Modèles limites

! . L’expression obtenue diffère de (3.72) seulement par le terme^m

‹

, dans l’équation d’équilibre du modèle limite :

¢

Ainsi, lorsque est petit, le taux de restitution associé au modèle limite est bien la quantité qu’il convient de prendre. Enfin, identifiant pour suffisamment petit ^Ž

­

(dans un sens^i&"LŠ

'

), puis en utilisant les relations inverses de (3.37), le taux de restitution simplifié est :

\Š"

3.4 Modèles limites

L’analyse asymptotique précédente met en évidence des modèles limites de poutres, suivant l’ordre de la courbure. Utilisons ces modèles pour construire des modèles de poutres fissurées.

Dans cette section, le paramètre , représentant l’épaisseur de la structure est supposé petit devant l’unité. De façon classique [NEVERS(1986), COCHELIN& POTIER-FERRY(1991), PRADEILLES -DUVAL(1992)], la structure fissurée est modélisée à l’aide d’un assemblage de trois poutres raccor-dées en fond de fissure (voir figure 3.4). Nous commençons par reprendre le modèle de Bernoulli-Euler-Navier, puis le modèle de Timoshenko.

3.4.1 Modèle de Bernoulli-Euler-Navier

C’est le modèle limite retrouvé via l’analyse asymptotique du paragraphe précédent. Les dé-formations normale et de cisaillement sont annulées :

K

Y& î _

! (3.76)

Dans chaque poutre^LŠ:, le champ cinématique est de la forme :

Ž et doit vérifier les conditions de raccords en pointe de fissure :

ž

MODÈLES LIMITES CHAPITRE 3

FIG. 3.4: Modélisation de la poutre^L fissurée par assemblage de trois poutres^L: saines (gauche) et représentations limites (droite).

Dans le cas isotrope, cela entraîne^

?&&&&

°

La déformation tangentielle^K

se transforme alors selon^K

et la formulation variationnelle (3.20) se réduit à :

~ L’approximation choisie pour la quantité ^{" ` wO&}

'é

, selon la courbure de la structure, conduit à différents modèles. Notons que dans le cas simplifié bidimensionnel, ce terme ne pose pas de difficulté dans l’équation d’équilibre. Nous rappelons quelles sont les approximations utilisées usuellement puis donnons deux méthodes pour obtenir un modèle valable quelle que soit la valeur relative de la courbure vérifiant ^{` wO&}

^ _

. Par analogie avec le cas des coques [DESTUYNDER

(1990)], nous introduisons respectivement l’effort résultant^{: ! m}

õ

6O&et le moment de flexion ^{}: ! m}

13Il y a d’autres façons de procéder ; par exemple, en posant^Å

g

mais l’expression finale n’est pas plus simple.

MODÈLES LIMITES CHAPITRE 3

: et^ô: désignent respectivement les cotes inférieure et supérieure suivant^O& de la poutre^LŠ:. MODÈLE D’ORDRE 1

Nous réalisons alors l’approximation d’ordre 1 suivante ^"`wO&

'

K est appelée la déformation axiale et ^hŠla déformation de courbure. L’équation d’équilibre prend alors la forme suivante :

¢‹

tandis que l’équation de comportement prend la forme :¹⁴

¢ La formulation variationnelle conduit aux équations d’équilibre locales sur^KŠ: :

ž

MODÈLES LIMITES CHAPITRE 3 et pour une interface régulière, aux conditions de raccord en^Š :

tt

Le modèle précédent est un modèle d’ordre 1. [MÜNCH & OUSSET (2000)] présentent un modèle un peu plus pauvre où si ^"`wO&

'

é

reste approché par^.wO&, le déterminant de la transformation

`wO& est approché quant à lui par 1.

MODÈLE D’ORDRE INFINI

Voici deux façons d’obtenir un modèle unidimensionnel de poutre valable pour une courbure arbitraire. Une première voie est d’écrire :

" `wO&

6O& et l’équation d’équilibre s’écrit :

¢‹

Il suffit donc pour obtenir un modèle d’ordre de remplacer^} par^;:X

équa-tions d’équilibre. Une seconde voie plus simple (étendue au cas tridimensionel dans [ANICIC &

LÉGER (2000)]) consiste à placer le terme ^{" ` wO&}

'é

et¹⁵la formulation variationnelle s’écrit simplement :

ž

6O& et les équations d’équilibres sont :

ž

15Pour mémoire,

MODÈLES LIMITES CHAPITRE 3 auxquelles nous rajoutons les conditions de raccord en^Š :

tt

`}w~~ ! tt

}~~ ! tt

} ª

~~ ! _

(3.95)

équivalentes à (3.88) dans le cas d’une interface régulière. Enonçons pour conclure le résultat suivant :

THÉORÈME4 Le taux de restitution associé à l’énergie limite s’exprime en pointe de fissure selon la forme :

Š

\"

'

!

¯ tt

6

Ž

6O

~~ . tt

} 6

&

Ž

&

6O

&

~~

°

]]ˆ]]"

Š

'

"

Š

'

(3.96)

Ã

Preuve : Bien que considérablement plus lourde que dans le cas rectiligne, la preuve est classique.

Il faut commencer par exprimer ce taux dans un voisinage de la pointe de fissure, puis se ramener à ^Š en utilisant les relations de saut et d’équilibre. Dans le cas courbe, une difficulté apparaît en raison de la présence de la quantité^1ª

! b"

'

"]]ˆ]]

À

'

ª (^b désigne une fonction de et). Par exemple, dans le cas isotrope, nous la réécrivons selon^1ª

! ±% R

ˆ

£ 1

ce qui entraîne la relation (voir [MÜNCH & OUSSET(2000)]) :

ª K

", '

. } ª

h", '

! K

ª

", '

. } hª

", '

`±% R

ˆ£"

K

", '

. }h", ''

(3.97)

L’expression (3.96) nous rappelle que le taux de restitution est une mesure de la discontinuité des différents champs cinématiques au passage de^O

! Oï

.^Ã

REMARQUE(S) 10 (Régularité de la carte ^‹) L’expression (3.96) du taux en pointe de fissure^Š impose à la carte ^‹une régularité^w"KŠ

'

tandis que l’expression de ce même taux exprimée sur^KŠ [MÜNCH & OUSSET(2000), eq. (11)] impose une régularité^w

À

"Š K '

. ^Ã

3.4.2 Modèle de Timoshenko

Le modèle de Timoshenko relache l’hypothèse sur la déformation de cisaillement mais conserve (arbitrairement) un déplacement tangentiel linéaire selon l’épaisseur :

Ž :

" O

O&

'

!

Ž :

" O

O&

'

. O&º :

"O

'

$

Ž :

&

"O

O&

'

!

Ž :

&

"O

'

(3.98) et les conditions de raccord en pointe de fissure^Š deviennent :

ä

Ž

Y

" Oï

'

!

Ž

&

Y

"Oï

'

!

Ž

Y

"Oï

'

º" Oï

'

! º

&

"Oï

'

! º"Oï

'

(3.99) Il vient alors :

ž

Ÿ

Ÿ

 

Ÿ

Ÿ

¡ K

", '

! " `wO&

'é

¯ K

", '

. O&h"º '

°

K

&", '

! "` wO&

'é

¯ º .

î

E î



. w

Ž

°

 " `wO&

'é

",º '

(3.100)

SOLUTIONS ANALYTIQUES ET INFLUENCES DE LA COURBURE SUR LA RUPTURE CHAPITRE 3

K

", '

est inchangé et ^h",

'

devient ^h"º

'

. Dans l’équation d’équilibre, il apparaît le terme supplémentaire^m

‹

]]ˆ]]6LŠque nous approximons au premier ordre par :

¢ù‹ A titre d’exemple, l’énergie de la structure associée à un tel modèle s’écrit :

Š

est cherché dans^„

équations d’équilibre sur^LŠ:s’écrivent :

ž et aussi, en éliminant l’effort tranchant :

ž soit précisément le système obtenu pour le modèle de Bernoulli-Euler-Navier de même ordre, les inconnues ayant des définitions différentes. Les conditions de raccords entraînent :

tt soit, pour une interface régulière :

tt

Enfin, ces modèles peuvent être étendus à des ordres supérieurs.

Nous venons de déterminer des modèles de poutres fissurées. Les équations d’équilibre sont des équations différentielles ordinaires d’ordre deux à coefficients non constants dont la résolution analytique, dans le cas général, semble hors de portée. Dans la section suivante, nous déterminons des solutions analytiques dans le cas d’une carte ^‹particulière.

3.5 Solutions analytiques et influences de la courbure sur la

Dans le document THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE (Page 52-57)