et toutes les autres...

Table des matières

Table des matières 5

Introduction 9

1 Modélisation d’un problème mécanique sous sollicitations

d’impact 13

1.1 Généralités . . . 14

1.1.1 Sollicitations d’impact et matériaux énergétiques . . . 14

1.1.2 Localisation et rupture . . . 16

1.1.3 Vitesse limite de fissuration . . . 17

1.1.4 Comportement non linéaire du matériau . . . 19

1.1.5 Formulation du problème. . . 24

1.2 De la localisation à la rupture . . . 25

1.2.1 Limiteurs de localisation . . . 25

1.2.2 Modélisation de la rupture . . . 29

1.2.3 Modélisation de la transition localisation rupture . . . 30

1.3 Schémas d’intégration temporelle . . . 31

1.3.1 Schémas d’Euler . . . 31

1.3.2 Schémas de Newmark. . . 32

1.3.3 Qualité des schémas . . . 33

1.3.4 Méthodes multi schémas et multi pas de temps . . . 35

1.4 Conclusion . . . 36

2 Étude de la localisation sur un problème unidimensionnel et présentation de l’approche TLS 37 2.1 Présentation et formulation du problème unidimensionnel . . . 38

2.2 Manifestations de la localisation sur la barre . . . 41

2.2.1 Comparaison des modèles élastique et élastique adoucissant 41 2.2.2 Dépendance pathologique au maillage pour le modèle élas-tique adoucissant . . . 44

2.2.3 Comparaison avec des modèles élastique endommageables. 46 2.3 Présentation unidimensionnelle de l’approche TLS . . . 50

2.3.1 Fonction level set et fonction distance signée . . . 50

2.3.2 L’approche TLS . . . 52

2.5 Conclusion . . . 75

3 L’approche Thick Level Set 77 3.1 Les équations de l’approche Thick Level Set . . . 78

3.1.1 Fonction level set et champ d’endommagement . . . 78

3.1.2 Modèle d’évolution et modèle de propagation de la fonction level set . . . 79

3.1.3 Domaines et interfaces . . . 81

3.1.4 Champs non locaux . . . 82

3.1.5 Modèle d’évolution non local et modèle de propagation de la fonction level set . . . 83

3.2 Discrétisation temporelle . . . 84

3.3 Calcul des champs non locaux . . . 85

3.3.1 Techniques lagrangiennes . . . 86

3.3.2 Advection . . . 87

3.4 Discrétisation spatiale de la méthode par advection . . . 92

3.5 Conclusion . . . 94

4 Simulations numériques 97 4.1 Méthode par advection : influence des paramètres, comparaison aux techniques lagrangiennes . . . 98

4.2 Modèle de comportement des simulations . . . 101

4.3 Expérience de Kalthoff et Winkler . . . 103

4.4 Traction sur carré initialement endommagé . . . 109

4.5 Essai de compression dans la tranche . . . 113

4.5.1 Description de l’essai . . . 113

4.5.2 Hypothèses de modélisation et discussion . . . 114

4.5.3 Modèles de comportement envisagés. . . 115

4.5.4 Résultats expérimentaux.. . . 117

4.5.5 Description du cas test . . . 119

4.5.6 Modèle élastique endommageable avec asymétrie traction compression . . . 119

4.5.7 Modèle d’endommagement contrôlé par la plasticité.. . . . 122

Conclusion et perspectives 127

Notations 131

Liste des figures 132

Liste des tableaux 134

Liste des algorithmes 135

Annexe A Solutions analytiques pour deux modèles de

Annexe B Calcul du jacobien 141

Annexe C Calcul du taux d’endommagement non local 143

Bibliographie 145

Résumé

Introduction

Nous nous sommes intéressés tout au long de cette thèse à la simulation numé-rique de la réponse mécanique d’une structure soumise à des sollicitations de type impact. Le présent manuscrit propose une synthèse des modèles établis et des ré-sultats obtenus durant ces trois années. Cette thèse résulte d’une collaboration entre le centre Le Ripault du Commissariat à l’Énergie Atomique et aux Énergies Alternatives (CEA) (basé à Monts, près de Tours) et le laboratoire de Génie civil et Mécanique (GeM) rattaché à l’École Centrale de Nantes et à l’Université de Nantes. Ce travail s’insère au sein d’une étude plus vaste du CEA sur la prédic-tion de l’allumage de matériaux énergétiques (matériaux explosifs) soumis à des impacts dits à basses vitesses. Nous préciserons bien entendu les enjeux de cette étude et le vocabulaire par la suite. Le CEA explique l’allumage de matériaux énergétiques par l’échauffement induit par le frottement des lèvres de fissures et micro fissures après que la structure ait subit des dommages. Simuler numéri-quement l’allumage nécessite ainsi une modélisation précise des mécanismes de dégradation de la structure.

Un des verrous scientifiques rencontré lors d’une telle modélisation concerne la modélisation de la localisation. Ce phénomène se traduit par une concentration de la déformation de la structure et des dommages dans des régions privilégiées. Il précède l’apparition d’une fissure (macro fissure). Comme nous le verrons par la suite, la grande majorité des modèles communément utilisés en simulation numé-rique et en particulier dans des codes de calculs industriels ne sont pas pertinents au regard de la localisation. Ces modèles ne sont pas appropriés car ils ne pos-sèdent aucune information sur l’échelle du phénomène. Lorsque nous les utilisons en simulation numérique une dépendance pathologique à la discrétisation est en général observée et la justesse des résultats est compromise. Par exemple avec la Méthode des Éléments Finis (MEF) la région dans laquelle se concentre l’endom-magement est souvent dépendante de la longueur caractéristique des éléments. Le choix du maillage influe dramatiquement sur la solution.

Pour prendre en compte l’échelle de la localisation le modèle est bien souvent modifié afin d’y introduire une longueur caractéristique. Il impose alors à la dé-gradation et à la déformation de s’étaler dans des régions dont les mesures sont de

l’ordre de la longueur caractéristique. Expérimentalement, il apparaît que cette longueur caractéristique est un paramètre du matériau et non de la structure, les dimensions des régions privilégiées étant indépendantes de la longueur caracté-ristique de la structure. Une manière d’ajouter au modèle cette information est d’abandonner la vision purement locale des modèles habituellement utilisés pour une vision non locale. De nombreuses façons d’écrire des modèles non locaux sont disponibles dans la littérature, nous en présenterons une série non exhaustive. En pratique, dans les codes de calculs industriels, ces modèles sont encore très peu présents. Du point de vue de la simulation numérique, l’inconvénient majeur reste leurs coûts calculs prohibitifs.

Le traitement numérique d’une structure soumise à des sollicitations d’impact est particulier. Le caractère brutal et intense des sollicitations d’impact confère à la solution recherchée un caractère fortement non linéaire présentant parfois une discontinuité temporelle des grandeurs modélisant le mouvement et la dé-formation. En outre, il est fréquent que la dégradation s’initie rapidement après l’impact, pendant un régime transitoire durant lequel un front de déformation réalise un premier aller dans la structure. Ainsi l’inertie du matériau est capitale et la simulation est à considérer en dynamique. Face aux non linéarités les mé-thodes d’intégration temporelle explicites sont favorisées pour la résolution des équations du mouvement. Elles sont suffisamment précises pour simuler l’évolu-tion de la structure jusqu’à sa rupture et sont réputées robustes.

Au delà de la simulation même de la localisation, la transition d’une structure saine jusqu’à une structure fracturée, plus simplement appelée transition continu discontinu, est un enjeu important de la simulation numérique de problèmes d’im-pacts. En effet, partant d’un modèle supposant la continuité de la matière la tran-sition vers un modèle dans lequel des discontinuités apparaissent est extrêmement délicate. Deux grandes théories s’affrontent dans cette discipline : d’une part la mécanique de la rupture pour laquelle une ligne de discontinuité est explicitement introduite dans les modèles mais pour laquelle la question de l’initiation d’une nouvelle ligne de discontinuité est difficile et d’autre part la mécanique de l’en-dommagement qui jusqu’à la complète perte d’intégrité de la matière se borne à représenter des grandeurs continues. Des tentatives de couplage des deux théories ont déjà vu le jour en préservant par exemple l’énergie dissipée.

L’approche que nous considérons ici est appelée Thick Level Set (TLS) pour approche par level set épaisse (nous allons considérer dans l’approche une level set et en particulier sa fonction implicite associée pour un certain intervalle de ses iso-valeurs ; en général seule l’iso-0 est exploitée). Relativement récente, cette ap-proche donne déjà des résultats satisfaisants en quasi statique, et nous cherchons dans cette thèse à l’étendre à la dynamique explicite. Bien que des approches non locales existent et soient applicables en dynamique explicite, nous considérons leur utilisation contraignante à cause de l’importante augmentation des coûts

calculs. Nous pensons que l’approche TLS rend acceptable cette augmentation par son traitement non local localisé autour des régions privilégiées. Cet atout face aux approches de la littérature n’est pas le seul et précisons déjà qu’en plus d’introduire une longueur caractéristique, la TLS permet une transition continu discontinu. Nous observons également en quasi statique et en dynamique une forte capacité au branchement, sans critère particulier.

Le passage d’une modélisation quasi statique à une modélisation dynamique introduit un temps physique dans la formulation et ainsi des questions de dépen-dances aux taux : taux du chargement, taux de déformation, vitesse... et bien entendu la vitesse maximale de propagation du front d’endommagement et de la fissure. Sur ce point un traitement bien particulier est adopté pour adapter l’approche TLS à la dynamique. Ce point est également pertinent en mécanique de la rupture et nous verrons dans l’étude bibliographique ce que la théorie prédit et ce que les expériences nous laissent observer. En mécanique de l’endommage-ment pour les modèles locaux cette question n’a pas lieu d’être puisque l’endom-magement en tout nouveau point matériel est initié par l’avancée du front de déformation dans le matériau sain, c’est-à-dire au plus vite à la vitesse des ondes élastiques.

Dans un premier chapitre, nous proposons un cadre formel pour les simula-tions numériques tout en abordant des points de bibliographie que nous jugeons utiles à la compréhension des autres chapitres ou utiles pour justifier les choix de modélisation et l’intérêt de la nouvelle approche face à l’existant. Cette partie inclut donc un état de l’art sélectif. Dans un deuxième chapitre, nous regardons comment se manifeste le phénomène de localisation sur un problème unidimen-sionnel et présentons l’approche TLS dans ce contexte qui simplifie grandement le traitement numérique tout en utilisant les principaux outils. Quelques résul-tats numériques sont également discutés. Le troisième chapitre est consacré à la présentation plus générale de l’approche TLS, nous insistons ici sur le calcul des quantités non locales introduites par l’approche et d’évaluation numérique peu classique. Dans un quatrième et dernier chapitre nous présentons les résultats de simulations numériques obtenus pendant la thèse. Nous commençons par deux cas tests communément utilisés en simulation numérique et pour lesquels le ma-tériau considéré n’est pas un mama-tériau énergétique. Nous terminons le chapitre par un cas test étudié expérimentalement et numériquement par le CEA auquel nous apportons l’approche TLS. De nombreuses difficultés restent cependant à surmonter et nous discutons dans cette partie des problèmes rencontrés.

Chapitre 1

Modélisation d’un problème

mécanique sous sollicitations

d’impact

Sommaire

1.1 Généralités . . . 14

1.1.1 Sollicitations d’impact et matériaux énergétiques . . 14

1.1.2 Localisation et rupture . . . 16

1.1.3 Vitesse limite de fissuration . . . 17

1.1.4 Comportement non linéaire du matériau . . . 19

1.1.5 Formulation du problème . . . 24

1.2 De la localisation à la rupture . . . 25

1.2.1 Limiteurs de localisation . . . 25

1.2.2 Modélisation de la rupture . . . 29

1.2.3 Modélisation de la transition localisation rupture . . 30

1.3 Schémas d’intégration temporelle . . . 31

1.3.1 Schémas d’Euler. . . 31

1.3.2 Schémas de Newmark. . . 32

1.3.3 Qualité des schémas. . . 33

1.3.4 Méthodes multi schémas et multi pas de temps . . . 35

1.1 – Généralités

Dans ce travail de thèse, nous cherchons à simuler numériquement l’impact à basse vitesse sur les matériaux énergétiques en utilisant l’approche Thick Level Set. Pour cela nous considérons la mécanique des milieux continus associée à la thermodynamique des milieux continus (Germain et al. (1983)), c’est-à-dire la validité des principes de conservation de la masse, de bilan de quantité de mou-vement, de bilan de moment cinétique, de bilan d’énergie et le deuxième principe de la thermodynamique ainsi que l’ensemble des définitions utiles que nous rap-pellerons au besoin. Nous proposons dans cette section de rappeler un certain nombre de généralités afin de poser des hypothèses simplificatrices et d’affiner le cadre de l’étude.

Dans toute la suite nous considérons une structure comme un milieu continu de masse volumique ρ et nous étudions son évolution dans un référentiel galiléen et dans l’intervalle de temps T = [0; tf]⊂ R+ où tf est le temps final. Le milieu continu occupe le domaine connexe Ω(t) ⊂ Rδ _{avec δ = 1 (chapitre (2)) ou δ = 2} (chapitres (3) et (4)). Dans la suite de ce chapitre nous considérons δ = 2. Les points matériels X sont repérés à l’instant t par les positions x = Φ (X, t). Nous définissons le déplacement par la relation u = x − X, la vitesse et l’accélération sont respectivement déduites en utilisant une ˙u ou deux ¨u dérivées en temps matérielles sur le champ de déplacement.

1.1.1 – Sollicitations d’impact et matériaux énergétiques

Dans le sens commun, les sollicitations d’impact représentent l’ensemble des sollicitations réalisées par un projectile plus ou moins massif, véloce, rigide et pénétrant qui entre en contact avec une structure. Les effets prépondérants sur la structure sont en général de courtes durées et parfois localisés autour du point d’impact mais des effets de plus longues durées peuvent être observés comme la mise en vibration ou bien la mise en mouvement de la structure. Selon la quan-tité d’énergie cinétique apportée par le projectile et les capacités respectives du projectile et de la structure à absorber cette énergie en la stockant ou en la dis-sipant de nombreux scénarios allant du rebond du projectile à la perforation de la structure peuvent être observés.

En modélisation mécanique et dans les simulations numériques, le projectile peut être explicitement modélisé (Hughes et al. (1976),Camacho et Ortiz (1996),

Pontiroli et Rouquand (2011)) si nous cherchons à prédire son éventuel arrêt, sa

déformation, sa vitesse après impact... ou implicitement modélisé lorsque seuls les effets sur la structure sont étudiés.

Dans la littérature, une distinction est faite entre un impact à basse vitesse et un impact à haute vitesse (voire un impact à ultra haute vitesse). Bien que

de nombreuses définitions soit données, des auteurs (Cantwell et Morton (1989),

Richardson et Wisheart (1996)) distinguent respectivement ces deux régimes de

vitesse selon que la structure tout entière participe à l’absorption de l’énergie cinétique fournie par le projectile ou seulement une région à proximité du point d’impact.

Bien que les matériaux énergétiques considérés soient des matériaux compo-sites c’est en fait le mécanisme physique conduisant à l’allumage qui permet la distinction entre un impact à basse vitesse et un impact à haute vitesse.

Ces matériaux sont obtenus par compaction de cristaux mélangés à une faible quantité de liant plastique afin d’assurer leur cohésion (Le (2007)). Pour les im-pacts à hautes vitesses, les sollicitations sont très sévères et le mécanisme d’al-lumage est qualifié de transition choc détonation. Ce mécanisme est bien connu

(Jacobs et al. (1963),Belmas (2003),Bourne et Milne (2004)) et modélisé (Zhang

et al. (1999; 2012)) dans la communauté. Pour ce type de sollicitations la

déto-nation est l’effet recherché. Cependant, lors de la confection, de la manutention, ou du transport des cas d’allumages accidentels sont constatés. Les sollicitations moins sévères à l’origine de tels allumages représentent les impacts à basses vi-tesses. Les mécanismes d’allumage sont différents de la transition choc détonation et qualifiés d’allumage sans choc (Bennett et al. (1998)).

L’étude des allumages sans choc au CEA Le Ripault passe par une déter-mination du comportement mécanique du matériau sous sollicitations quasi sta-tiques (Le et al. (2010)), sous sollicitations dynamiques (Picart et Brigolle (2010),

Bailly et al. (2011)) et par une modélisation numérique de l’allumage (Gruau et al.

(2009),Picart et al. (2013)). Dans ce dernier travail l’allumage est supposé exister

en un point matériel de la structure lorsque l’énergie mécanique dissipée atteint une certaine valeur seuil. Le mécanisme dissipatif n’est pas identifié à l’heure actuel mais la thèse d’un échauffement par frottement des lèvres de micro fis-sures est principalement évoquée. Ces allumages sans choc sont localisés dans la structure.

Avant de chercher à simuler numériquement le scénario complet d’allumage d’un matériau énergétique les recherches actuelles se concentrent sur la modé-lisation de la réponse de structures explosives soumises à des impacts à basses vitesses sous l’hypothèse d’un comportement isotherme du matériau. Les résul-tats expérimentaux de la thèse de Le (2007) permettent de lister les principaux aspects du comportement :

— asymétrie traction/compression, — plasticité,

— viscosité,

— endommagement,

Précisons de plus que la faible rigidité des matériaux énergétiques considérés en-traine de fortes déformations et de forts déplacements de la structure même sous des sollicitations d’impact à basse vitesse.

Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à la réponse transitoire et for-tement non linéaire de la structure provoquée par les sollicitations d’impact. Ces sollicitations sont qualifiés de brutales (ou transitoires) et intenses (ou sévères) dans la suite. Le caractère transitoire nous empêche de formuler l’hypothèse de la quasi statique et nous resterons dans le cadre plus général de la dynamique. Le caractère fortement non linéaire cumulant non linéarités géométriques et non linéarités matérielles est également des plus général. Nous faisons l’hypothèse res-trictive des petites perturbations, les configurations lagrangienne X et eulérienne xsont confondues et nous utilisons le tenseur des déformations linéarisé :

ε= 1

2 ∇u + ∇

⊤_u
(1.1)

Le devenir du projectile n’est pas étudié et nous le modéliserons uniquement à l’aide de conditions aux limites ou de conditions initiales avec ajout de masse. Remarque 1.1 – L’hypothèse restrictive des petites perturbations constituait une première étape dans la simulation numérique de l’impact à basse vitesse sur les matériaux énergétiques car il s’agit d’une hypothèse très forte compte tenu de la faible rigidité des matériaux. Lever cette hypothèse est encore difficile au regard des résultats obtenus sous l’hypothèse des petites perturbations. Nous reviendrons sur ce point lors des applications numériques et des perspectives.

1.1.2 – Localisation et rupture

La réponse fortement non linéaire de la structure est provoquée par l’appari-tion de deux phénomènes structurels : la localisal’appari-tion et la rupture. Nous entendons par structurel le fait que leur apparition est liée à la géométrie de la structure et au matériau qui la compose. La localisation se caractérise par une forte concen-tration des déformations dans des régions privilégiées. La rupture par l’apparition de fissures. Face à la diversité des comportements des matériaux nous observons une grande diversité de mécanismes amenant à la localisation dont les principaux sont évoqués par Rice (1976) pour les matériaux tels que les alliages métalliques et les géomatériaux, Mazars (1986) pour les bétons ou encore Dey et Johnson

(1998)pour les matériaux énergétiques.

Néanmoins, la littérature distingue trois catégories de matériaux : fragile, quasi fragile et ductile (Bažant et Planas (1997)) dont les limites sont difficiles à définir et dépendent éventuellement des conditions de chargement, ou struc-turelles. Des transitions d’une catégorie à l’autre sont d’ailleurs rapportées dans la littérature (Needleman et Tvergaard (1995)). Nous adoptons ici la définition

de Bažant basée sur le concept de fracture process zone. Il s’agit du domaine de la structure pour lequel le matériau présente un comportement adoucissant. Une deuxième zone peut également être définie pour laquelle le matériau présente une plasticité avec écrouissage ou une plasticité parfaite. C’est selon les tailles rela-tives de l’une et l’autre de ses zones qu’un matériau appartient à l’une ou l’autre des catégories. Si les deux zones sont présentes, nous parlons de matériau ductile, si seule la fracture process zone est présente de matériau quasi fragile et si aucune des deux zones n’est présente de matériau fragile.

Dans le cadre de cette thèse, la modélisation de la localisation proposée s’ap-puie sur la mécanique de l’endommagement qui s’interprète physiquement comme l’initiation, la croissance et la coalescence de micro fissures. Avec la croissance et la coalescence des micro fissures un comportement adoucissant fini par être observé et conduit à la localisation. Nous utiliserons également la théorie de la plasticité mais pour modéliser un comportement durcissant.

1.1.3 – Vitesse limite de fissuration

Les sollicitations d’impact comptent parmi les plus intenses et brutales exer-cées mécaniquement sur une structure. Si nous avons déjà évoqués les fortes déformations que peut subir la structure dues à l’intensité des sollicitations, nous avons peu mentionné les effets du taux de déformation dues à la brutalité des sollicitations. Pour les bétons il est par exemple bien connu que pour des taux de déformation importants la structure gagne en résistance. Pour des taux de dé-formation importants, nous pouvons également nous attendre à une propagation des fissures à des vitesses comparables à la vitesse des fronts de déformation.

L’équation du mouvement, complétée par un comportement élastique linéaire permet de faire ressortir deux vitesses de propagation d’ondes : la vitesse des ondes élastiques longitudinales cl et la vitesse des ondes élastiques transversales ct. Pour les exprimer, nous pouvons partir de l’équation de Navier :

ρ¨u = (λ + 2µ)∇ (∇ · u) − µ∇ × (∇ × u) (1.2) où λ et µ sont les coefficients de Lamé. Nous utilisons la décomposition de Helm-holtz :

u=∇φl+∇ × φ_t (1.3)

combinée aux identités :

∇ · ∇ × φ_t= 0 (1.4)

∇ × (∇φl) = 0 (1.5)

pour découpler la partie transversale (rotationnelle) de la partie longitudinale (irrotationnelle) et exprimer deux équations des ondes sur les potentiels φl et φ_t.

Tous calculs fait nous obtenons (Ravi-Chandar (2004)) : cl = s λ + 2µ ρ (1.6) ct= r µ ρ (1.7)

Ces deux types d’ondes sont en interaction et se combinent pour former un nou-veau type d’onde, l’onde de Rayleigh, présente essentiellement à la surface de la structure (son amplitude diminue très vite dans le volume). Sa vitesse est donnée par la formule empirique (pour 0 < ν < 1

2) : cR=

0,862 + 1,14ν

1 + ν ct (1.8)

où ν = λ

2(λ+µ) est le coefficient de Poisson. Nous avons la relation d’ordre :

cR < ct< cl (1.9)

La vitesse d’une fissure est bien souvent comparée à cette vitesse des ondes de Rayleigh. Il apparait théoriquement, pour les matériaux fragiles (Craggs (1960)) comme pour les matériaux ductiles (Kanninen (1968)) que cette dernière est une limite maximale. Toutefois, un certain nombre de travaux expérimentaux mesu-rant la vitesse des fissures remet en cause cette prédiction théorique car les vitesses obtenues sont bien inférieures à la vitesse des ondes de Rayleigh. Pour les bétons (matériau quasi fragile) Curbach et Eibl (1990) rapportent une vitesse de 20% à 30% de cR. Au contraire, d’autres travaux expérimentaux sur les matériaux fra-giles (Ravi-Chandar et Knauss (1984), Washabaugh et Knauss (1994)) montrent que la vitesse limite de fissuration semble bien être majorée par la vitesse des ondes de Rayleigh cR. Les premiers auteurs précisent que c’est la présence des micro fissures (c’est-à-dire la place de la fracture process zone dans la rupture de la structure et donc son degré de fragilité) qui a tendance à ralentir la fissure ; les deuxièmes indiquent qu’en abaissant localement la résistance du matériau la micro fissuration est limitée et la vitesse de la fissure augmentée jusqu’à atteindre des vitesses très proches de la vitesse des ondes de Rayleigh. Dans un effort de synthèseRavi-Chandar (1998) précise qu’il existe une vitesse limite, que celle-ci peut être significativement inférieure à la vitesse des ondes de Rayleigh et que cette limite est dépendante du matériau considéré.

Nous verrons dans l’approche TLS qu’un choix judicieux de modèle d’évolu-tion de l’endommagement conduira à contrôler la valeur de la vitesse limite de fissuration. Nous imposerons cette valeur à la valeur des ondes de Rayleigh cR.

1.1.4 – Comportement non linéaire du matériau

Le caractère non linéaire du comportement d’un matériau vient simplement de ce que la relation liant le tenseur des contraintes σ au tenseur des déformations ε est non linéaire. Parmi les comportements non linéaires, nous retrouvons pour de nombreux matériaux les comportements à seuil qui sont en général élastique linéaire jusqu’au seuil puis changent pour un autre comportement linéaire ou non. Pour modéliser cette classe de matériaux nous utilisons des fonctions seuils f négatives tant que la déformation, la contrainte ou une autre grandeur n’a pas atteint le seuil, égale à zéro sur le seuil et positive lorsque le seuil est dépassé.

Une deuxième notion importante dans la modélisation des matériaux non li-néaire est l’irréversibilité par exemple pour les dommages et les déformations per-manentes qui ne peuvent qu’augmenter en un point matériel. Le second principe de la thermodynamique des milieux continus apporte une telle notion à la modé-lisation en imposant la positivité du taux de production d’entropie S (structure et milieu extérieur) pour toute transformation de la structure pour tout instant t_{∈ T :} S = _dtd Z Ω ρs dV | {z } variation d’entropie de la structure − échange d’entropie z }| { Z Ω r T dV − Z ∂Ω q_{· n} T dS  | {z } variation d’entropie du milieu extérieur ≥ 0 (1.10)

où s est l’entropie massique, T la température absolue, r le taux de chaleur échangé volumique, −q · n le taux de chaleur échangé surfacique (ces deux der-nières quantités sont positives si elles sont reçues par la structure depuis le milieu extérieur), q le flux de chaleur et n la normale sortante. Le premier signe moins vient de ce que l’entropie reçue par la structure est une entropie perdue par le mi-lieu extérieur. Le deuxième signe moins vient de ce que le taux de chaleur échangé surfacique est positif lorsque le flux de chaleur est entrant et donc opposé à la normale sortante. Si ce taux de production d’entropie vaut zéro la transformation est réversible sinon elle est irréversible. En introduisant le bilan d’énergie et en utilisant l’énergie libre massique définie par ϕ = e − T s où e est l’énergie interne massique, nous pouvons éliminer r et aboutir à :

S = Z Ω 1 T  σ : ˙ε− ρϕ + s ˙˙ T− q· ∇T T  dV ≥ 0 (1.11)

où σ est la contrainte de Cauchy et : ˙ε = 1

2 ∇ ˙u + ∇

⊤_˙u
(1.12)

est le taux de déformation. Sous l’hypothèse d’une transformation adiabatique (q = 0) et isotherme ( ˙T = 0 et_{∇T = 0) nous écrivons simplement :}

D = T S = Z

Ω

où D est la dissipation ou le taux d’énergie dissipée. Cette nouvelle grandeur s’interprète de la même façon que le taux de production d’entropie : si D = 0, le comportement est réversible, sinon il est irréversible. Ce résultat qui est vrai pour Ω l’est aussi pour tout ω ⊂ Ω et ainsi en tout point matériel x nous avons :

dm = σ : ˙ε− ρ ˙ϕ ≥ 0 (1.14)

où dm est la dissipation volumique.

Nous faisons maintenant l’hypothèse supplémentaire que l’énergie libre mas-sique ne dépend que de la déformation ε et d’un nombre fini de variables internes ˜

αn, n ∈ Iα avec Iα = [1; nα] ⊂ N. La déformation et les variables internes défi-nissent l’état du matériau au point matériel considéré ϕ = ϕ ε,

˜

αn
(la notation ˜ désignant une variable tensorielle d’ordre quelconque pour chaque n). En prenant la dérivée matérielle nous obtenons :

˙ ϕ ε, ˜ αn
= ∂ϕ ∂ε : ˙ε + ∂ϕ ∂ ˜ αn • ˙˜ α_n (1.15)

où • est le produit à valeur dans R adapté tel que ∂ϕ ∂

˜

αn•_˜0 = 0. Pour toute variation

d’une variable interne (∃n ∈ Iα tel que ˙ ˜ α_{n 6=}

˜0) le comportement est irréversible et la dissipation volumique est non nulle. Si aucune variable interne ne varie ( ˙

˜ α_n=

˜0,∀n ∈ Iα), le comportement est réversible et la dissipation volumique est nulle. Nous en déduisons directement :

σ = ρ∂ϕ

∂ε (1.16)

Finalement pour toute sollicitation du point matériel nous avons : dm =−ρ ∂ϕ ∂ ˜ αn • ˙˜ α_n≥ 0 (1.17)

qui fait porter l’irréversibilité du comportement uniquement aux variables in-ternes.

Une façon classique d’amener les modèles d’évolution est de définir : ˜ An =−ρ ∂ϕ ∂ ˜ αn (1.18) et des relations du type :

˙ ˜ α_n= ˜ Fn( ˜ An, ˜ αn) (1.19) où ˜

Fndoit vérifier un certain nombre de propriétés pour assurer l’inégalité (1.17). Nous nous laissons également la possibilité de décomposer l’énergie libre en une partie positive, une partie négative et un reste :

ϕ ε, ˜ αn
= ϕ+ ε, ˜ αi
+ ϕ− ε, ˜ αi
+ ˜ϕ ε, ˜ αj
(1.20)

vérifiant : ∂ϕ+ ∂ ˜ αi • ∂ϕ− ∂ ˜ αi = 0 (1.21)

où nous avons décomposé les variables internes en utilisant les indices i ∈ I± α et j _{∈ ˜I}α avec I±α ∪ ˜Iα = Iα et I±α ∩ ˜Iα =∅. Nous obtenons une dissipation :

dm =−ρ ∂ϕ+ ∂ ˜ αi • ˙˜ αi− ρ ∂ϕ− ∂ ˜ αi • ˙˜ αi− ρ ∂ ˜ϕ ∂ ˜ αj • ˙˜ αj ≥ 0 (1.22)

où dans ce cas les modèles d’évolution sont écrits en définissant : ˜ Ai =−ρ ∂ϕ+ ∂ ˜ αi (1.23) ˜ Aj =−ρ ∂ϕ ∂ ˜ αj (1.24) et en reprenant les relations (1.19), avec

˜ Fi(

˜0,α˜i) =˜0.

Dans le cas classique ou avec décomposition de l’énergie libre nous obtenons une dissipation :

dm = ˜ An•

˜˙αn≥ 0 (1.25)

Matériaux standards généralisés

Un cadre plus sophistiqué pour écrire les modèles d’évolution est le cadre des matériaux standards généralisés proposé par Halphen et Nguyen (1975) qui permet d’écrire des modèles d’évolution vérifiant a priori l’inégalité de Clausius-Duhem. Nous définissons

˜ A = ( ˜ A1, ..., ˜ AN) et ˜ α = ( ˜ α1, ..., ˜ αN). Nous supposons l’existence d’un potentiel de dissipation volumique ψ∗ _{= ψ}∗₍

˜ A;

˜

α) qui est convexe et propre et qui vérifie :

ψ∗( ˜ A; ˜ α)≥ 0 ∀ ˜ A (1.26) ψ∗( ˜0;˜α) = 0 (1.27)

Puisque le potentiel est convexe et propre le sous-différentiel définit par : ∂ψ∗( ˜ A; ˜ α) =n ˜ β  _ψ∗( ˜ A; ˜ α) + ( ˜ A∗− ˜ A)• ˜β ≤ ψ ∗₍ ˜ A∗; ˜ α) , ∀ ˜ A∗o (1.28) n’est pas vide. Ainsi nous pouvons écrire :

˜˙α ∈ ∂ψ ∗₍ ˜ A; ˜ α) (1.29) En prenant en particulier ˜ A∗ ₌

˜0 dans la définition du sous-différentiel (1.28) et en utilisant les propriétés (1.26) et (1.27) du potentiel nous pouvons écrire :

˜ An•

˜˙αn ≥ 0 (1.30)

qui garantit une dissipation volumique positive. Ce cadre permet donc d’assurer une évolution irréversible du comportement.

Remarque 1.2 – Si le potentiel est dérivable la notion de sous-différentiel est inutile. Nous l’employons car elle permet d’unifier l’écriture des modèles de com-portement dépendant du temps et indépendant du temps. Pour un comcom-portement indépendant du temps, nous définissons un domaine d’admissibilité de

˜ A : A = { ˜ A _{| f (} ˜ A; ˜ α)_{≤ 0}} (1.31)

où f est une fonction seuil supposée continûment dérivable. Le potentiel de dis-sipation volumique est donné par :

ψ∗( ˜ A; ˜ α) = I_A( ˜ A; ˜ α) =  0 si ˜ A_{∈ A} +∞ si ˜ A /∈ A (1.32)

qui n’est pas dérivable. Le sous-différentiel est appelé le cône des normales : ∂I_A( ˜ A; ˜ α) = N_A( ˜ A; ˜ α) (1.33) = ˜ β  ( ˜ A₋ ˜ A∗)_• ˜ β _{≥ 0, ∀} ˜ A∗ _{∈ A} (1.34) =  ˜ β     ˜A•_˜β =− min_˜A∗_∈A − ˜ A∗ • ˜β
 (1.35) =  ˜ β     ˜β = λ ∂f ∂ ˜ A, λ≥ 0, f (A;˜ ˜α)≤ 0, λf (A;˜ ˜α) = 0  (1.36) où nous reconnaissons les conditions de Kuhn-Tucker. Le cadre est ainsi bien plus abstrait mais bien plus générique.

Mécanique de l’endommagement

La mécanique de l’endommagement fournie une modélisation phénoméno-logique de l’initiation et de la coalescence de micro fissures. En conséquence, l’échelle choisie pour la modélisation se situe au dessus de l’échelle qui semble naturelle. Seuls les effets sur le comportement sont modélisés. Son effet principal est la chute de la rigidité du matériau mais des effets secondaires peuvent égale-ment être envisagés comme la baisse de la vitesse de propagation des ondes. La modélisation s’appuie sur une variable d’endommagement d ∈ [0,1], croissante, proposée par Kachanov (1958) et Rabotnov (1969). Les formulations modernes de la mécanique de l’endommagement sont basées sur le formalisme thermody-namique rappelé au paragraphe précédent ou dans Lemaitre et Desmorat (2005) en détail. Dans ce formalisme, la variable d’endommagement d est une variable interne et nous lui associons un taux de restitution de l’énergie Y définie comme (1.18) :

Y =_−ρ∂ϕ

∂d (1.37)

Cette grandeur nous permet de définir le critère d’initiation par l’utilisation d’un seuil en dessous duquel le comportement est élastique linéaire et réversible :

Y _{− Y}c < 0 ⇒ d = 0˙ (1.38)

où Yc est le taux de restitution de l’énergie critique.

Citons cependant les incontournables difficultés en mécanique de l’endomma-gement :

— l’interprétation précise de la variable d’endommagement et sa nature ten-sorielle,

— l’asymétrie de comportement traction/compression, — l’effet unilatéral,

Remarque 1.3 – La notion d’échelles de modélisation introduit un lien entre la notion de point matériel de la mécanique des milieux continus et le Volume Élémentaire Représentatif. La variable d’endommagement peut être vue comme l’homogénéisation des micro fissuration au sein du VER.

Nous supposons une variable d’endommagement scalaire modélisant une perte de rigidité du matériau isotrope. Selon les applications, cette perte de rigidité peut affecter le comportement de façon asymétrique ou non, jusqu’à une perte de rigidité totale ou non.

Plasticité avec écrouissage isotrope

La plasticité et l’écrouissage isotrope fournissent comme la mécanique de l’en-dommagement des modélisations phénoménologiques du mouvement et de la mul-tiplication de dislocations dans le matériau. A l’échelle de la modélisation ces phénomènes physiques se traduisent par des déformations irréversibles et l’aug-mentation du seuil au delà duquel apparaissent les déformations irréversibles. Nous introduisons pour la modélisation deux variables internes le tenseur de dé-formations plastiques εp_{et la déformation plastique cumulée p. Dans le formalisme} thermodynamique, ces variables sont accompagnées de :

σp _=−ρ∂ϕ

∂εp (1.40)

R = ρ∂ϕ

∂p (1.41)

Nous faisons l’hypothèse d’une décomposition additive de la déformation en sa partie plastique et sa partie élastique :

ε = εe+ εp (1.42)

Et nous supposerons que l’énergie libre massique peut s’écrire :

ϕ ε, εp, p
= ϕ ε− εp_{, p
(1.43)} qui nous amène à déduire σp _{= σ.}

1.1.5 – Formulation du problème

Les inconnues principales sont le champ de déplacement u et les champs de variable interne

˜

αn. Nous imposons les conditions initiales sur le champ de dé-placement u0_{, le champ de vitesse ˙u}0 _{et les champs de variable interne}

˜ α0

n. Nous imposons également des conditions aux limites mixtes : les conditions aux limites en déplacement ud

1 et ud2 et les conditions aux limites en contrainte T1d et T2d respectivement sur les parties ∂Ω1

u, ∂Ω2u, ∂Ω1T et ∂Ω2T de bord du domaine telles que : ∂Ωi u∪ ∂ΩiT = ∂Ω et ∂ ◦ Ωi u∩ ∂ ◦ Ωi T =∅ pour tout i = 1, 2. Problème 1.1 – trouver u et ˜ α tels que : ρ¨u =_{∇ · σ} σ = σ⊤ ε = 1 2 ∇u + ∇ ⊤_u
σ = ρ∂ϕ ∂ε dans Ω × T ˜ Ai =−ρ ∂ϕ+ ∂ ˜ αi ˜ Aj =−ρ ∂ϕ ∂ ˜ αj ˙ ˜ α∈ ∂ψ∗( ˜ A; ˜ α) pour i ∈ I±

α et j ∈ ˜Iα. Avec les conditions initiales : u = u0

˙u = ˙u0 _{dans Ω × {0}}

˜ αn=

˜ α0_n

pour n ∈ Iα. Avec les conditions aux limites :

u_{· ei} = ud_i sur ∂Ωi

u× T σ· n
· ei = Tid sur ∂ΩiT × T pour tout i = 1, 2.

Nous pouvons écrire le théorème des puissances virtuelles u ∈ C : Z Ω ρ¨u· ˙u∗_{dV +} Z Ω σ : 1 2 ∇ ˙u ∗_+∇⊤_˙u∗
_{dV =} 2 X i=1 Z ∂Ωi T T_ide_i· ˙u∗_{dS ∀ ˙u}∗ _{∈ C} 0 (1.44)

avec : C0 =  v _{| v · ei} = 0 sur ∂Ωi_u (1.45) C =v _{| v · ei} = ud_i sur ∂Ωi u (1.46) pour tout i = 1,2.

1.2 – De la localisation à la rupture

Les phénomènes de localisation et de rupture sont intimement liés pour les matériaux quasi fragiles et ductiles. Nous pouvons déjà trouver dans la littéra-ture des approches combinées modélisant le scénario complet allant jusqu’à la ruine d’une structure. L’objectif de cette section est d’établir un état de l’art des approches disponibles tant pour la modélisation de la localisation que celle de la rupture. Nous commencerons dans une première partie par présenter les approches modélisant la localisation communément appelées limiteurs de localisation. Nous présenterons ensuite les approches utilisées pour modéliser l’initiation et la propa-gation de fissures dans la structure. Enfin nous aborderons les approches unifiées capables de modéliser le scénario complet.

1.2.1 – Limiteurs de localisation

Dans un contexte dynamique, la modélisation du phénomène de localisation peut être envisagée en assurant sa progression spatiale ou bien en assurant son évolution temporelle. Ce dernier cas semble plus difficile dans un contexte quasi statique puisque l’échelle de temps n’est pas physiquement fixée. Nous avons alors davantage de possibilités pour obtenir une modélisation physique de la localisa-tion. Nous classifions ainsi les principales approches selon deux catégories : les approches spatiales pour lesquelles la modélisation d’une localisation physique fait intervenir une longueur caractéristique et les approches temporelles pour les-quelles un temps caractéristique est introduit.

Approches spatiales pour la modélisation de la

locali-sation

La première approche permettant d’introduire une longueur caractéristique dans la formulation et ainsi modéliser une localisation physique non (pathologi-quement) dépendante au maillage est attribuée àBažant et al. (1984)et sa théorie des milieux continus imbriqués. Cette approche prolonge les travaux pionniers de la théorie des milieux continus non locaux de Kröner (1967) ou encore Eringen

(1972)mais non adaptés à la localisation. Toutes ces approches sont fondées sur

en un point matériel à une moyenne pondérée d’une autre quantité sur l’ensemble des points matériels du domaine :

¯ X (x) = Z Ω X(s)ψ kx − sk lc  dV (s) Z Ω ψ kx − sk lc  dV (s) x∈ Ω (1.47)

où ψ (x) : R+ _{→ R}+ _{est une fonction de pondération en général unitaire en} x = 0, décroissante et nulle au delà de x = 1.

Cette théorie des milieux imbriqués s’avère cependant complexe à mettre en œuvre. Un effort de simplification a permis de voir émerger de nouvelles ap-proches basées sur le concept de non localité en particulier la théorie non locale de l’endommagement dePijaudier-Cabot et Bažant (1987) lorsque le mécanisme responsable de la localisation est l’endommagement. L’idée principale d’une telle approche, prenant pour point de départ un cadre thermodynamique standard consiste à remplacer dans le modèle d’évolution de l’endommagement le taux de restitution de l’énergie par son analogue non local selon l’équation (1.47). Cette façon de procéder est en fait générale et peut très bien être adaptée à des mo-dèles écrits sans cadre thermodynamique ou bien à la plasticité, nous parlons ainsi d’approches non locales intégrales ou non locales explicites.

Quasiment dans le même temps, des approches étroitement liées au concept de non localité ont été introduites. Elles sont toutefois locales au sens mathé-matique du terme et consistent à ajouter des termes d’ordre supérieur dans la formulation. Nous parlons généralement d’approches à gradients mais le terme d’approche non locales implicites est également employé. Parmi ces approches, nous pouvons mentionner les travaux de Triantafyllidis et Aifantis (1986)sur les matériaux hyperélastiques. L’idée est d’ajouter un terme supplémentaire dans le potentiel énergie libre faisant intervenir une longueur caractéristique et le gradient du gradient de la transformation. De façon similaire, Lasry et Belytschko (1988) proposent de substituer la déformation (en 1D) par la déformation augmentée d’un terme faisant intervenir une longueur caractéristique et un laplacien :

˜

ε = ε + l_c2_∇2ε (1.48)

Peu de temps après une approche plus satisfaisante du point de vue de la discrétisation spatiale qualifiée d’approche à gradient implicite est proposée par

Peerlings et al. (1996)qui modifie (1.48) par le problème aux limites :

˜

ε_{− lc}2_∇2ε = ε˜ dans Ω (1.49)

∇ ˜ε · n = 0 sur ∂Ω (1.50)

Remplacer (1.48) par (1.50) permet de ne pas avoir à évaluer une dérivée d’ordre 3 sur le champ de déplacement qui nécessite une formulation éléments finis res-pectant au moins la continuité C1_.

Cependant, nous pouvons trouver dans la littérature des critiques qui re-mettent en cause l’utilisation des approches non locale intégrale et à gradient implicite. En particulierSimone et al. (2004)qui montrent que remplacer le taux de restitution de l’énergie par son analogue non local ou « lissé » dans le modèle d’évolution affecte la position de l’initiation de l’endommagement et donne une mauvaise zone dégradée dans les problèmes de bandes de cisaillement. Krayani

et al. (2009) précisent que les deux approches souffrent d’effets de bord. D’une

part, la condition aux limites utilisée dans l’approche à gradient est équivalente à une condition de symétrie, d’autre part dans l’approche non locale intégrale le calcul de la moyenne est tronqué à proximité du bord. Ce dernier problème est une source de la non symétrie de l’opérateur tangent.

L’approche phase field est issue de l’étude des changements de phases en phy-sique. La communauté des physiciens (Karma et al. (2001)) propose d’en utiliser les concepts pour traiter la propagation dynamique de fissures en mode III. Les formulations mécaniques de l’approche sont proposées parMiehe et al. (2010b;a) en quasi statique et étendue par Hofacker et Miehe (2012) en dynamique. C’est une approche intermédiaire entre la mécanique de la rupture et la mécanique de l’endommagement. Elle est motivée par la difficulté qu’a la mécanique de la rup-ture à simuler numériquement la propagation de chemins de fissuration complexes. Cette difficulté vient des méthodes numériques utilisées lors de la discrétisation spatiale pour prendre en compte les lignes de discontinuité dans la structure, soit en remaillant, soit en utilisant des enrichissements comme avec la méthode des éléments finis étendue. L’approche phase field s’éloigne volontairement de ces mé-thodes en éliminant les discontinuités. Supposant une fissure Γ dans le domaine Ω l’approche introduit un champ auxiliaire crack phase field, en tout point si-milaire à un champ d’endommagement, que nous notons d et qui est obtenu en considérant le problème aux limites suivant :

d_{− lc}2∆d = 0 dans Ω (1.51)

d = 1 sur Γ (1.52)

∇d · n = 0 sur ∂Ω (1.53)

Le champ prend la valeur 1 sur la fissure et décroît régulièrement vers 0 pour des points matériels s’éloignant de la fissure. Ce problème est très proche des modèles à gradient. Nous insistons sur cette approche car elle parait similaire à l’approche TLS, néanmoins nous pensons qu’en régularisant la discontinuité par un champ auxiliaire l’approche se prive de la transition continu discontinu. Une comparaison entre l’approche phase field et l’approche TLS est proposée par

Cazes et Moës (2014) pour les matériaux fragiles en quasi statique, en plus de la

transition continu discontinu les auteurs insistent sur la présence de la condition aux limites (1.53). Sur un exemple unidimensionnel, les auteurs montrent que pour un endommagement initié proche d’un bord, son évolution dans l’approche phase field décale sa valeur maximale (et donc la position de la fissure) sur le bord de la barre. Dans l’approche TLS un décalage est également constaté mais

plus faible et provenant du calcul du champ non local et non d’une condition aux limites non physiquement motivée.

Enfin mentionnons des approches fondamentalement différentes et propre à la dynamique comme l’approche peridynamique introduite parSilling (2000) qui consiste en une formulation alternative des équations de la mécanique des milieux continus privilégiant les intégrales plutôt que les gradients et aisément capable de représenter les irrégularités. Des résultats en mécanique de l’endommagement sont déjà obtenus en rupture fragile par Ha et Bobaru (2010).

Approches temporelles pour la modélisation de la

lo-calisation

Dans les approches temporelles un temps caractéristique est introduit dans la formulation. Cette dépendance au temps de la solution permet en général de laisser le mécanisme responsable de la localisation se propager dans la structure. Les premiers travaux relatant de la dépendance au temps comme outils pour mo-déliser une localisation physique sont attribués à Needleman (1988) et Loret et

Prévost (1990). Cependant ces approches sont difficiles à utiliser comme nous le

verrons dans le prochain chapitre.

Dans les approches dépendantes du temps, les approches à effet retard proposé

par Allix et Deü (1997) ou plus généralement les approches à taux borné d’Allix

(2012) sont très utilisées en dynamique. La majoration du taux

d’endommage-ment garantit un temps minimal avant la dégradation complète de la matière en un point matériel donné. Ce retard à la rupture permet aux fronts de déformation et à l’endommagement de se propager dans la structure.

Parmi les critiques des approches spatiales présentées précédemment le pro-blème de la dépendance des zones situées de part et d’autre d’une zone com-plètement endommagée à cause de l’opération de moyennage de des approches non locales intégrales trouve une solution simple en dynamique. Desmorat et al.

(2007)proposent de substituer la longueur caractéristique contenue dans la

fonc-tion de pondérafonc-tion par le produit d’un temps caractéristique et de la vitesse des ondes. Cette dernière tend vers zéro lorsque l’endommagement tend vers l’unité. La fonction de pondération résultante est anisotrope et empêche le calcul de la moyenne dans les zones complètement endommagées.

Approches mixtes

Pour les approches mixtes, c’est à la fois une longueur caractéristique et un temps caractéristique qui sont introduit dans la formulation. Ce genre d’approche se justifie par les domaines de validité de chacune des approches. Ces domaines de validité ont été étudiés en dynamique par Desmorat et al. (2010)en confrontant

l’approche à effet retard à l’approche non locale intégrale. D’une part l’approche à effet retard n’est pertinente que pour de forts taux de déformation, sans quoi la ré-gularisation est perdue, d’autre part l’approche non locale intégrale en dynamique donne des plans de rupture erronés, possiblement parce que la propagation des ondes dans la structure interfère avec le calcul de la moyenne. L’approche mixte consiste alors à rendre la longueur caractéristique dépendante du taux de défor-mation. Pour les forts taux de déformation la longueur s’annule et c’est l’effet retard qui régularise la localisation. Sinon c’est le non local.

1.2.2 – Modélisation de la rupture

La mécanique de la rupture consiste à insérer au sein de la structure un point (1D) une ligne (2D) ou une surface (3D) de discontinuité unilatérale modélisant une fissure. La littérature distingue trois modes de sollicitations de la fissure : le mode d’ouverture (mode I) pour lequel la fissure subit un effort de traction, le mode de cisaillement (mode II) pour lequel la fissure subit un effort de cisaille-ment dans le plan et le mode de déchirecisaille-ment (mode III) pour lequel la fissure subit un effort de cisaillement hors plan. Pour un effort de compression la pré-sence de la fissure n’entraîne aucune différence par rapport à un milieu continu en tout point matériel de la structure.

La modélisation de la rupture débute avec les travaux deGriffith (1921)et

Ir-win (1957)sur les matériaux fragiles, le premier proposant un critère énergétique

pour la propagation de fissures et le second évaluant les champs de contrainte et de déformation au voisinage d’une fissure afin d’évaluer l’énergie de déformation élastique. La mécanique de la rupture fragile prédit de façon satisfaisante les ré-sultats expérimentaux réalisés sur des matériaux fragiles cependant elle n’est pas prédictive pour les matériaux quasi fragiles et ductiles. Le problème fondamental est du à la divergence du champ de contrainte au droit de la pointe de fissure.

Dans ce sens, les travaux d’Irwin (1960) concernent également l’utilisation de la plasticité pour majorer la valeur du champ de contrainte au droit de la pointe de fissure. Cette modélisation est prédictive pour les matériaux ductiles (et égale-ment pour les matériaux fragiles et quasi fragiles). C’est selon la taille de la zone plastique relativement à la longueur de la fissure que la rupture est qualifiée de fragile ou ductile.

Une autre manière d’éviter la divergence du champ de contrainte au droit de la pointe de fissure est d’ajouter au modèle une cohésion entre les lèvres de fissures sur une certaine longueur partant de la pointe de fissure comme proposé

par Dugdale (1960) et Barenblatt (1962). Nous parlons de modèle cohésif et de

fissure cohésive. Ce modèle est également vu comme un limiteur de localisation qualifié de modèle de fissure fictive où la longueur de cohésion correspond à une longueur caractéristique ramenant une distribution volumique de micro fissures

dissipant de l’énergie sur la fissure.

Enfin mentionnons Rice (1968) qui proposa un outil d’évaluation du taux de restitution de l’énergie G au travers d’un calcul d’intégrale J.

Le passage à la dynamique, avec la prise en compte des effets d’inertie tant sur le mouvement de la structure que sur celui de la fissure est réalisé parCraggs

(1960)et parFreund (1972b;a;1973;1974)au terme d’une série de quatre articles

élevant progressivement le niveau de l’étude et généralisant la mécanique de la rupture fragile à la dynamique en mode I et mode II. À l’issu de ces derniers travaux des formes générales des K sont données pour la rupture en mode I et en mode II.

1.2.3 – Modélisation de la transition localisation

rup-ture

Dans la modélisation précise du scénario complet allant jusqu’à la ruine de la structure pour les matériaux quasi fragiles et ductiles, plusieurs tendances s’affrontent :

1. les approches qui éliminent le recours aux approches non locales (explicites ou implicites),

2. les approches qui conservent la non localité tout en y ajoutant des discon-tinuités.

Les approches du premier type sont généralement motivées par le coût calcul d’une approche non locale. Comparativement, des simulations numériques ont permis de mettre en évidence une cohérence entre les résultats obtenus en méca-nique de la rupture et ceux obtenus en mécaméca-nique de l’endommagement. Cette cohérence justifie la volonté de s’affranchir des approches non locales pour des ap-proches moins coûteuses. En particulier, les modèles cohésifs, parfois considérées comme des fissures fictives, modélisant la discontinuité introduite par la fissure et concentrant la localisation induite par les micro fissures sur la fissure semblent de très bons candidats. L’équivalence entre les approches est établie au travers du concept de fissure équivalente introduit parMazars et Pijaudier-Cabot (1996) et basé sur la conservation de l’énergie dissipée. Il permet aux auteurs de bascu-ler d’une approche non locale intégrale à la mécanique de la rupture linéaire et vice versa. Dans ce sens les travaux récents de Cazes et al. (2009)et Cazes et al.

(2010) permettent de construire des modèles de comportement locaux et

indé-pendants du temps, combinés à une zone cohésive, énergétiquement équivalents à une approche non locale intégrale ou une approche à gradient. Précisons que ces approches sont en fait hybrides et permettent de basculer de l’une à l’autre des représentations de façon consistante. Cependant il est encore délicat en pratique, par exemple avec la méthode des éléments finis, de réaliser une telle bascule.

D’autres approches du premier type sont proposées en particulier en dyna-mique parBelytschko et al. (2003) etSamaniego et Belytschko (2005). Dans ces

approches, le modèle de comportement continu (endommagement pour le pre-mier, plasticité pour le deuxième) utilisé est local et indépendant du temps et la localisation non physique qui peut arriver est surveillée par un indicateur de perte d’hyperbolicité. Pour les points matériels perdant l’hyperbolicité une zone cohésive est introduite et assure une modélisation physique de la localisation.

Les approches du deuxième type sont motivées par l’amélioration que peut apporter l’introduction de discontinuités dans les approches non locales et à gra-dient. Simone et al. (2003) soulignent que la discontinuité introduite libère la dépendance des zones de part et d’autre d’une zone où l’endommagement a at-teint sa valeur critique. Dans ce travail, la mécanique de la rupture n’est en fait pas utilisée et la propagation de la fissure n’est réalisée qu’en prolongeant une fis-sure existante, lorsque l’endommagement dans les éléments adjacents à la pointe de la fissure est très proche de la valeur critique. Ainsi l’énergie dissipée n’est que très peu perturbée par la propagation de la fissure.

Comi et al. (2007) proposent une approche dans laquelle l’endommagement

est traité de façon non locale jusqu’à atteindre une valeur critique inférieure à 1 après laquelle une zone cohésive est introduite. L’approche respecte la continuité de l’énergie dissipée. Le modèle cohésif dissipe ce que l’endommagement aurait dissipé. Cette approche est motivée par la nécessité d’avoir des maillages fins avec les approches non locales. La valeur critique de l’endommagement est choisie selon le maillage considéré.

1.3 – Schémas d’intégration temporelle

Les schémas d’intégration temporelle sont l’ensemble des algorithmes permet-tant de résoudre numériquement les problèmes d’évolution fournit par la modé-lisation physique. Nous parlons de schémas implicites et schémas explicites selon que le schéma requiert ou non la résolution d’une fonction implicite. Un schéma d’intégration est en général dédié à la résolution d’une famille d’équations diffé-rentielles (premier ordre, deuxième ordre...). Nous distinguons les schémas à un pas des schémas multi pas selon que les termes des suites mises en jeu soient déter-minés en considérant un ou plusieurs de leurs termes précédents. Nous présentons ici les familles des schémas utilisés par la suite et donnons quelques extensions possibles dans un dernier paragraphe.

1.3.1 – Schémas d’Euler

Les schémas d’Euler sont des schémas à un pas utilisés pour résoudre les problèmes de Cauchy constitués d’une équation différentielle du premier ordre en temps :

˙u(t) = f (u(t), t) (1.54)

Il peuvent être formulés comme le problème suivant :

Problème1.2 – connaissant tk_{, u}k_{, ˙u}k _{et ∆t, trouver t}k+1_{, u}k+1_{et ˙u}k+1_{tels que :}

tk+1 = tk+ ∆t (1.56)

uk+1 = uk+ ∆t(1_{− α) ˙u}k+ α ˙uk+1 (1.57)

˙uk+1 = f uk+1, tk+1
(1.58)

avec α ∈ [0; 1]. Pour α = 0 le schéma est explicite et appelé schéma d’Euler explicite (ou progressif). Pour toute autre valeur de α il est implicite. Pour α = 1 le schéma est appelé schéma d’Euler implicite (ou rétrograde) et pour α = 1

2 nous obtenons le schéma de Crank-Nicolson. Le schéma d’Euler implicite est souvent utilisé dans les codes de calcul en mécanique pour l’intégration du modèle de comportement par exemple en présence de variables internes et leur modèle d’évolution associé.

Remarque1.4 – Nous pouvons également présenter les schémas d’Euler explicite et implicite en considérant les schémas de point milieu généralisés (Simo et Hughes

(1998)) qui peuvent être formulés comme le problème suivant :

Problème1.3 – connaissant tk_{, u}k_{, ˙u}k _{et ∆t, trouver t}k+1_{, u}k+1_{et ˙u}k+1_{tels que :}

tk+α = tk+ α∆t (1.59) uk+α = (1_{− α)u}k+ αuk+1 (1.60) ˙uk+α = f uk+α, tk+α
(1.61) tk+1 = tk+ ∆t (1.62) uk+1 = uk+ ∆t ˙uk+α (1.63) ˙uk+1 = f uk+1, tk+1
(1.64)

avec α ∈ [0; 1]. Le schéma d’Euler explicite est obtenu pour α = 0 et le schéma d’Euler implicite pour α = 1. Pour α = 1

2 c’est le schéma de point milieu implicite qui est obtenu. Le schéma de point milieu explicite est obtenu si nous remplaçons (1.60) par : uk+1/2 _{= u}k₊ 1

2∆t ˙uk.

1.3.2 – Schémas de Newmark

Les schémas de Newmark (1959) sont des schémas à un pas utilisés pour résoudre les problèmes de Cauchy constitués d’une équation différentielle du deuxième ordre en temps :

¨

u(t) = f ( ˙u(t), u(t), t) (1.65)

u(0) = u0 (1.66)

˙u(0) = v0 (1.67)

Problème 1.4 – connaissant tk_{, u}k_{, ˙u}k_{, ¨u}k_{et ∆t, trouver t}k+1_{, u}k+1_{, ˙u}k+1 _{et ¨u}k+1 tels que : tk+1 = tk+ ∆t (1.68) uk+1 = uk+ ∆t ˙uk+∆t 2 2  (1_{− α) ¨u}k+ α¨uk+1 (1.69) ˙uk+1 = ˙uk+ ∆t(1_{− β) ¨u}k+ β ¨uk+1 (1.70) ¨

uk+1 = f ˙uk+1, uk+1, tk+1
(1.71)

avec α ∈ [0; 1] et β ∈ [0; 1]. Pour α = β = 0 le schéma est explicite sinon il est en général implicite. Pour α = 0 et β = 1

2 le schéma obtenu est également appelé schéma des différences centrées. Il est en général implicite mais peut devenir explicite si le modèle physique le permet c’est-à-dire lorsque nous pouvons écrire f ( ˙u(t), u(t), t) = f (u(t), t). C’est le cas de l’élasticité. Pour la visco élasticité nous pouvons rendre le schéma explicite en écrivant ¨uk+1 _{= f ˙u}k+1/2_{, u}k+1_{, t}k+1
où ˙uk+1/2 _{= ˙u}k₊ ∆t

2 u¨

k _{est la vitesse de prédiction (Belytschko et al. (2000)).} Remarque 1.5 – Les définitions d’un schéma explicite et d’un schéma implicite varient selon les auteurs. En mécanique des structures pour le schéma des diffé-rences centrées certains auteurs considèrent le schéma comme explicite lorsque la matrice des masses est condensée sur la diagonale. Dans ce cas l’inversion de la matrice est trivial et aucun système linéaire n’est à résoudre.

1.3.3 – Qualité des schémas

Avant d’utiliser un schéma d’intégration temporelle plutôt qu’un autre, il convient de vérifier un certain nombre de propriétés du schéma qui assure une résolution satisfaisante du problème de Cauchy considéré. Parmi ces propriétés nous comptons l’ordre du schéma, sa consistance (parfois appelée cohérence), sa convergence et sa stabilité (Quarteroni et al. (2007)).

L’ordre et la consistance sont basés sur les notions d’erreur de troncature locale et d’erreur de troncature globale qui quantifient respectivement l’erreur obtenue sur un pas de temps quand la solution exacte est injectée dans le schéma et l’erreur de troncature locale maximale obtenue. L’ordre du schéma correspond à l’ordre de l’erreur de troncature globale. La consistance caractérise la faculté du schéma à tendre vers la solution exacte pour un pas de temps tendant vers 0, le schéma est consistant si la limite de l’erreur de troncature globale est égale à 0 pour un pas de temps tendant vers 0. Un schéma est convergent si l’écart entre la solution approchée et la solution exacte est majorée par une fonction croissante avec le pas de temps. L’ordre de cette fonction détermine l’ordre de convergence. Un schéma est stable (zéro-stable) si pour une petite perturbation du problème de Cauchy l’écart entre les solutions approchées du problème de Cauchy et du problème de Cauchy perturbé reste petit en tout instant. Le théorème d’équiva-lence de Lax-Richtmyer indique qu’un schéma consistant et stable est convergent.

Ces analyses peuvent être conduites pour des équations différentielles de tout ordre. En revanche, une discrétisation spatiale est requise pour les équations aux dérivées partielles. Historiquement, le théorème de Lax-Richtmyer est d’ailleurs établi dans le contexte des différences finies (Lax et Richtmyer (1956)). La dé-finition de la stabilité est différente de la dédé-finition donnée précédemment. Un schéma est stable si la matrice d’amplification A du problème qui est telle que uk+1 _{= Au}k_{+ L}k _{possède uniquement des valeurs propres comprises entre −1 et} 1 (strictement pour les valeurs propres multiples) (Hughes (2000)). Il arrive que cette stabilité ne soit obtenue que pour certains pas de temps inférieurs à un pas de temps critique ∆tc. Dans ce cas nous parlons de stabilité conditionnelle et la condition sur le pas de temps est appelée condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Pour les schémas de Newmark appliqués à l’équation du mouvement avec un comportement élastique linéaire et discrétisée dans le cadre de la méthode des éléments finis nous avons :

— pour β < 1

2 le schéma est inconditionnellement instable, — pour β ≥ 1

2 et β − α ≤ 0 le schéma est inconditionnellement stable, — pour β ≥ 1

2 et β − α > 0 le schéma est conditionnellement stable de condition CFL : ∆t_{≤ ∆t}c = min i 1 ωi r 2 β− α (1.72)

où les ωi sont calculés en résolvant le problème :

det [M ]_{− ω}2_{[K]
= 0 (1.73)}

où [M] et [K] sont respectivement les matrices de masse et de rigidité.

Ces considérations sur la qualité des schémas sont purement mathématiques, du point de vue de la physique, il convient également de s’assurer des limitations d’un schéma. Pour les schémas de Newmark appliqués à l’équation du mouvement il est intéressant de déterminer si l’énergie est conservée. Dans le même contexte que précédemment mais pour une force conservative uniquement, nous pouvons introduire la quantité E définie par :

E = 1 2{U} ⊤_{[K]{U} +} 1 2{ ˙U} ⊤_{[M ]{ ˙U} − {U}}⊤_{{F }} | {z } équation discrète de conservation de l’énergie −∆t 2 4 (β− α) { ¨U} ⊤_{[M ]{ ¨U}} (1.74) où {U}, { ˙U} et { ¨U_{} sont respectivement les vecteurs déplacement, vitesse et} accélération. {F } est le vecteur force extérieure. Nous avons :

— pour β = 1

2 la quantité E est conservée, — pour β = 1

2 et α = 1

2 l’énergie est conservée.

autrement ni l’énergie ni la quantité E ne sont conservées. Nous parlons de schéma quasi conservatif lorsque la quantité E est conservée.