Nous présentons dans ce chapitre l’approche Thick Level Set pour traiter des problèmes bidimensionnels en déformation plane. Le modèle d’évolution de l’en-dommagement donné dans le problème (1.1) est remplacé par un modèle d’évolu-tion non local gouvernant la propagad’évolu-tion d’une foncd’évolu-tion level set. Dans la première section, les équations nécessaires à la mise en place d’un tel modèle d’évolution non local sont données. La deuxième section nous permet d’établir une discré-tisation temporelle explicite de l’approche. La troisième section est consacrée à la présentation de deux méthodes de calcul des champs non locaux et du taux de fonction level set. La première méthode utilisant la théorie de l’optimisation a déjà été présentée dans un contexte quasi statique. Nous la décrivons brièvement car elle fait l’objet d’une comparaison dans le chapitre (4). Nous décrivons davan-tage la seconde méthode basée sur un problème d’advection pour la construction de « modes » dans la bande. Enfin dans une quatrième section nous proposons une discrétisation spatiale de cette dernière méthode.
3.1 – Les équations de l’approche Thick Level Set
3.1.1 – Fonction level set et champ d’endommagement
Afin d’introduire une longueur caractéristique dans la formulation, nous utili-sons l’approche TLS décrite initialement dans Moës et al. (2011). Nous considé-rons une fonction level set φ continue et dont l’iso-0 est confondue avec le front d’endommagement Γ que nous pouvons alors définir comme :
Γ(t) ={x ∈ Ω | φ(x,t) = 0} (3.1)
Ce front est un contour fermé ou en intersection avec le bord du domaine et décompose le domaine en deux régions : une composée de matériau sain et une composée de matériau endommagé. Nous demandons de plus à la fonction level set de vérifier la propriété :
k∇φk = 1 dans Ω × T (3.2)
Cette équation est un cas particulier de l’équation stationnaire eikonale ou plus généralement de l’équation stationnaire d’Hamilton-Jacobi. Malheureusement, le problème aux limites associé, à l’instant t ∈ T :
k∇φk = 1 dans Ω (3.3)
φ = 0 sur Γ (3.4)
n’admet pas de solutions classiques (ou fortes) et admet plusieurs solutions vraies presque partout (ou faibles). Ce problème aux limites est considéré par Sethian
et Vladimirsky (2000)dans les méthodes de fast marching. Parmi toutes les
solu-tions faibles, celles que nous cherchons sont les foncsolu-tions distances signées (nous pouvons en construire au moins deux, une première et son opposé). Il s’agit du plus court chemin sans sortir du domaine augmenté d’un signe qui identifie de quel côté du contour fermé le point considéré se trouve.
Remarque 3.1 – Pour le problème aux limites de Dirichlet, il est possible de choisir une solution faible particulière appelée solution de viscosité (Crandall et
Lions (1983)). Cette solution de viscosité est intimement liée à un principe de
maximum et dans le cas de l’équation (3.2) nous pouvons parler de fonction distance au bord (Cardaliaguet (2004)). Remarquons également que l’opposé de cette fonction est toujours solution faible du problème mais n’est plus solution de viscosité.
Pour un domaine de forme « simple » cette fonction distance signée s’écrit simplement :
φ(x,t) =± min y∈Γ(t)
x− y (3.5)
Les valeurs positives sont attribuées à la région composée de matériau endom-magé. La fonction level set vérifiant la propriété (3.2) (et en choisissant avec précaution la solution) permet d’évaluer des distances, elle est homogène à une longueur.
À l’aide de cette fonction, nous définissons le champ d’endommagement de la façon suivante :
d(φ) = 0 φ≤ 0
d′(φ) > 0 0 < φ < lc (3.6)
d(φ) = 1 lc ≤ φ
où lc est la longueur caractéristique. Nous appelons cette fonction le profil d’en-dommagement. Des exemples de profils d’endommagement sont proposés dans le chapitre (2).
3.1.2 – Modèle d’évolution et modèle de propagation de
la fonction level set
La représentation (3.6) du champ d’endommagement nous permet de consi-dérer le problème de croissance d’endommagement comme un problème de pro-pagation de la fonction level set :
˙ d∈ ∂ψ∗(Y ) dans Ω × T (3.7) d = d0 dans Ω × {0} (3.8) devient : ˙ φ =Fφ ε,φ dans Ω × T (3.9) φ = φti dans Ω × {ti} (3.10)
où nous avons noté formellement Fφ ε, φ comme le modèle d’évolution de la fonction level set et où ti ∈ T est le temps à partir duquel la structure commence
à subir des dommages. Nous faisons remarquer que lorsque l’endommagement initial d0 est nul, il n’y a aucun front d’endommagement à l’instant initial et par conséquent il s’avère difficile de définir la fonction level set initiale φ0. En pra-tique, comme l’endommagement n’est pas initié, la non localité n’agit pas encore et le comportement est élastique linéaire. Dès que l’endommagement initie, nous plaçons une fonction level set φti dans la structure, d’iso-0 un cercle de centre le point matériel où l’endommagement s’initie et de rayon li < lc. Ceci provoque une légère perturbation du champ d’endommagement à laquelle aucune dissipa-tion n’est associée. L’initiadissipa-tion de l’endommagement est locale et la non localité est mise en place après l’initiation.
Avec la représentation (3.6) du champ d’endommagement, le taux d’endomma-gement est donné par :
˙
d = d′(φ) ˙φ dans Ω × T (3.11)
Une conséquence importante de la représentation (3.6) du champ d’endommage-ment est que pour perdurer à mesure que le front d’endommaged’endommage-ment se propage, le taux de la fonction level set ˙φ doit vérifier (Sethian (1999)) :
d
dt k∇φk = ∇φ
k∇φk · ∇ ˙φ = 0 dans Ω × T (3.12)
C’est-à-dire que ses iso-valeurs doivent rester orthogonales aux iso-valeurs de la fonction level set. Une façon simple de manipuler des champs qui vérifient cette contrainte est de définir un nouveau système de coordonnées : z = (z,s) attaché au front d’endommagement Γ où z suit les gradients de la fonction level set et s suit les courbes iso-valeurs. La courbe iso-0 (le front d’endommagement) définit z = 0 et z est croissant pour φ croissant. La valeur s = 0 est prise arbitrairement le long de la courbe iso-0 et s est croissant dans le sens qui permet de construire un repère local direct. Le jacobien de ce changement de coordonnées s’écrit :
J (z, t) = 1− z
ρφ(s, t) (3.13)
où ρφest le rayon de courbure de la courbe iso-0. Les calculs amenant à ce résul-tat sont présentés dans l’annexe (B). Nous faisons remarquer que le système de coordonnées dépend du temps puisqu’il est attaché à un front mobile. Nous souli-gnons également qu’en pratique ce système de coordonnées n’est jamais construit et qu’il ne sert qu’à présenter l’approche. Á l’aide de ce système de coordonnées, nous pouvons réécrire la propriété (3.12) sur le taux de la fonction level set de façon plus concise : ˙φ = ˙φ (s, t). Nous appliquons le changement de coordonnées à l’équation (3.11) :
˙
3.1.3 – Domaines et interfaces
Nous définissons les domaines et l’interface suivants :
Ω−(t) ={x ∈ Ω | φ (x, t) < 0} (3.15) Ω+(t) ={x ∈ Ω | 0 < φ (x, t) < lc} (3.16) Ωc(t) ={x ∈ Ω | φ (x, t) > lc} (3.17) Γc(t) ={x ∈ Ω | φ (x, t) = lc} (3.18)
Figure 3.1– domaines et interfaces de l’approche TLS
Le domaine Ω− est la région saine (non endommagée), Le domaine Ω+ est la région partiellement endommagée et est appelé la bande endommagée. Le do-maine Ωc est la région totalement endommagée. Tous les domaines et interfaces utiles dans l’approche sont illustrés sur la figure (3.1). Nous avons Ω−∩ Ω+ =∅, Ω+∩ Ωc = ∅ et Ω−∩ Ωc = ∅. Ces domaines n’ont de sens que lorsque l’endom-magement est initié, en effet avant l’initiation, nous avons Ω = Ω−, c’est-à-dire Ω+ = ∅ , Ω− = ∅ et Ωc = ∅. Après l’initiation, nous avons Ω = Ω−∪ Ω+, c’est-à-dire Ωc = ∅. Lorsque l’endommagement se propage suffisamment nous avons Ω = Ω−∪ Ω+∪ Ωc et il existe une région totalement endommagée. Précisons tout de suite que cela ne signifie pas que le tenseur des contraintes est nul. Ceci dépend du modèle de comportement choisi.
Remarque 3.2 – L’approche présentée dans le cadre de cette thèse devient un cas particulier de l’approche plus générale présentée en quasi statique par Moës
et al. (2014). L’idée de base est de n’utiliser la non localité que lorsqu’elle est
nécessaire. Pour cela le domaine Ω+ devient le domaine non local et le domaine Ω− le domaine local. L’endommagement est présent dans les deux domaines. L’interface Γ devient le front de localisation. La propriété (3.2) devient :
k∇φk ≤ 1 dans Ω × T (3.19)
3.1.4 – Champs non locaux
Dans l’approche TLS, il n’y a pas de relation directe entre le taux d’endom-magement et le taux de restitution de l’énergie. A la place, l’équation (3.14) est utilisée et un modèle d’évolution de la fonction level set est fourni. Dans le but d’établir un tel modèle, nous introduisons un couple de variables non locales ( ¯Y, ¯˙d) appelées respectivement le taux de restitution de l’énergie non local et le taux d’endommagement non local. Ces champs sont définis uniquement dans le do-maine Ω+ et vérifient la propriété (3.12) c’est-à-dire : ¯Y = ¯Y (s,t) et ¯˙d = ¯˙d (s,t). Nous voulons que le couple vérifie également :
Z Ω+ ¯ Y ¯˙d dV = Z Ω+ Y ˙d dV ∀t ∈ T (3.20)
qui signifie que la dissipation due au couple non local est égale à celle due au couple local. L’inégalité de Clausius-Duhem globale (1.13) reste une inégalité à vérifier par le modèle de comportement et qui contrôle l’irréversibilité. Pour un modèle de comportement dont la seule variable interne est l’endommagement nous avons : D = Z Ω+ ¯ Y ¯˙d dV ≥ 0 ∀t ∈ T (3.21)
L’expression du taux de restitution de l’énergie non local est donné parBernard
et al. (2011). Il résulte d’un calcul de stationnarité de la fonctionnelle énergie
potentielle (ce qui a du sens en quasi statique) par rapport à la variation de la fonction level set, nous le réutilisons en dynamique en rajoutant la variable temps : ¯ Y (s,t) = Z l(s,t) 0 Y (z,t) d′(φ (z,t)) J (z, t) dz Z l(s,t) 0 d′(φ (z, t)) J (z, t) dz (3.22)
où l(s,t) est la longueur de la bande endommagée développée, mesurée en suivant les gradients de la fonction level set (voir la figure (3.2)). C’est la longueur mini-male entre lc et la valeur de z pour laquelle nous tombons sur la discontinuité du gradient de la fonction level set. Nous avons :
Z Ω+(t) dV = Z Γ(t) Z l(s,t) 0 J (z, t) dz ds (3.23)
Et nous en déduisons en utilisant (3.14), (3.20), (3.22) et (3.23) (voir l’annexe (C) pour les détails de calcul) :
¯˙ d (s,t) = Z l(s,t) 0 ˙ d (z,t) J (z,t) dz Z l(s,t) 0 J (z,t) dz (3.24)
Figure 3.2 – bande endommagée, système de coordonnées curviligne attaché et largeur de bande l(s,t)
Ces champs non locaux sont tous deux obtenus comme la moyenne pondérée de leur analogue local. Le calcul de la moyenne est réalisé dans la direction des gradients de la fonction level set et la pondération est donnée par la dérivée première du profil d’endommagement. La discontinuité du gradient de la fonction level set au sein de la bande endommagée entraîne une discontinuité des quantités non locales comme illustrée sur la figure (3.3) avec les deux taux de restitution de l’énergie.
Figure 3.3– champs de taux de restitution de l’énergie local et non local sur une bande endommagée
3.1.5 – Modèle d’évolution non local et modèle de
pro-pagation de la fonction level set
Nous écrivons ensuite un modèle d’évolution à l’aide des variables non locales en utilisant le cadre des matériaux standards généralisé rappelé au chapitre (1). Nous supposons qu’il existe ψ∗ = ψ∗ Y¯ convexe, propre, positif et nul pour
¯
Y = 0. Alors le modèle d’évolution est donné par : ¯˙
d∈ ∂ψ∗ Y¯ dans Ω+
L’équation (3.14) est introduite dans l’équation (3.24) et nous utilisons la nota-tion : ¯ d′(s,t) = Z l(s,t) 0 d′(φ (z,t)) J (z,t) dz Z l(s,t) 0 J (z,t) dz (3.26)
pour obtenir une expression du taux de la fonction level set :
˙ φ
Ω+ = d¯˙ ¯
d′ dans Ω+× T (3.27)
Le taux de fonction level set est connu dans Ω+ et doit être étendu de l’autre côté du front d’endommagement. Classiquement, la fonction level set est mise à jour seulement dans une bande étroite définie autour de son iso-0. Nous introdui-sons une bande étroite ΩN ⊂ Ω− pour laquelle Γ ⊂ ∂ΩN et nous appliquons le problème aux limites d’advection suivant :
− ∇φ
k∇φk · ∇ ˙φ|ΩN = 0 dans ΩN × T (3.28)
˙
φ|ΩN = ˙φ|Ω+ sur Γ × T
Cette dernière équation complète les équations nécessaires au calcul du problème formel donné par (3.9). Nous voyons que le coût calcul du non local est limité à la bande endommagée Ω+ et à la bande étroite ΩN.
3.2 – Discrétisation temporelle
La discrétisation temporelle est construite en considérant une suite croissante d’instants tk ∈ T, k ∈ N. Nous définissons le pas de temps comme ∆t = tk+1− tk et nous simplifions les notations de f x, tk vers fk pour clarifier. Les incon-nues principales sont le champ de déplacement u (x,t) et la fonction level set φ (x,t). Nous devons résoudre numériquement l’équation différentielle du mou-vement (deuxième ordre en temps) et l’équation différentielle de propagation de la fonction level set (premier ordre en temps). Nous appliquons le schéma des différences centrées combiné au schéma d’Euler explicite, nous obtenons :
¨ uk+1 et φk+1 tels que : tk+1= tk+ ∆t (3.29) uk+1= uk+ ∆t ˙uk+1 2∆t 2u¨k (3.30) φk+1= φk+ ∆tFφ ε uk+1, φk (3.31) ¨ uk+1= 1 ρ∇ · ρ∂ϕ ∂ε ε u k+1 , d φk+1 ! (3.32) ˙uk+1= ˙uk+1 2∆t ¨u k+ ¨uk+1 (3.33)
C’est la façon la plus directe de discrétiser en temps l’approche TLS. Les deux schémas sont explicites et restent stables si les pas de temps sont majorés par un pas de temps critique ∆tc comme nous l’avons rappelé au chapitre (1). Le schéma obtenu est purement explicite puisque le modèle d’évolution lui même est calculé depuis φk. Connaissant le champ de déplacement uk+1 et la fonction level set φk nous déduisons le champ de déformation εk+1 de (1.1) et le champ d’endommage-ment dk de (3.6) et calculons Yk+1 en utilisant la loi d’état (1.37). Nous calculons ensuite les champs non locaux ¯Yk+1 avec (3.22) et ¯˙dk+1 avec (3.25). Nous dédui-sons la vitesse de la fonction level set ˙φk+1 avec (3.27) seulement dans le domaine Ω+k. Nous étendons cette vitesse de l’autre côté du front d’endommagement en résolvant le problème d’advection (3.28). Le calcul des quantités non locales n’est pas direct puisqu’elles sont définies dans un système de coordonnées curvilignes attaché au front d’endommagement. Une façon de les calculer est d’établir des formulations variationnelles comme proposées dans Bernard et al. (2011). Nous rappelons cette méthode et en présentons une nouvelle dans la prochaine section.
3.3 – Calcul des champs non locaux
Nous avons vu précédemment que les champs ¯Y , ¯˙d et ˙φ sont tous constants le long des gradients de la fonction level set φ. Nous écrivons leur définition dans un système de coordonnées curviligne attaché au front d’endommagement. Cependant nous ne souhaitons pas construire un tel système de coordonnées. Mathématiquement, nous pouvons rechercher les champs ¯Y et ˙φ dans un espace de fonctions contraintes par la relation (3.12). Un tel espace s’écrit :
¯ Sk= y ∈ Sk ∇φk k∇φkk· ∇y = 0 (3.34) pour lequel Sk est un espace de fonctions suffisamment régulières et définis sur Ω+k. Nous résolvons les deux problèmes variationnels suivants :
Problème 3.2 – connaissant φk∈ Sk et Yk+1 ∈ Sk, trouver ¯Yk+1 ∈ ¯Sk tel que : Z
Ω+ k
¯
Problème 3.3 – connaissant φk ∈ Sk et ¯˙dk+1 ∈ ¯Sk, trouver ˙φk+1 ∈ ¯Sk tel que : Z Ω+ k d′ φk ˙φk+1 −d¯˙k+1 φ∗dV = 0 ∀φ∗ ∈ ¯Sk (3.36)
Une des particularités de l’approche TLS réside dans la recherche des champs non locaux dans un tel espace. Deux techniques utilisées avec succès sont pré-sentées dans les deux prochaines sections puis comparées dans une troisième. La première technique est basée sur la théorie de l’optimisation, nous verrons que le problème que nous cherchons à résoudre revient à la minimisation sous contrainte d’égalité d’une fonctionnelle strictement convexe. La contrainte est levée en écrivant le lagrangien augmenté de la fonctionnelle et une formulation variationnelle est établie en invoquant sa stationnarité. La méthode contourne la construction numérique d’un tel espace et nous travaillons simplement dans S qui est dépourvu de toute contrainte. La deuxième technique basée sur une formula-tion de type Petrov-Galerkin part de l’identificaformula-tion de l’équaformula-tion ∇ φ
k∇ φk · ∇y = 0 comme une équation d’advection stationnaire sur laquelle la méthode Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) a fait ses preuves. Nous construisons un espace d’approximation ¯Sh dont les fonctions de bases vérifient faiblement la contrainte. Dans la suite, nous supposons le problème discrétisé en temps mais nous ne notons pas l’instant considéré pour ne pas alourdir les notations.
3.3.1 – Techniques lagrangiennes
Cette méthode est proposée parBernard et al. (2011)et a donnée de très bons résultats en quasi statique. Nous la réutilisons telle quelle en dynamique. Pour la présenter, nous considérons le problème (3.2) mais la démarche est similaire pour le problème (3.3). Nous exprimons la fonction coût :
J ¯Y= 1 2 Z Ω+ ¯ Y − Y2d′(φ) dV (3.37)
Cette fonction est strictement convexe, elle est idéale pour écrire un problème d’optimisation. Nous introduisons la contrainte d’égalité :
c ¯Y= ∇φ
k∇φk · ∇ ¯Y (3.38)
de façon à réécrire l’espace ¯S comme l’ensemble convexe : ¯
S = {y ∈ S | c(y) = 0} (3.39)
Problème 3.4 – connaissant Y ∈ S et φ ∈ S, trouver ¯Y ∈ ¯S tel que : ¯ Y = arg min ¯ Y∗ ∈ ¯SJ ¯Y∗ (3.40) Afin de lever la contrainte d’égalité dans le problème d’optimisation nous introduisons la fonctionnelle lagrangien augmenté :
L+ Y, λ¯ = J ¯Y+c (λ) , c ¯Y L2(Ω+) | {z } terme du lagrangien +k 2 c ¯Y 2 L2(Ω+) | {z } terme de pénalisation (3.41) où nous utilisons pour simplifier l’expression les notations suivantes :
hx, yiL2(Λ) = Z
Λ
xy dV (3.42)
kxkL2(Λ) =qhx, xiL2(Λ) (3.43) Un théorème d’optimisation nous indique que si ¯Y est solution alors le lagrangien augmenté est stationnaire :
DL+ Y, λ; ¯¯ Y∗, λ∗ = 0 ∀ ¯Y∗, λ∗∈ S × S (3.44) Le calcul des dérivées directionnelles nous permet d’écrire le système variationnel suivant :
Problème 3.5 – connaissant Y ∈ S et φ ∈ S, trouver ¯Y, λ∈ S × S tels que : Z Ω+ ¯ Y − Y ¯Y∗d′(φ) dV +c (λ) , c ¯Y∗ L2(Ω+) + kc ¯Y, c ¯Y∗ L2(Ω+)= 0 ∀ ¯Y∗ ∈ S c (λ∗) , c ¯Y L2(Ω+) = 0 ∀λ∗ ∈ S0
Ce dernier problème nous permet de calculer des quantités non locales sans avoir à construire l’espace ¯S. Nous illustrerons les résultats obtenues avec cette méthode et la méthode que nous présentons dans la section suivante, basée sur un problème d’advection.
3.3.2 – Advection
La méthode basée sur la résolution d’un problème d’advection n’est réalisable qu’après une discrétisation spatiale du problème. Nous supposons donc avoir dis-crétisé le domaine Ω avec une discrétisation élément finis conforme Ωh. La mé-thode se fait en deux étapes :
1. création de « modes » sur le front d’endommagement discrétisé,
2. transport des « modes » dans la bande endommagée et dans la bande étroite.
Figure 3.4– ensembles de degrés de liberté impliqués dans la définition des modes
Mise en place de modes sur le front d’endommagement
Nous utilisons la discrétisation spatiale Ωh de Ω pour construire la discrétisa-tion non conforme Ω+
h du domaine Ω+ et la discrétisation Γh de sa frontière Γ. Cette dernière est construite en trouvant les intersections entre Γ et les arrêtes de Ω+h. Nous définissons pour chaque nœud appartenant à Ω+
h un degré de liberté. Tous les identifiants sont collectés dans l’ensemble Sdet nous attribuons à chaque degré de liberté une fonction d’approximation linéaire par morceaux Ni, i ∈ Sd. Nous utilisons ensuite l’algorithme décrit parBéchet et al. (2009)pour sélection-ner certains nœuds (appelés nœuds vitaux) appartenant à Γh. Pour chaque nœud vital, nous définissons un degré de liberté. Tous les identifiants sont collectés dans un autre ensemble Sλ et nous leur attribuons des fonctions d’approximation ϕα
Γ, α ∈ Sλ, appelées modes dans la suite. Le degré de liberté d’un nœud vital est lié à certains degrés de liberté de Sd. Tous les identifiants correspondants sont collectés dans un dernier ensemble Sl ⊂ Sd. Les modes sont alors définis comme des combinaisons linéaires des fonctions linéaires par morceaux Ni, i∈ Sl et restreinte à Γh (nous omettons la notation ·h pour simplifier) :
ϕαΓ(x) = X j∈Sl
ajαNj(x)|Γ α ∈ Sλ, ajα ∈ R (3.45)
Ces modes sont appropriés pour imposer des conditions aux limites de type Di-richlet sur des frontières non maillées comme c’est souvent le cas dans la méthode des éléments finis étendue (X-FEM) voir (Béchet et al. (2009)). Ce choix n’est pas forcément le bon pour la propagation d’une interface. En effet, l’interface Γ peut éventuellement passer très près d’une arrête ou d’un nœud et la longueur de son support peut être très réduite par rapport à d’autres modes. Pour conserver une certaine homogénéité dans la longueur des modes, nous retirons les modes qui sont jugés trop petits en effectuant des combinaisons linéaires avec les modes voisins. Pour juger de la longueur des modes, nous considérons la longueur du
front d’endommagement :
lΓ = Z
Γ
dS (3.46)
que nous pouvons réécrire en utilisant la partition de l’unité, nous avons : lΓ = X α∈Sλ Z Γ ϕαΓdS | {z } lα (3.47) La longueur est obtenue comme la somme des termes lα de la matrice des masses condensée sur sa diagonale de densité l’unité et assemblée en intégrant sur Γ. Les termes de la matrice sont de bonnes mesures de la longueur des modes. En pratique, nous définissons une valeur seuil lred en dessous de laquelle le mode est éliminé et combiné à ses voisins. Commençant avec nλ modes ϕα
Γ, α ∈ Sλ, nous finissons avec nred modes filtrés ˜ϕα
Γ, α ∈ Sred, où Sred ⊂ Sλ est la collection des identifiants conservés. Nous ajoutons un tilde sur ces modes recombinés. Pour les construire nous appliquons l’algorithme (3.1). Enlever un mode α affecte le mode α− 1 et le mode α + 1 : ˜ ϕαΓ−1 ← ˜ϕαΓ−1+ 1 2ϕ˜ α Γ (3.48) ˜ ϕα+1Γ ← ˜ϕα+1Γ + 1 2ϕ˜ α Γ (3.49) ˜ ϕα−1Γ ϕ˜αΓ ϕ˜α+1Γ ˜ ϕα−1Γ ϕ˜α+1Γ
Figure 3.5– recombinaison des modes
1: initialiser Sred= Sλ,
2: assembler la matrice des masses condensée sur sa diagonale avec densité uni-taire sur Γh avec les fonctions d’approximation ˜ϕα
Γ, α∈ Sred,
3: assigner le plus petit terme de la matrice à l,
4: tant que:l < lred fait:
5: effacer l’identifiant du mode de Sred,
6: recombiner les modes voisins avec (3.48) et (3.49),
7: répartir la longueur du mode équitablement sur les voisins,
8: modifier la valeur dans la matrice pour lred ou plus,
9: assigner le plus petit terme de la matrice à l,
10: fin tant que:
Finalement nous obtenons : ˜ ϕαΓ(x) =X j∈Sl ˜ ajαNj(x)|Γ α ∈ Sred, ˜ajα ∈ R (3.50)
Transport des modes dans la bande endommagée et la
bande étroite
Après que les modes aient été définis sur le front d’endommagement, nous les transportons dans la bande endommagée en appliquant nred fois le problème aux limites d’advection suivant :
∇φ
k∇φk · ∇ ˜ϕ
α = 0 dans Ω+ α ∈ Sred (3.51)
˜
ϕα = ˜ϕαΓ sur Γ α ∈ Sred (3.52)
où la vitesse d’advection est donnée par le gradient de la fonction level set et les modes ˜ϕα
Γ définis sur le front sont imposés comme conditions aux limites de Dirichlet. Nous reconnaissons dans ce problème aux limites la contrainte (3.12) sur le taux de la fonction level set et des champs non locaux. Cela signifie que