9 • PROCESSUS ALÉATOIRES
9.11 Processus ponctuels
9.11.1 Définition d’un processus ponctuel
Un processus estponctuelsi on peut attribuer une date précise à chaque événe-ment observé et si leur réalisation est supposée instantanée (événeévéne-ment ponc-tuel).
Exemples
Accidents du travail dans un atelier.
Débuts de pannes d’un ensemble de machines.
Instants de naissance d’une particule ou d’un individu d’une population.
Arrivées des bateaux dans un port, des trains dans une gare, etc.
La réalisation d’un tel phénomène est caractérisée, soit par la donnée d’une suite croissante d’instantstn, dates de réalisation des événements, soit par la donnée d’une suite de pointsPnsur l’échelle des temps avecOP5tnd’où le nom deprocessus ponctuel.
9•Processus aléatoires 9.11 Processus ponctuels
9.11.2 Cas particulier : processus ponctuel de Poisson Définition
Les processus ponctuels de Poisson interviennent dans différents domaines, en particulier dans la théorie des files d’attente.
Une suite d’événementsE1,E2, ...,Enconstitue unprocessus ponctuel de Poisson si ces événements satisfont aux trois conditions suivantes :
– Les événements attendus se produisent indépendamment les uns des autres, c’est-à-dire les temps d’attente (E1,E2), ...,(Ek,Ek11) sont des variables aléatoires indépendantes. C’est unprocessus sans mémoire.
– La loi du nombreNtd’événements se produisant dans l’intervalle (t,t1h) ne dépend que deh, c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas du nombre de réa-lisations au cours des intervalles antérieurs. Sih51, on notecl’espérance mathématiqueoucadencede la loiNt.
– Deux événements ne peuvent pas se produire simultanément, donc la pro-babilité que l’événement se réalise plus d’une fois dans un intervalle de temps petitDtest négligeable.
Lois associées à un processus de Poisson Calcul de la probabilité Pr0(h)
La probabilité Pr0(h) qu’il ne se produise aucun événement pendant un inter-valle de temps égal àhne dépend que deh(condition 2). Soient trois instants t, (t1h), (t1h1k). Les conditions 2 et 1 (indépendance des événements) et le théorème des probabilités totales entraînent :
Pr0(h1k)5Pr0(h)3Pr0(k) Cette équation a pour solution :
Pr0(h)5e−ch
Étude de la duréeT séparant deux événements consécutifs EketEk11
La probabilité pour qu’aucun événement ne se produise pendant l’intervalle de tempstest égale à :
Pr(T >t)5e−ct
cDunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
B
CALCULDESPROBABILITÉS
9•Processus aléatoires 9.11 Processus ponctuels
D’où la fonction de répartition et la densité de la loi de la variable aléatoireT: F(t)5Pr(T <t)51−e−ct f(t)5ce−ct ∀t0
La loi de la variableT est donc une loi exponentielle de paramètre c. Les propriétés de cette loi sont données au chapitre 6 (paragraphe 6.3). La variable aléatoireZ5cTa pour densité :
g(z)5e−z
La loi de la variableZ est donc une loi gamma g1 (voir chapitre 6, para-graphe 6.4).
Étude de la duréeYséparant(n11)événements consécutifs La variable aléatoireYséparant (n11) événements consécutifs est la variable nT. La variableV 5 cY 5 cnT 5 nZ suit donc uneloi gammagn de
La duréeY séparant (n11) événements consécutifs suit donc la loi gamma g(n,c) ouloi d’Erlangcarnest un entier.
Étude du nombreNd’événements se produisant pendant un intervalle de temps fixé
La probabilité qu’il se produisenévénements pendant une période de temps fixéeT est donnée par :
9•Processus aléatoires 9.11 Processus ponctuels
Après intégration par parties de la première intégrale, on obtient : Pr (N 5n)5e−cT(cT)n
n!
La loi deN est laloi de Poisson de paramètre cT.
Il en résulte queE(N)5cT et, siT 5 1,E(N)5c. On retrouve la pro-priété du paramètre d’une loi de Poisson, c’est la cadence définie au début du paragraphe, espérance mathématique du nombre d’événements aléatoires observés par unité de temps.
Remarques
Dans un processus de Poisson, la loi de Poisson correspond de manière rigoureuse à la distribution du nombre d’événements pendant un temps donné alors que, dans l’étude des épreuves répétées, la loi de Poisson est une approximation de la loi binomiale.
Si un événement se réalise suivant un processus de Poisson, c’est-à-dire si le nombre d’événements survenant pendant un tempsTfixé suit une loi de Poisson de para-mètrecT, le temps séparant deux événements consécutifs suit une loi exponentielle de paramètrec.
Réciproquement, si le délai s’écoulant entre deux événements est distribué suivant une loi exponentielle, le processus ponctuel est régi par une loi de Poisson.
Étude de la répartition des datesE1,E2... des événements dans un intervalle de temps donnéT
On calcule facilement les probabilités suivantes en revenant aux définitions : Pr (t1<E1<t11dt1)5ce−c t1dt1
Pr (t2<E2<t21dt2/E1)5ce−c(t2−t1)dt2
...
Praucun événement n’arrive aprèstn/En
5ce−c(T−tn)dtn
D’où :f(t1, ...,tn,n)5cne−cT.
On en déduit la densité de la loi de probabilité conditionnelle : f (t1, . . . , tn/N 5n)5cne−cT 3 n!
e−cT(cT)n 5 n!
Tn
cDunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit
B
CALCULDESPROBABILITÉS
9•Processus aléatoires 9.12 Application aux phénomènes d’attente
Les tempst1, ...,tnconstituent un échantillon ordonné de la loi uniforme sur [0,T]. Si on s’intéresse aux dates et non à l’ordre, on doit diviser la densité parn!.
Étude du processusNt
Le processusNt, nombre d’événements se produisant pendant un tempst, suit une loi de Poisson de paramètrect. On en déduit :E(Nt)5Var(Nt)5ct.
C’est donc un processus non stationnaire, mais à accroissements stationnaires et indépendants car la variable aléatoire (Nt1h−Nt) suit une loi de Poisson de paramètreh, quelle que soit la valeur deh.
La fonction de covariance de ce processus est : Sis>t,
C(t,s)5Cov(Nt,Ns)5Cov(Nt,Nt1X) 5Var(Nt)1Cov(Nt,X)5Var(Nt)5ct
X est une variable indépendante detcar le processusNtest à accroissements stationnaires.
Sis<t, un calcul analogue conduit àC(t,s)5cs.
D’où :C(t,s)5cInf(t,s).
Cette fonction étant continue ent 5s, le processus est continu en moyenne quadratique mais aucune trajectoire n’est continue puisqueNt est une fonc-tion en escalier.