Sans prise en compte de l’effort tranchant

Partie I : Délaminage dans les structures courbes 25

3.5 Solutions analytiques et influences de la courbure sur la rupture

3.5.1 Sans prise en compte de l’effort tranchant

CAS FAIBLEMENT COURBÉ

Dans le cas faiblement courbé, où la courbure est de l’ordre de, autrement dit pour des struc-tures quasiment rectilignes, le système à résoudre est :

ª La première équation conduit à ^: constant, puis la troisième ^& ^!

et enfin la seconde

de la troisième poutre. Les déplacements normaux dans les deux poutres supérieures sont alors des trinômes en ^O

. Après calculs, l’énergie

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3 mécanique et le taux de restitution sont :

" X soit précisément les expressions obtenues dans le cas rectiligne. En effet, l’approximation du cas faiblement courbé revient à approximer

, soit par la carte identité.

MODÈLE D’ORDRE 1

Commençons par le modèle d’ordre 1, présenté dans la section précédente. Le système à ré-soudre est identique au précédent à l’exception de :

`:2

, la première équation donne¹⁸

}:" O ce qui entraîne alors que le moment de flexion^}

est également identiquement nul.^:

_ puis enfin :

Les déplacements^& et^&^& ¹⁹ sont alors déterminés par les huit conditions aux limites non encore utilisées :

}

18signalons le problème de perturbation singulière ; la solution obtenue ne converge pas lorsque

tend l’infini, vers

19Le calcul des déplacements^O

est évité.

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3 Enfin, l’énergie est :

Dans le cas d’un matériau isotrope, nous obtenons :

résultats à comparer avec

& du cas faiblement courbé.

MODÈLE D’ORDRE INFINI

Dans le cas d’une courbure quelconque, il suffit de remplacer

déduisons les relations :

} Le résultat en découle en évaluant le terme entre crochets. Dans la pratique,étant petit devant un, il suffit de se limiter à l’ordre 2 et de prendre

, même pour une arche fortement courbée. Enfin, notons que la présence de terme en^@n’est pas étonnante. Nous aurions obtenu des termes de même type en utilisant la seconde voie de calcul exact. Après quelques développements, l’énergie de la structure vaut :

Elle tend, lorsque²tend vers l’infini, vers l’énergie associée à la structure droite, et ce à la vitesse÷. Par ailleurs, notons que l’énergie est décroissante avec le rayon de courbure. Le taux de restitution est alors :

La comparaison de ce taux par rapport à celui du cas rectiligne^M^{" X}

dépend du signe de^M^X ^`^@. Si ^M^X ^` ^@ ^p

(cas le plus courant), soit ^X ^p

et la structure

20Notons que [FERNLUNDet al. (1994)] obtiennent la même expression pour^V

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3 résiste par sa forme. Dans le cas contraire, la courbure amplifie la propagation. Enfin, la dérivée seconde vaut :

"2X '

X"±X `@ '

. MX

`±X@ . ¼µX Â

"@ . MX 'À

. #"

(3.120) Le polynôme^r^{" X}

¼µX Â

.±X@.@ Â

prend des valeurs négatives dans l’intervalle^t^î

µ@î

Mµµ _

M@~et positives à l’extérieur. Il en résulte que la courbure modifie la stabilité de la pointe de fissure, suivant la longueur initiale^Xde la fissure. Lorsque ^Xest dans l’intervalle cité plus haut, la stabilité est aggravée. A l’extérieur, elle est améliorée. Les figures 3.7 et 3.8 montrent l’évolution du taux de restitution et de la dérivée seconde de l’énergie en fonction de^X; les valeurs numériques sont : ^!

____

WX@ ! __

}} !

}}.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

20 40 60 80 100

Z [\

]]

` a

]]

YZc

d e f

g h i j f k l

m m j

FIG. 3.7:^"2^X

en fonction de^X.

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02

100

p qr

p tu

opv

w x

y z{

| }

FIG. 3.8: ^&^"2^X

en fonction de^X.

Envisageons maintenant le cas où c’est le bras inférieur qui est chargé selon le même mode d’ouverture. est alors remplacé par ^` ce qui est sans conséquence, et

& est remplacé quant à

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3 lui par

valant dans le cas exact :

" `2 é

@" `2 é

. 2 é

2 é

` 2

@" . 2 é

. #"

(3.121) donnant :

"2X '

! M

"X '

±±X À

" @

. MX

2 . #"

(3.122) L’énergie mécanique ^"2^X

est maintenant inférieure à celle associée au cas rectiligne qui est in-changée (compte tenu des conditions de symétrie). L’effet dû à la courbure est inversé par rapport au cas précédent : dans les cas les plus courants (^X faible devant ^@), la courbure amplifie la pro-pagation de la fissure. Lorsque les deux bras sont chargés simultanément en mode d’ouverture, l’énergie s’écrit :

"2X '

2 . #"

(3.123) et la courbure dans ce cas réduit la propagation. De façon symétrique, abordons le cas d’un char-gement imposé normal ^B ^! ⁵^%^T. Lorsque l’extrémité du bras supérieur est chargée, la condition

! est remplacée par la condition^`}^ª^&^"&⁼ '

! " `w '

5 ! ".

÷ '

5 où⁵ désigne la com-posante normale de la force imposée à l’extrémité de la structure. L’énergie mécanique obtenue est :

"2X '

± 5

" @ . MX '

"@ . X '

2 . #"

(3.124) indiquant que la courbure amplifie la propagation, tandis que lorsque le bras inférieur est soumis au chargement ^`B, la condition devient^}^ª

! "`

÷ '

5 et nous obtenons :

"2X '

± 5

" @ . MX '

"@ . µMX '

2 . #"

(3.125) indiquant que la courbure réduit la propagation. Enfin, pour le chargement simultané des deux bras, l’énergie associée obtenue, avec un chargement imposé vaut :

" X2 '

! 5

` ±5

2 . #"

(3.126) entraînant une conclusion identique à celle du cas précédent. Ces développements montrent que l’influence de la courbure dépend du chargement et de sa nature. Les résultats sont regroupés dans les figures 3.9 et 3.10.

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3

FIG. 3.9: Cas de chargement où la courbure amplifie la propagation :^"2^X

' ^

" X '

FIG. 3.10: Cas de chargement où la courbure réduit la propagation : ^"2^X

p " X '

Chapitre 4

Calculs des dérivées lagrangiennes

Nous reprenons dans ce chapitre la structure ^? du chapitre occupant dans sa configuration de référence le volume de l’espace euclidien . Plus précisément, le volume est supposé compris entre deux surfaces de distance petite devant les autres dimensions. L’appellation de coque est attribuée à^? (ou par identification à). Enfin, nous supposons l’existence d’un front de fissure au sein de la surface moyenne de la coque. Ce chapitre est entièrement dédié au calcul des dérivées lagrangiennes associées à ce front. Dans un premier temps, l’épaisseur de la coque est suffisamment faible pour adopter quelques simplifications cinématiques. Puis dans un second temps, les dérivées lagrangiennes sont données pour une épaisseur quelconque, pourvu que la surface moyenne de^? puisse être mise en bijection avec un ouvert bidimensionnel. En d’autres termes, nous étendons de façon systématique les développements du chapitre 2 au cas tridimensionnel et les résultats de [OUSSET (1999)] au cas courbe. Cela nécessite au préalable quelques rappels de géométrie différentielle, permettant la réécriture de la formulation variationnelle dans un repère local attaché à la surface moyenne, puis de mettre en œuvre la -méthode. Le cadre mécanique est celui présenté au chapitre I et la densité de Saint Venant-Kirchhoff est retenue.

4.1 Rappels de géométrie différentielle et réécriture de la for-mulation variationnelle

Nous faisons quelques rappels élementaires de géométrie différentielle nécessaires pour notre propos. Une description complète et rigoureuse est présentée par exemple dans [CHOQUET-BRUHAT

& DEWITT-MORETTE (1982)]. Rappelons que l’espace euclidien est muni d’une base ortho-gonale directe ^! ^"%^R^%^S^%^T

et de la norme euclidienne usuelle (notée ^]]^]]) en faisant un espace vectoriel normé. Notons^# l’origine de la base , point de l’espace affine associé. Tout point⁾de cet espace affine est repéré par ses coordonnées ^"⁽

(

. DESCRIPTION DE LA SURFACE MOYENNE

Soit^L la surface moyenne de la coque, supposée l’image de l’adhérence d’un domaine^Ldu plan^& contenant l’origine par l’application , régulière et injective :

"L '

! L D $ L D

(4.1)

RAPPELS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE ET RÉÉCRITURE DE LA FORMULATION

VARIATIONNELLE CHAPITRE 4

A tout point^W de ^L¹ repéré par ses coordonnées cartésiennes ^"⁽

(

, est associé un unique point de^L, repéré par ses coordonnées ^"O

, dites coordonnées curvilignes de^W pour la carte

. Une représentation de la surface^L est alors la suivante :

L ! ä

W ! "

(

|W ! " O

Lå (4.2)

On définit les vecteurs tangents à^L, supposés linéairement indépendants, par :

(4.3) et le vecteur unitaire normal à^L est défini par :

QT ! QR

]]QR

QS]]

(4.4)

Les vecteurs (^Q^R^Q^S^Q^T) définis sur^L forment une base directe orthogonale de l’espace euclidien

, dite base contravariante associée à la surface moyenne^L. Par analogie avec le cas 2D (voir chapitre 3), on introduit les vecteurs formant la base covariante ^"Q^R^Q^S^Q^T

définis par :

Q y

Q ! Y

$ Q

! QT (4.5)

Le théorème de Gauss-Bonnet ([CIARLET (2000)], page 130) assure que la surface moyenne ^L est entièrement caractérisée², à l’orientation dans l’espace près, par deux tenseurs ^"Q^y

et ^"

y '

, appelés première et seconde formes fondamentales de la surface^L. La première forme fondamen-tale ^"Q^y

, appelée tenseur de changement de métrique est l’inverse du tenseur symétrique défini positif^Q

y Q :

Qy Q

! Y

$ Qy

! Qy Q

(4.6)

La seconde forme fondamentale^"

y '

appelée tenseur de courbure, non symétrique, apparaît comme le tenseur mixte du tenseur symétrique

QT Q

! `QTQ

y Q

(4.7)

Les valeurs propres de ce tenseur, notées⁹

"OY '

et ⁹

"OY '

sont les courbures principales de^L en^OY. La demie-trace, notée^a, est la courbure moyenne de la surface^L tandis que le déterminant, noté^b, est la courbure totale (ou courbure gaussienne) :

a"OY '

"9 é

" OY '

. 9 é

"OY ''

" [

" OY '

. [

"OY ''

b"OY '

" 9

" OY '

9&"OY ''é

! [

" OY '

[

" OY '

[

"OY '

(4.8)

Soit maintenant un vecteur ^g défini sur ^L, de composantes cartésiennes ^"d^:

dans et exprimé dans la base covariante de^L selon :

g" ) '

! d Z

" ) '

% . d" ) '

! dZ "OY '

X Z

" OY '

. d

X" OY

g" P '

(4.9)

1pour simplifier, nous identifions l’espace affine avec son espace euclidien résultant.

2modulo quelques équations de compatibilité portant sur les symboles de Christoffel de première espèce.

RAPPELS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE ET RÉÉCRITURE DE LA FORMULATION

VARIATIONNELLE CHAPITRE 4

(^"^d^Y^d

désignent les composantes covariantes de^g). Pour tout point^W de^L, le covecteur

îû

est donné par la relation :

fY. Les fonctions réelles

YZ sont les symboles de Christoffel de seconde espèce et vérifient ^Cc^YZ ^! ^Cc^Z^Y. DESCRIPTION DE LA COQUE

Les préliminaires précédents permettent une description de la structure complète. Sans aucune perte de généralité pour la suite, nous supposons que l’épaisseur, notée^ô de la coque est uni-formément constante. est alors l’image de l’adhérence de ^L^«~ ^` ^ô^ô^tpar l’application,

Une représentation du volume est alors :

De façon analogue, la base contravariante associée au vecteur ^#, notée ^"^U

T '

est définie selon :

et le tenseur métrique associé est :

ä en vertu de la symétrie du tenseur

y déterminant du tenseur^U

REMARQUE(S) 11 Supposons l’application bijective de^L dans^L. Alors les coordonnées car-tésiennes ^"⁽

et curvilignes ^{" O}

sont en bijection si et seulement si,

` a"OY

(le tenseur^Q étant défini positif), ce que nous supposons désormais. ^Ã

3Dans le cas 2D du chapitre précédent, nous avions

RAPPELS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE ET RÉÉCRITURE DE LA FORMULATION

VARIATIONNELLE CHAPITRE 4

Dans la suite, nous utiliserons l’égalité suivante, pour toute fonction⁵ ⁶-mesurable :

¢ Considérons maintenant à nouveau un vecteur exprimé dans la base covariante ^{" Q}^y^Q^T

. Par un calcul analogue, nous obtenons pour tout point de:

puis nous choisissons d’exprimer le tenseur des contraintes^*^")

désignent les composantes contravariantes planes du tenseur des contraintes,^"^Y

celles des composantes de cisaillement transverse etla contrainte normale. Afin de déterminer la quantité

12"*

îû

î¡

, exprimons le vecteur^U^y en fonction du vecteur^Q^y sachant que^U^T ^! ^Q^T. La relation (4.14) entraîne :

en définissant le tenseur non symétrique ^"^è^y '

défini sur^Lcomme l’inverse du tenseur^"

Finalement, l’égalité cherchée est, en utilisant que la symétrie^Y^{" )}

' que nous notons sous la forme condensée :

12"*

RAPPELS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE ET RÉÉCRITURE DE LA FORMULATION

VARIATIONNELLE CHAPITRE 4

en prolongeant la définition du tenseur⁶^Z^Ytelle que ⁶^Y

et rappelant que :

Un calcul analogue conduit à la relation :

12 où l’on notera la présence explicite du tenseur de changement de métrique ^"Q

ý '

de la surface⁴. Dans notre quête d’une réécriture simplifiée de la formulation variationnelle, introduisons mainte-nant l’opérateur^r ^k ^"^G^f

entraînant l’écriture de l’opérateurdéfini en (4.19) sous la forme condensée^{: ;}^"^g

présente dans l’équation de comportement mise sous forme variationnelle se transforme en la quantité :

12"" )

Finalement, la formulation variationnelle prend, dans le repère local associé à la surface moyenne, la forme suivante :

4Si nous avions exprimé le champ dans la cobase associée non pas à la surface^[ MAIS à^Æ, nous aurions obtenu

[CIARLET(2000),page 382].

5cela s’écrit composante par composante :^° ^È^± ^×²^Z

²³ ÿ³

DÉRIVÉES LAGRANGIENNES POUR DES COQUES MINCES LINÉAIRES CHAPITRE 4 et^B^! ⁵^:^Q

,⁵^:étant les composantes covariantes de^B.^>désigne le tenseur de souplesse de com-posantes covariantes^>^:;^<=dans la base locale. Le tenseur inverse a pour composantes contrava-riantes dans le cas isotrope :

: ;<=

"OY '

! X : ;

" OY '

"OY '

. º

¯ X

" OY '

. X :=

"OY '

(4.30)

dépendant des coordonnées^O

et^O&. L’énergie mécanique est enfin :

",* '

n12"*

+", ''

]\]6

` m

]\]6C

",* '

(4.31)

En vue du chapitre 5, insistons sur la PROPRIÉTÉ 1 Si le couple ^",^*

«Á"

réalise un minimum de la fonctionnelle , alors le couple ^"^,^*

«Á"

défini par les relations (4.9) et (4.20) réalise un minimum

de la fonctionnelle. ^Ã

REMARQUE(S) 13 La formulation (4.28) est valable pour une structure d’épaisseur^ôconstante arbitraire pourvu qu’elle vérifie la condition (4.17). En particulier, si la structure est faiblement courbée⁶, alors l’épaisseur peut être de l’ordre des autres longueurs, voire arbitraire. ^Ã Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les dérivées lagrangiennes de , associées au front^K^A, évoluant le long de la surface moyenne de la structure S. L’objet du prochain paragraphe concerne le calcul de ces quantités dans le cadre des coques minces, lorsque l’épaisseur vérifiant (4.17) est supposée faible devant les autres dimensions. A l’image du cas bidimensionnel (voir paragraphe 3.4), des simplifications cinématique et statique conduisent à des expressions définies sur la surface moyenne.

Dans le document THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE (Page 59-70)