2 • LE MODÈLE PROBABILISTE
2.2 Les concepts probabilistes
À l’origineprobabiliserconsistait à répartir, sur chacun des éléments d’un en-semble, un ensemble de valeurs ouprobabilitésdont la somme était égale à 1.
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CALCULDESPROBABILITÉS
2•Le modèle probabiliste 2.2 Les concepts probabilistes
Si cet ensemble, ouespace des épreuves, est de dimension finie, il n’y a pas de difficultés majeures. En revanche, si cet espace a la puissance du continu, le problème d’associer à chacun de ses éléments, une probabilité, est pratique-ment sans solution.
Pour formaliser ces notions, trois étapes sont nécessaires :
– définir le cadre dans lequel on observe les manifestations du hasard, c’est-à-dire définir uneexpérience aléatoireet l’ensemble fondamental V, – définir unévénement aléatoireet laclasseCdes événements aléatoires, – définir uneprobabilité sur l’espace (V,C), c’est-à-dire affecter un poids à
chaque événement traduisant la chance de réalisation de cet événement.
2.2.1 Expérience aléatoire
Une expérience est ditealéatoire s’il est impossible d’en prévoir le résultat, c’est-à-dire, si répétée dans les mêmes conditions, elle peut donner des résul-tats différents, dans un ensemble d’issues considérées comme possibles : – succession d’appels à un standard téléphonique non surchargé,
– observation de la durée de vie d’un individu anonyme dans une population humaine,
– observation de la durée de fonctionnement sans panne d’un appareil, – jeu de pile ou face de durée infinie...
Les résultats d’une expérience aléatoire appartiennent à unespace fondamental ouespace des épreuvesV; un point quelconquevdeVest unrésultat élémen-taire.
D’où la définition :
Une expérience aléatoire est un choix au hasard d’un pointvdans un ensembleV.
L’ensembleVdépend des connaissances que l’on a,a priori, sur les résultats possibles de l’expérience aléatoire.
Exemples 2.1
On lance une pièce de monnaie. Pour l’ensembleV, on peut choisir : – soit l’ensembleV15{pile, face},
– soit l’ensembleV25{pile, face, tranche}.
On considère la succession des appels à un standard téléphonique non surchargé et on étudie la répartition des instants où le standard reçoit un appel, à partir d’un
2•Le modèle probabiliste 2.2 Les concepts probabilistes
instant choisi comme origine (on admet que deux appels ne peuvent se produire rigoureusement au même instant, et que le phénomène n’est pas limité dans le temps).
Une réalisation de cet événement est une suite croissante de nombres réels positifs tioùtidésigne l’instant d’enregistrement duièmeappel :
v 5{t1<t2<· · ·<tn<tn11<· · · }.
Vest donc une partie de (R1)N
On lance deux dés et on s’intéresse à la somme des points apparaissant sur les deux dés. On obtient :
– soitV15{2,3, . . . ,12} – soitV25{2,3, . . . ,12}N si on recommenceNfois la partie.
On lance deux dés et on s’intéresse aux points marqués sur chaque dé : v 5{x,y}avec 1xy6
V 5{x,y}6est une partie deZ2
On considère l’expérience aléatoire « durée de vie d’un individu ». L’ensembleVest soit l’ensembleN, soit la demi-droite réelle positiveRselon le procédé discontinu ou continu de cette mesure.
Le choix de l’espaceVpeut s’avérer difficile ou même arbitraire. Si on répète l’expérience une infinité de fois, les espaces qui vont intervenir serontZNou RNde dimension infinie. Dans certains cas, il faut même faire intervenir des espaces fonctionnels.
2.2.2 Événement aléatoire
Un événement aléatoire est lié à une expérience aléatoire ; une fois l’expérience réalisée, on peut alors dire si l’événement a été réalisé ou non.
Un événement aléatoire A peut être identifié à la partie deVdont les éléments réalisent l’événement A.
Exemple 2.2
On jette deux dés et soit A l’événement :
« le total des points est supérieur ou égal à 11 ».
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B
CALCULDESPROBABILITÉS
2•Le modèle probabiliste 2.2 Les concepts probabilistes
L’ensemble des résultats possibles est l’ensembleV 5{(1,1),(1,2), . . . ,(6,6)}. Un total supérieur ou égal à 11 est représenté par l’ensemble des trois couples : v 5{x,y}tels quex1y11, c’est-à-dire les couples{5,6},{6,5},{6,6}. Cet ensemble de trois couples réalise l’événement A.
On pourrait choisir pour l’ensemble des événements, l’ensembleP(V) des parties deV, mais comme cet ensemble est en général trop vaste pour être
« probabilisé », on se limite à un ensemble strictement contenu dansP(V), vérifiant les propriétés logiques suivantes, qui servent de base axiomatique à la définition mathématique de la notion d’événement aléatoire.
Parallélisme entre la terminologie ensembliste et la terminologie probabiliste
– À tout événement A est associé soncontraire, non A ou A ou Acqui est réalisé si et seulement si A ne l’est pas.
Dans l’espaceVdes événements, A et A sont représentés par des ensembles complémentaires au sens ensembliste.
– Pour tout couple d’événements A et B, l’événement « A et B »est réalisé si A et B sont réalisés.
Dans l’espace Vdes événements, l’événement « A et B » est représenté par l’intersection des ensembles réalisant A et B, on le note « A et B » ou
« A∩B ».
– Pour tout couple d’événements A et B, l’événement « A ou B »est réalisé si l’un des deux ou si les deux sont réalisés.
Dans l’espaceVdes événements, il est représenté par la réunion des en-sembles réalisant A et B, on le note,ou n’étant pas exclusif, « A ou B » ou
« A∪B ».
– Deux événements A et B sontincompatiblessi la réalisation de l’un implique la non réalisation de l’autre,
Dans l’espaceVdes événements, deux événements incompatibles sont re-présentés par deux parties disjointes.
– Les événements A1,A2. . . ,An forment un système complet d’événements ou système exhaustif si les ensembles qui leur sont associés forment une partitionde l’espaceV.
2•Le modèle probabiliste 2.2 Les concepts probabilistes
Tableau 2.1 – Terminologies probabiliste et ensembliste.
Terminologie probabiliste Terminologie
Implication A⇒B
Espace entier
Toutes les opérations précédemment définies s’étendent à plus de deux événe-ments. La classe des événements associés à une expérience aléatoire est donc unetribuCde parties deV(tribu ous-algèbre). (Voir annexe 2 la définition d’une tribu.)
En résumé :
Un espace probabilisable est un couple(V,C)formé d’un ensembleVet d’une tribuCde parties deV(qui sont les événements).
2.2.3 Quantification des résultats
Le résultat d’une expérience aléatoire ne peut pas être prévu avec certitude.
La théorie des probabilités doit cependant donner des résultats quantifiés, donc associer à chaque événement unpoids, c’est-à-dire un nombre qui éva-lue sa chance de réalisation, ce nombre traduit la loi du phénomène étu-dié.
Historiquement, cette notion s’est dégagée à partir de la notion de fréquence de réalisation d’un événement A lié à une expériencev, au cours d’une suite de répétitions identiques dev. Puis l’approche axiomatique, utilisée depuis la fin du siècle dernier, a donné les bases mathématiques à la théorie des probabilités.
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2•Le modèle probabiliste 2.3 Mesure de probabilité et espace probabilisé