Problème de l’élasticité en repère local - Quelques travaux sur les fissures non planes

Partie I : Délaminage dans les structures courbes 25

2.2 Quelques travaux sur les fissures non planes

3.1.2 Problème de l’élasticité en repère local

REPRÉSENTATION DE L’INTERFACE

Supposons que l’interface^K est décrite par la carte régulière⁵:

k~O ö

l K

$ ) ! " O

(3.5) associant à chaque coordonnée ^O

~O ö

t le point ^W de ^K (voir figure 3.1 ). La quantité ^O

représente la coordonnée (abscisse) curviligne de^K. Les vecteurs tangent et normal unitaire définis par :

$ !

]]]]

/ (3.6)

sont linéairement indépendants et forment une base de^& (base en^W) ; tout vecteur se décompose selon :

," O

(3.7)

La base ^"%^R^%S

! " '

est appelée la base contravariante et ^"^&

les composantes contra-variantes de^,. Cette base n’étant pas orthonormée, on introduit la base covariante (cobase en^W)

% S

! "]] ]]

® ®

; nous rappelons qu’elle est telle que ^%y^% ^! ^YZ et nous exprimons un covecteur dans la base covariante à l’aide de ses composantes covariantes. Si⁵ est une fonction définie sur^K, sa dérivée est un covecteur et vaut :

! 5

! ]]]]

® (3.8)

Dans le prochain paragraphe, nous utiliserons la règle d’intégration suivante, pour toute fonction

5 6

K-mesurable :

c 5"W

6 K

5"" O

]]]]6O

(3.9)

Enfin, la courbure de^K en^W notée^w vaut :

w ! ]] ]]

(3.10)

REPRÉSENTATION DU VOISINAGE DE L’INTERFACE

Un point de coordonnées globales ^"⁽

(

L est repéré par ses coordonnées locales

" O

s t

O ö

~ « t

`~ L selon la relation :

! W . O&" O

(3.11) où^W est la projection du point sur^K. Explicitement, nous avons :

(

" O

&" O

" O

(

& !

&" O

" O

&"O

(3.12)

5La régularité deest précisée à la remarque 6.

PROBLÈME À RÉSOUDRE CHAPITRE 3 La base en un point est :

"%R%S '

" `wO&

° (3.13)

de cobase en, supposant ^`^w^O^& ^!

zO&

s t

`~,

% S

" `wO&

]] ]]

(3.14)

Le tenseur métrique^U de la carteest défini par^\YZ ^! ^"%

y %

! %

% :

\ !

" `wO&

]]]]

Nous obtenons⁶:

6L 6 (

(

& ! ]\]6O

6O& ! "`wO&

]]]]6O

6O& " `wO&

]]]]6L

(^]\^] désigne le déterminant (positif) du tenseur métrique ^U) de sorte que pour toute fonction ⁵

6L-mesurable, nous avons :

¢ù

6L !

¢ù

5" " O

"` wO&

]]]]6L

Enfin, la dérivée de⁵ (un covecteur) est :

! 5

% R

. 5

% S

Les quantités ^{" O}

(resp. ^"⁽

(

) sont les coordonnées curvilignes (resp. cartésiennes) de . Dans la base contravariante de , tout champ de vecteur^,^{" )}

Y%Y s’écrit :

,") '

" O

%R .

" O

%S !

" `wO&

tandis que dans la base covariante :

," ) '

% R

&" O

% S

," P '

Le couple ^"^&

sont les composantes contravariantes de ^, tandis que le couple ^"

sont les composantes covariantes de ^,. Dans le repère local (voir figure 3.2), ^CE et ^CÂ désignent la représentation de^CÊ et^CÂ tels que :

CE ! O ö

`~ $

CA ! t

O :

~ « " O :

désigne ici le produit vectoriel entre deux 1-forme différentielle.

PROBLÈME À RÉSOUDRE CHAPITRE 3

FIG. 3.2: Représentation virtuelle^L de la structure^L (voir figure 3.1).

REMARQUE(S) 5 – La correspondance ^l ^"W^O&

est biunivoque si en^W nous avons :

]w]p (3.15)

ce que nous supposerons désormais. C’est le cadre des poutres dites minces.

– La représentation locale permet de ramener l’ouvert courbe^L à un ouvert rectiligne^L(3.2).

En contrepartie, l’information géométrique définissant^L est reportée sur les inconnues du problème (les champs de déplacement^, et de contrainte^*) via la courbure et le vecteur tan-gent. Ce faisant, on peut voir l’étude d’une structure courbe comme l’étude d’une structure rectiligne où les inconnues sont modifiées, prenant en compte les paramètres géométriques.

Une difficulté d’ordre calculatoire vient du fait que ces paramètres dépendent des coordon-nées ^{" O}

. ^Ã

RÉÉCRITURE DE¹²^"*^-^,

Dans la suite, nous désignons par l’exposant ^¢, l’opération de dérivation par rapport à la variable^O

. Nous faisons le choix d’exprimer le champ de covecteur^, dans la cobase ^{" %}^R^%^S

W selon^, ^!

% R

S. Les rappels précédents permettent alors d’écrire :

` wO& ¯

`% R

` ]]]]

% R

`wO& ¯

. w

% R

% S

% R

% S

(3.16)

Considérant le tenseur des contraintes^*^")

YZ%

% comme un tenseur deux fois contrava-riant, nous écrivons :

*") '

"P '

%R .

"P '

"%R

%S . %S

%R '

"P '

%S *"P '

(3.17)

PROBLÈME À RÉSOUDRE CHAPITRE 3 La symétrie du tenseur des contraintes dans la base cartésienne entraîne^& ^! ^& et il vient :

12" *-,

& et^K^&^& sont respectivement les déformations tangentielle, de cisaillement et normale.

RÉÉCRITURE DE LA LOI DE COMPORTEMENT

Utilisons ici les indices ⁽ et pour désigner les quantités exprimées dans la base cartésienne et notons^t^~(resp. ^t ^~) la matrice d’ordre 2 telle que ^t^~ ^! ^t^%^R^%^S^~(resp. ^t ^~ ^! ^t¤^%^R^¥^®^¤^%^S^¥^®^~).

Les contraintes exprimées dans la base en ^W et celles exprimées dans la base cartésienne sont reliées par la relation :

ce qui se réarrange sous la forme :

De la même façon, nous écrivons :

Ces relations permettent alors d’obtenir la loi de comportement dans le repère local. Par exemple, dans le cas isotrope et déformations planes, la matrice^>^W^{: ;} vaut dans le repère global :

(3.19)

Nous notons^>le tenseur de souplesse ainsi défini.

PROBLÈME À RÉSOUDRE CHAPITRE 3 RÉÉCRITURE DE LA FORMULATION VARIATIONNELLE

Finalement, en notant ^* ^! ^"^YZ

f& exprimés dans le repère local, la formulation (3.3) devient⁷:

~ De plus, dans^L, les équations d’équilibre locales s’écrivent :

La première relation ne dépend pas de la contrainte normale ^&&. En l’intégrant par rapport à ^O&, elle permet d’obtenir^& en fonction de. La deuxième relation donne alors^&^&. Enfin l’énergie mécanique est :

",*

PRINCIPE DE LA DÉRIVATION SELON ^K

Les développements précédents nous permettent de dériver cette énergie le long de^K. En effet, par application de la -méthode dans un voisinage de la pointe de fissure ⁰ associée à ⁰, nous calculons la dérivée de l’énergiedans la direction ⁸:

ç. Si est inversible, le point ⁰^ç est également l’image de la pointe de fissure ⁰ par l’application ⁴ ^å^æ ⁴ ^µ^R. Il en résulte selon ©^³

! © et ©^³´

! ©´ que la quantité (3.23) représente la variation de l’énergie mécanique au cours d’une évolution virtuelle infinitésimale de la pointe de fissure ⁰ le long de ^K. Cette variation est, par définition, le taux de restitution associé à^L. Ce point essentiel est illustré sur la figure 3.3. Ce procédé, qui consiste à se placer dans un repère local, complexifie l’expression initiale de l’énergie mais requiert en revanche une transformation^å^æ simple. Il est théoriquement possible de raisonner sur l’énergie initiale en écrivant :

0ç ! "

7Dans la relation de comportement, nous utilisons la relation^¶

À désigne l’énergie de la structure à l’équilibre lorsque la pointe de fissure est en^Û^Á.

DÉRIVÉE LAGRANGIENNE DE L’ÉNERGIE CHAPITRE 3 et en supposant quesoit un difféomorphisme entre^Let^L. D’un point de vue pratique, ce procédé nécessite la connaissance explicite de l’application^é, ce qui n’est pas systématiquement le cas.

Â Ã

Å Ã

Æ Ç

É Æ

Ã Æ

Ê Ë

Ì Ì

Í É Î

Ó Ñ

Õ Ò

Í Ô

Ó Ö

Ñ Ö

Õ ÒÍ

Ç Ø

Ê Ú

ÛÜ ÌÝ Þ

Ê Ú

ÛÜ ß

ÝÌ Í

FIG. 3.3: Propagations réelle et virtuelle de la pointe de fissure ⁰ le long de^K^A.

Dans le document THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE (Page 37-42)