Schéma étudié

On étudie le cas classique d’un centre possédantkstations (centre à stations multiples). Les clients sont parfaitement disciplinés et respectent l’ordre d’ar-rivée, c’est-à-dire que, quand il n’y a pas d’urgence, le premier arrivé est le premier servi. On suppose que :

– les arrivées sont distribuées suivant un processus de Poisson, de cadencel; ce nombrelcaractérise le taux moyen des arrivées, c’est-à-dire le nombre moyen d’usagers se présentant au centre par unité de temps ;

– les durées de service sont distribuées suivant une loi exponentielle de pa-ramètrem; ce paramètremreprésente le nombre moyen d’usagers servis par unité de temps par un même guichet. La durée moyenne de service est donc égale à 1/m. SiT représente le temps de service, on obtient :

Pr(T >t)5e^−mt

Soitnle nombre d’usagers dans le centre, soit en attente, soit entrain de se faire servir. Ce nombre est tel que :

cDunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

B

CALCULDESPROBABILITÉS

9•Processus aléatoires 9.12 Application aux phénomènes d’attente

– sin<k, il n’y a pas de file d’attente,

– sin>k, il se forme une file d’attente de longueur (n−k).

Il est évident que, si l’on posec 5 l/m, on doit avoirc<kpour éviter le risque de voir se former une file d’attente de longueur infinie,cest lefacteur de charge du centre.

Il est impossible de prévoir l’évolution rigoureuse d’un système, même si la configuration initiale est connue, car les arrivées ainsi que les départs se font d’une manière aléatoire. Cependant, on peut calculer les probabilités Prn(t) qu’il y aitnusagers dans le centre au tempsten fonction denet det. On en déduit ensuite les configurations les plus vraisemblables du système au cours du temps : ce sont leséquations d’état du système.

Équations d’état du système

Les probabilités Prn(t) qu’il y aitnusagers dans le système à l’instanttne sont pas indépendantes, mais liées par des relations ouéquations d’état.

Première équation d’état

Pour calculer la probabilité Pr0(t 1dt), il n’y a que deux éventualités exclu-sives à examiner :

1. Il n’y a pas d’usager dans le système à l’instantt et il n’y a pas d’arrivée pendant l’intervalle de temps (t1dt).

Le nombre d’arrivées pendant cet intervalle de temps suit une loi de Poisson de paramètreldt. Comme cet intervalle de temps dtest petit, la probabilité qu’il n’y ait pas d’arrivée, qui est égale à e^−ldt, est peu différente de 1−ldt et la probabilité d’une arrivée est égale àldt.

2. Il y a un usager dans le centre à l’instantt, la probabilité de cet événement est Pr1(t) :

– d’une part, cet usager quitte le centre pendant l’intervalle de temps (t1dt), la probabilité de cet événement estmdt;

– d’autre part, il n’y a pas d’arrivée pendant l’intervalle de temps (t1dt), la probabilité de cet événement est 1−ldt.

D’où l’expression de la probabilité Pr0(t1dt) :

Pr0(t1dt)5(1−ldt) Pr0(t)1(1−ldt)mdtPr1(t)

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L’intervalle de temps dtétant supposé petit, le termelm(dt)²est négligeable.

Après simplification, on obtient la première équation d’état : d Pr0(t)

dt 5−lPr0(t)1 mPr1(t) (1) Équations d’état pourn<k

On obtient ces équations comme précédemment en envisageant toutes les éventualités possibles. Commen<k, tous les usagers sont servis simultané-ment, tout nouvel usager sera servi et aucune file d’attente ne se formera.

La probabilité pour qu’un usager soit servi et donc quitte le centre est égale, s’il y anusagers dans le centre, ànmdt, et la probabilité pour qu’il ne sorte aucun usager est égale à 1−nmdt.

Prn(t1dt)5(ldt)[1−(n−1)mdt] Prn−1(t)1(1−ldt)(1−nmdt) Prn(t) 1(ldt)(nmdt) Prn(t)1(1−ldt)[(n11)mdt] Prn11(t) Après simplification, on obtient :

d Prn(t)

dt 5 lPrn−¹(t) dt−(l 1nm) Prn(t)1(n11)mPrn11(t) (2) Équations d’état pournk

Quand le nombre d’usagers est égal ou supérieur au nombre de guichets, la probabilité pour qu’un usager quitte le centre est égalekmdtquelle que soit la valeur den. L’équation d’état est de la forme précédente, après avoir remplacé net (n11) park:

d Prn(t)

dt 5 lPrn−1(t) dt−(l 1km) Prn(t)1kmPrn11(t) (3) En résumé, l’évolution du système est définie par les équations (1), (2) et (3) auxquelles il faut ajouter la condition :

∞ n50

Prn(t)51

cDunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

B

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et les conditions initiales : t50

)n50 Pr0(0)51 n1 Prn(0)50

La résolution d’un tel système fait appel à la transformation de Laplace et la solution fait intervenir les fonctions de Bessel incomplètes.

Il y a une période transitoire pendant laquelle les fonctions Prn(t) varient très vite en fonction du temps.

Si le facteur de charge c 5 l/m est inférieur àk, les probabilités Prn(t) tendent vers des probabilités Prn indépendantes du temps qui caractérisent lerégime stationnaire, ce régime est atteint au bout d’un temps de l’ordre de 3/mk.

Étude du régime stationnaire

On est dans l’hypothèse où le facteur de charge est inférieur au nombre de guichets. Le système à résoudre est obtenu à partir des équations (1), (2) et (3), en supposant les probabilités indépendantes du temps :

∞ n50

Prn51 mPr15 lPr0

(n11)mPrn115(l 1nm) Prn−lPrn−1 1nk kmPrn115(l 1km) Prn−lPrn−1 nk Ce système a pour solution :

Prn5cⁿ

n! Pr0 1n<k Prn5 cⁿ

k!kⁿ⁻¹Pr0 nk

On calcule la probabilité Pr0en utilisant la première relation :

Pr05 1

11

k−1

i51

cⁱ

i! 1 c^k

k! (1−c/k)

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Étude de deux cas extrêmes

1. Centre possédant un seul guichet (k51) :

Pr051−c Prn5(1−c)cⁿ

La distribution correspondante est une loi géométrique (voir chapitre 5, para-graphe 5.4.4) qui a pour fonction de répartition :F(n)51−cⁿ¹¹ 2. Centre possédant un nombre surabondant de guichets : le nombren d’usa-gers dans le centre dépasse rarement le nombre de guichets, le risque de voir se former une file d’attente est donc très faible. Ce nombrenest pratiquement distribué suivant une loi de Poisson :

Prn5e^−ccⁿ n!

9.12.3 Caractéristiques moyennes du phénomène