2.G Annexe 7 : Programme d’optimisation de laVaRde Cornish-Fisher
Le problème d’optimisation qui consiste à minimiser uneVaRde Cornish-Fisher sous contraintes de rendement et de répartition du capital est un problème d’optimisation
CHAPITRE 2. DISTRIBUTION NON GAUSSIENNE DES RENDEMENTS : QUEL IMPACT SUR LES OPTIONS PAR DÉFAUT DES PLANS D’ÉPARGNE RETRAITE ?
non-lisse (non-différentiable). Pour le résoudre, nous avons retenu la méthode implé- mentée par le Pr. Frank E. Curtis26(Lehigh University).
L’algorithme du « Gradient Sampling » ouGSpour la minimisation de fonctions non- lisses et non-convexes27 a été proposé par BURKE et collab.[2005], dont la caractéris-
tique la plus intéressante repose sur l’usage d’échantillons du gradient plutôt que le sous- gradient. Dans l’algorithme duSQP-GS, qui combine la technique duGSpour rendre le calcul de la direction de recherche efficace dans les régions non lisses, avec une méthode de programmation quadratique séquentielle (programmation quadratique séquentielle –
ou Sequential Quadratic Programming – (SQP)), Frank E. Curtis présente un algorithme
SQP-GS qui étend l’algorithme GS à l’optimisation de problèmes non-convexes, non- lisses, qui sont assujettis à des contraintes. L’algorithmeSQP-GS permet ainsi, par ap- proximation du sous-différentiel en tout point du domaine de la variable x (avec x ∈ Rn) par une enveloppe convexe de gradients générés aléatoirement au voisinage de x, de ga- rantir que l’on ait une direction de descente. La méthode utilise une pénalité de l1pour régulariser les contraintes. Enfin, la méthode du SQP-GSest globalement convergente vers l’optimum avec une probabilité égale à 100%.
Considérons le problème contraint (P b) suivant :
(P b) min x f (x) S.C. g (x) ≤ 0, g ∈ Rm
Les contraintes linéaires du sous-problème étant inconsistantes, on pénalise le sous-problème quadratique (problème quadratique –ou Quadratic Programming – (QP)) ci-dessous pour le rendre consistant et garantir la robustesse de la convergence globale dans la méthode
26. F. E. Curtis and X. Que, "An Adaptive Gradient Sampling Algorithm for Nonsmooth Optimization,"
Optimization Methods and Software, iss. DOI : 10.1080/10556788.2012.714781, 2012.
CHAPITRE 2. DISTRIBUTION NON GAUSSIENNE DES RENDEMENTS : QUEL IMPACT SUR LES OPTIONS PAR DÉFAUT DES PLANS D’ÉPARGNE RETRAITE ? duGS. (QP) min d ρz + P m j =1ri+12d0Hkd S.C. : f (xk) + ∇f (xk)0d ≤ z, ∀x ∈ Bε,kf gj(xk) + ∇gj(xk)0d ≤ rj, ∀x ∈ Bg j ε,k, rj≥ 0, j = 1, . . . , m (2.26) Avec : Bε,kf = {xk,if }i =0,...,p, où xk,0f = xk Bε,kgj = {xk,igj}i =0,...,p j =1,...,m , où xgk,0j = xk
Hk: la matricie Hessienne du Lagrangien du problème (P b)
Le sous-problème quadratique ci-dessus est bien posé et définit une direction de des- cente pour la fonction de pénalitéφρen xk.
Soit B(xk,ε) = {x/kx − xkk2 ≤ ε} la boule de centre xk et de rayon ε. Df représente un sous-espace dense deRndans lequel f est continûment dérivable. On peut montrer que cet ensemble est non vide et est un intervalle fermé deRn. L’hypothèse de fonction lo- calement Lipschitzien permet de définir, pour l’application de la méthode du SQP-GS, le sous-différentiel de Clarke comme suit. Pour tout ε > 0 , l’hypothèse sur le fait que la fonction f soit localement Lipschitzienne permet de définir l’espace fermé Gεf(xk) =
cl conv ∇f (B(xk,ε)TDf) comme l’ensemble des sous dérivées de ∇f , ou sous différen- tiel de la fonction ∇f en xk. La représentation ¯∂f (xk) = Tε>0Gεf(xk) définie le « sous- différentiel de Clarke ».
Ainsi, on dit qu’un point x estε − stationnaire (au sens de Clarke) pour f si 0 ∈ ¯∂f (x).
CHAPITRE 2. DISTRIBUTION NON GAUSSIENNE DES RENDEMENTS : QUEL IMPACT SUR LES OPTIONS PAR DÉFAUT DES PLANS D’ÉPARGNE RETRAITE ?
lisse, mais au moins localement Lipschitzien et continûment différentiable sur un espace dense ouvert deRn.
Avec f non-lisse, mais au moins localement Lipschitzien. L’optimum s’obtient en une suite en générant un échantillon du gradient de f , soit une boule de rayonε et de centre
x0et en choisissant un pointε−stationnaire au sens de Clarke parmi les points générés. A l’étape suivante, on réduit le rayon d’échantillonnage, puis on répète la même opéra- tion jusqu’à trouver l’optimum.
Algorithme 2.1 PROGRAMME D’OPTIMISATIONSQP-GS:
1:
(Initialisation) : Choisir un rayon pour l’échantillonnage ε > 0, un paramètre de pénalisation ρ, un seuil de tolérance pour les contraintes θ > 0, une taille d’échan- tillon p ≥ n + 1, le paramètre constant pour la longueur de pas η ∈ (0,1), un para- mètre constant de backtracking{Les techniques du backtracking se proposent de cher-cher la meilleure longueur de pas.} pour le raffinent de la longueur de pas itérativement
γ ∈ (0,1), un facteur pour la réduction du rayon d’échantillonnage βε∈ (0, 1), un fac- teur de réduction pour le paramètre de pénalisationβρ∈ (0, 1), un facteur de réduction pour la tolérance des contraintesβθ∈ (0, 1), et un paramètre de tolérance pour admis- sion de la stationnaritéν > 0. Choisir x0∈ D et fixer k ← 0.
2:
(Gradient sampling) : GénérerBε,k= {Bε,kf ,Bg 1 ε,k,...,B gm ε,k} satisfaisantB f ε,k⊂ Df andB gj ε,k⊂ Dg j
3:
(Recherche de la direction de descente) : Déterminer Hk 0 et calculer (dk, zk,rk) à partir du problème (QP) posé ci-dessus.4:
(Actualisation des paramètres) : Si∆qρ¡dk; xk,Bε,k,Hk¢ > νε2, alors aller à l’étape 5. Sinon, siν(xk) ≤ θ, alors fixer θ ← βθθ, mais si ν(xk) ≥ θ, alors fixer ρ ← βρρ. Dans d’autre cas, fixerε ← βεε,xk+1← xketαk← 0 puis aller à l’étape 6.
5:
(Recherche de longueur de pas) : Fixer αk comme égale au majorant de la sé-quence {1,γ,γ2,...} telle que x
k+1← xk+ αkdksatisfasse la conditionφ(xk+ αkdk;ρ) ≤ φ(xk;ρ) − ηαk∆qρ(dk; xk,Bε,k,Hk). Si xk+1 ∉ D, alors remplacer xk+1 par n’im- porte quel point ˜xk+1 de D satisfaisant les conditions φ(xk+ αkdk;ρ) ≤ φ(xk;ρ) − ηαk∆qρ(dk; xk,Bε,k,Hk) et kxk+ αkdk− xk+1k ≤ min{αk;ε}kdkk
CHAPITRE 2. DISTRIBUTION NON GAUSSIENNE DES RENDEMENTS : QUEL IMPACT SUR LES OPTIONS PAR DÉFAUT DES PLANS D’ÉPARGNE RETRAITE ?
Chapitre 3
Convergence ou efficience : débat sur la
dynamique des cours de marchés
boursiers
« Le marché boursier a prédit neuf des cinq dernières récessions »
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS
Sommaire
3.1 Introduction . . . 111
3.2 État de l’art existant au lancement des travaux de recherche . . . 113
3.2.1 L’efficience des marchés financiers . . . 113
3.3 Un protocole de vérification de la robustesse des tests d’efficience . . . . 126
3.3.1 Grands principes de la solution. . . 127
3.4 Les modèles Sparse VAR : une spécification alternative pour évaluer la prévisibilité des marchés . . . 153
3.4.1 Les modèles vectoriels autorégressifs VAR . . . 154
3.4.2 L’estimation d’un modèle « Sparse » VAR . . . 157
3.5 Bilan des recherches . . . 197
Annexes . . . 198
3.A Annexe 1 : écriture des modèles pour les tests Dickey-Fuller. . . 198
3.B Annexe 2 : Évolutions des écart-types conditionnels et encadre- ments - le cas des autres pays . . . 200
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS
3.1 Introduction
La nature du processus qui régit les prix des actifs financiers fait l’objet de nombreux débats. Certains auteurs considèrent, dans la mouvance deBACHELIER[1900], que les prix
des actifs risqués suivent une marche aléatoire, c’est-à-dire un processus sans mémoire dans lequel les chocs sont permanents, tandis que d’autres arguent que les mouvements extrêmes de prix observés sur les marchés financiers sont transitoires. C’est-à-dire qu’une forte variation dans un sens est suivie de mouvements de sens opposés qui corrigent ten- danciellement la déviation initiale et ramènent les prix des actifs vers leurs valeurs fonda- mentales.
La théorie des marchés financiers est née au début des années 60 dans le sillage de la définition de l’efficience des marchés financiers donnée parFAMA[1965]. C’est, en effet,
dans l’article fondateur « The Behavior of Stock-Market Prices » que Fama postule « qu’un marché financier est dit efficient si et seulement si l’ensemble des informations dispo- nibles concernant chaque actif financier coté sur ce marché est immédiatement intégré dans le prix de cet actif ». Il découle de cette théorie que si les marchés sont efficients, ils sont imprédictibles et suivent une marche aléatoire. A la suite de ces travaux pion- niers, beaucoup d’efforts ont été déployés pour tester l’efficience des marchés financiers. L’importance de l’EMHest due principalement à ses implications pratiques. En effet, la présence ou l’absence de « mean-reversion » dans le cours des actifs risqués a des consé- quences majeures sur la structure des allocations stratégiques au cours du temps.
Si les marchés sont efficients, le principe dediversification temporellene trouve pas son fondement dans la dynamique des marchés et il faut recourir à la théorie pour la jus- tifier. Par exemple,BODIEet collab.[1992] légitiment ladiversification temporelleen in-
troduisant le capital humain dans un modèle de choix inter-temporel de portefeuille. Les auteurs montrent notamment que la pondération optimale des actions au cours ducycle
de viedépend de la nature du capital humain (selon que les revenus du travail sont plus
ou moins aléatoires et corrélés à la rentabilité des actions). Ils concluent que les jeunes investisseurs doivent investir dans des actifs risqués et arbitrer vers des actifs sans risque à mesure que leur stock de capital humain diminue, c’est-à-dire quand ils deviennent vieux. Si les marchés sont convergents, le problème est considérablement simplifié, la dy-
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS namique des cours justifie à elle seule ladiversification temporelle, car le mécanisme de correction des mouvements extrêmes est d’autant plus probable que la durée de place- ment est longue, l’allongement de la durée de placement conduit donc à une réduction du risque.
L’objectif de ce chapitre est de tenter de comprendre les raisons des divergences entre les auteurs sur la nature de la dynamique des cours. S’il s’avère que la robustesse des tests d’efficience est en cause, il conviendra d’explorer des pistes alternatives pour évaluer la dynamique et la prévisibilité des actifs financiers sur des horizons longs.
La confirmation des résultats du premier chapitre est subordonnée à l’explication de ces visions antagonistes de la dynamique des prix. Ce nécessaire éclaircissement nous éloigne de l’économie des retraites et nous impose un détour sur le territoire de la modé- lisation statistique et des techniques numériques qui sont devenus les instruments indis- pensables de l’analyse de la dynamique des cours boursiers. Cette incursion nous permet d’avancer une explication raisonnable au débat sans fin qui oppose les adeptes et les dé- tracteurs de l’EMH. Nous montrons que, sans surprise, la cause du débat peut être attri- buée à la petite taille des échantillons et à la faible puissance des tests statistiques dédiés. Puis, pour prouver par une autre voie la prévisibilité à long terme du prix des actifs ris- qués, nous utilisons l’approche développée parCAMPBELLet VICEIRA[2005]. L’approche
par une méthode « Sparse VAR » met en évidence l’existence de retour vers la moyenne dans le cours des actifs risqués, aux États-Unis, au Royaume-Uni et France ou encore au Japon.
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS
3.2 État de l’art existant au lancement des travaux de re-
cherche
3.2.1 L’efficience des marchés financiers
L’efficience de marché est l’un des concepts centraux de la théorie financière mo- derne. La théorie des marchés financiers est née au début des années 60 dans le sillage de la définition de l’efficience des marchés financiers donnée à partir deFAMA[1965]. C’est,
en effet, dans l’article fondateur « The Behavior of Stock-Market Prices » que Fama postule « qu’un marché financier est dit efficient si et seulement si l’ensemble des informations disponibles concernant chaque actif financier coté sur ce marché est immédiatement in- tégré dans le prix de cet actif ».
Dynamique des marchés efficients (EMH)
Hypothèse centrale de la finance donnée parFAMA[1970]
dPt
Pt =µdt + σdz (3.1)
où :
d z =εpd t
Avec :
P = les cours de l’action
µ = espérance de rendement
σ = écart type du taux de rendement
d t = intervalle de temps
ε = aléa suivant une loi normaleN (0,1)
Il découle de cette théorie que si les marchés sont efficients, ils sont imprédictibles et suivent une marche aléatoire. Ainsi, aucun agent économique ne peut prévoir de façon certaine l’évolution des cours d’un actif financier. Partant de cette hypothèse de marche aléatoire parfaite, il serait très risqué pour les épargnants averses au risque d’investir sur des titres financiers. Cependant, comme l’indique la persistance du débat sur la dyna- mique des prix au cours de ces trois dernières décennies, l’hypothèse de marche aléatoire
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS régulièrement prêtée au cours d’actifs financiers ne s’accorde pas toujours avec les per- formances des cours boursiers sur le long terme. De fait, à ce jour, en dépit de la multipli- cation des études visant à tester l’efficience des marchés financiers, aucune recherche n’a pu démontrer, avec impartialité, la validité de la théorie.
Les tests d’efficience faible des marchés boursiers
La quantification de l’hypothèse d’efficience de marché, plus formellement, l’idée de marche aléatoire attribuée à la dynamique des cours d’actifs financiers trouve son origine dans la thèse deBACHELIER[1900] qui introduit l’utilisation du mouvement brownien en
finance, pour soutenir l’argument selon lequel l’espérance mathématique de rendement d’un spéculateur est nulle. Paul Samuelson dans les années 1950 décrit des marchés ef- ficients à travers la notion de martingale. Cette idée initiale de mouvement aléatoire des prix, largement reprise dès les années cinquante, est rapidement remplacée par un mo- dèle dans lequel les cours des actions suivent une distribution log-normale à travers un mouvement brownien géométrique. Les développements deBLACKet SCHOLES[1973] et
le principe de non-arbitrage en sont une résultante. La théorie mathématique des mar- chés financiers efficients écrite par Fama, devient la référence commune pour le monde académique et les praticiens. Depuis lors, les économistes n’ont eu de cesse de tester la forme faible de l’efficience des marchés afin de valider ou d’infirmer la théorie. SUM- MERS [1986], en partant de simulations de processus aléatoires, fût l’un des premiers à montrer que les tests statistiques classiques de marche aléatoire n’étaient pas adaptés pour tester l’hypothèse d’efficience des marchés. Les tests classiques (tests de racine uni- taire et d’auto-corrélation), présentent un risque de deuxième espèce très important dans le sens où bien souvent ils ne permettent pas de distinguer une marche aléatoire pure d’un processus comportant une composante transitoire persistante. Fort de ce constat, Lo et Mackinlay développent en 1998 le test du « ratio de variance » dédié spécifiquement à la vérification de l’efficience de marchés. Convaincus de la puissance de ce test, de nom- breux chercheurs vont l’utiliser pour valider la théorie.
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS
principal élément économétrique pour tester l’hypothèse de marche aléatoire. A l’origine, développé parLOet MACKINLAY[1988] spécialement pour vérifier l’hypothèse de marche
aléatoire, il a donné lieu à plusieurs variantes au cours du temps afin de le rendre robuste, ce test est le test le plus utilisé dans les travaux académiques.
• Les rendements
Considérons Pt le prix d’une action, et supposons qu’il suit un mouvement brownien géométrique, de paramètres b etσ, Pt = P0eµt+σBt , tel que : yt = ln(Pt) suit un processus de marche aléatoire. On appelle (rt,1)t≥1la série des log-rendements sur une période, telle que :
rt,1= yt+1− yt (3.2)
Alors :
rt,1=µ + σ(Bt+1− Bt) =⇒ rt,1i .i .d∼ N (µ, σ2)
On appelle (rt,q)(t≥1q>1)la série des log-rendements sur q-périodes, telle que : rt,q= yt+q− yt
Alors :
rt,q= qµ + σ(Bt+q− Bt) =⇒ rt,1i .i .d∼ N (qµ, qσ2)
Ainsi le test de L&M1consiste à vérifier de manière empirique que la variance des ren- dements sur q-périodes est q fois égale à la variance des rendements sur une période.
æ
Test de Lo-Mackinlay (1988)LOet MACKINLAY[1988] développent le test du ratio de variance afin d’en faire un élé- ment économétrique essentiel pour tester l’hypothèse de marche aléatoire, ou de manière équivalente que les log-rendements forment une séquence de différences de martingales (MDS). L’idée du test est que, si le logarithme des cours yt suit un processus de marche
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS aléatoire, alors la variance des différences des yt doit être une fonction linéaire de la pé- riode retenue pour calculer ces différences. Par exemple, la variance des log-rendements annuels doit être égale à douze fois la variance des taux de rentabilité mensuels. Pour un échantillon de rendements de taille T, le ratio de variance est défini par :
VRq= Var (rt,q ) qVar (rt,1)= Var (Pq−1i =0 rt+i,1) qVar (rt,1) (3.3) et pour : t ≥ 1,Var (rt,1) = T−11 PTt=1 ¡ rt,1− µ¢2, etµ =T1PTi =1rt,1.
Ainsi, VRqdevrait être égale à 1 dans le cas où les cours définis par ytsuivent une marche aléatoire.LOet MACKINLAY[1988] montrent que si les rendements rt sont indépendants et identiquement distribués (et sous certaines hypothèses complémentaires), on a :
p
T(VRq− 1) ∼ N (0,2(2q − 1)(q − 1)
3q ) (3.4)
Par conséquent la statistique de test proposée, utilisée pour inférer une marche aléatoire est la suivante : M1(q) = (VRq− 1) µ2(2q − 1)(q − 1) 3qT ¶−1/2 (3.5) Cette statistique suit asymptotiquement une loi normale standard. Les hypothèses sont donc :
H0 : yt suit un processus de marche aléatoire : M1∈ ]−Zα/2;+Zα/2[
H1 : yt ne suit pas un processus de marche aléatoire : M1∈ − ]−∞; −Zα/2] S [+Zα/2;+∞[
L’hypothèse alternative H1évoque le fait que les incréments de yt sont corrélés, po- sitivement ou négativement. Cependant, il se trouve que les rendements rt peuvent être non auto-corrélés et présentent une hétéroscédasticité2. Or, même en présence d’hété- roscédasticité, le rapport des variances devrait toujours être proche de l’unité lorsque le nombre d’observations augmente et n’est pas borné, puisque la variance de la somme des incréments doit être égale à la somme des variances sur chaque incrément, mais la statistique de test, elle, dépendra évidement du degré d’hétéroscédasticité. Dans ce cas
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS
statistique M1on risque de rejeter l’hypothèse H0de marche aléatoire au profit de l’hy- pothèse alternative à tord.
Bien des études ignorent cette caractéristique en inférant directement sur des statis- tiques basées sur les hypothèses standard de normalité. Voilà pourquoiLOet MACKINLAY
[1988] proposent aussi une statistique M2robuste face au cas d’incréments hétéroscédas- tiques : M2(q) = (VRq− 1) Ãq−1 X i =1 µ2(q − i) q ¶2 δi !−1/2 (3.6) où :δi = PT t=i +1(rt,1−µ)2(rt−i,1−µ)2 ¡PT t=1(rt,1−µ)2 ¢2
De même, la statistique M2suit asymptotiquement une loi normale standard. LOet
MACKINLAY[1988] montrent que le test bilatéral est celui qui donne des taux de rejet plus
proches de la valeur nominaleα avec la statistique robuste face à l’hétéroscédasticité.
• Les limites du test de Lo-Mackinlay
Le développement du test deLOet MACKINLAY[1988] s’appuie fortement sur les hy-
pothèses de loi de distributions des statistiques de tests. D’une part, la statistique M1 suppose que le prix d’une action suit un mouvement brownien géométrique, autrement dit que son logarithme est régi par un processus de marche aléatoire, et par conséquent que sa volatilité est constante au cours du temps. Et d’autre part que cette statistique est approximée par sa distribution asymptotique qui est une loi normale centrée-réduite. Or, depuis plus d’une vingtaine d’années maintenant, les travaux d’ENGLE[1982] et deBOL- LERSLEV[1986] ont mis en lumière un défaut majeur de cette modélisation. Soit un phé-
nomène de persistance dans les carrés des log-rendements : bien que les log-rendements des actions soient, a priori, indépendants dans le temps, leurs carrés ne le sont pas. Ce qui traduit une auto-corrélation des volatilités des rendements.
Pour illustrer le phénomène, nous pouvons voir sur les graphiques 3.1les faits sty- lisés : le graphe de gauche présente laFonction d’Auto-Corrélation (FAC) du carré du rendement journalier du S&P500. Sur une période très longue, si nous considérons qu’à l’échelle journalière le niveau du rendement moyen est quasiment nul (en réalité proche de 0.008% pour la période 1928-2014), alors laFACobservée décrit une variance des ren-
CHAPITRE 3. CONVERGENCE OU EFFICIENCE : DÉBAT SUR LA DYNAMIQUE DES COURS DE MARCHÉS BOURSIERS dements autorégressive dans le temps.
(a)FACde r2 t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Retard (lag) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fonction d'autocorrélation
FAC de la série du carré du rendement
journalier du S&P500 : (rt2) depuis 1928
(b) Rendements (rt)
04-Jan-1988 13-Sep-1996 24-May-2005 01-Feb-2014 Dates -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Rendement journalier
Grappes de volatilités sur les rendements du S&P500 Clusters de volatilités