Séries à termes positifs

série de terme général :

w^′_n=

∑

0≤i+j≤n

|u_i| u_j

.

C’est donc le produit des deux séries de termes généraux respectifs|un|et|vn|. Ces deux séries sont convergentes et aussi absolument convergentes puisqu’elles sont à termes po-sitifs. Par la démonstration précédente, c’est une série convergente. Or, on remarque que

∀n∈N, 0≤ |w_n| ≤w^′_n.

D’où, si (Π^′_n)_n∈N dénote la suite des sommes partielles de la série de terme général w^′_n, on a aussi :

∀n∈N, 0≤

∑

n i=0

|w_n| ≤Π^′_n.

Comme ces deux suites sont croissantes et que (Π^′_n)_n∈N est convergente, la suite des sommes partielles de la série de terme général|w_n|est convergente et la série produit est bien absolument convergente.

2.4 Séries à termes positifs

Dans le courant du paragraphe précédent, on a constaté que les séries à termes positifs ont des propriétés particulières. On va maintenant les étudier systématiquement :

2.4.1 Proposition. Soit unune série dont le terme général unest positif ou nul pour tout n∈N. Alors la suite des sommes partielles(sn)_n∈Nest convergente dansR.

Démonstration. La suite des sommes partielles(sn)n∈Nvérifie : s_n−s_n−1=u_n≥0.

Cette suite est donc croissante et donc convergente dansRpar la proposition 2.2.2 Le résultat suivant est essentiel, c’est le théorème de comparaison :

2.4.2 Théorème. On considère deux séries dont les termes généraux u_net v_nsont positifs, (ie. u_n≥0 et v_n≥0 pour tout n∈N). Supposons que pour tout n∈N, on ait : u_n≤v_n. Alors si la série de terme général v_nconverge, la série de terme général u_nconverge et si la série de terme général u_ndiverge, la série de terme général v_ndiverge.

Démonstration. Posons s_n=

∑

n i=0

u_netσn=

∑

n i=0

v_n. L’hypothèse implique que :

∀n∈N, 0≤s_n≤σn.

Si la série de terme général v_n converge, la suite (σn)_n∈N converge donc est bornée. La suite (sn)n∈N est donc aussi bornée et comme elle est croissante, elle converge par la Proposition 2.1.8, ce qui veut bien dire que la série de terme général u_nconverge.

La deuxième propriété est la contraposée de la première donc est vraie également.

Remarque. Ce résultat reste vrai si l’inégalité u_n≤v_nn’est vraie qu’à partir d’un certain rang n0. C’est une conséquence de la remarque signalant que la convergence d’une série ne dépend pas des premiers termes de cette série.

Nous allons étudier des séries particulières, les séries géométriques, qui nous donneront une échelle de comparaison.

2.4.3 Proposition. Soit a,r∈Knon nuls. Pour tout n∈N, on définit u_n=arⁿ. Alors, la série de terme général u_nconverge si et seulement si|r|<1.

Démonstration. On écrit

si r6=1 ,sn=a(1+r+···+rⁿ) =a1−rⁿ⁺¹ 1−r si r=1 ,sn=a(n+1).

La suite a(n+1)

n∈N diverge et la suite

a1−rⁿ⁺¹ 1−r

n∈N

converge si et seulement si

|r|<1.

La série de terme général u_nconverge donc bien si et seulement si|r|<1 et sa somme est égale à a

1−r.

En utilisant ce résultat, on obtient deux tests : 2.4.4 Proposition. Test de Cauchy.

On considère une série à termes positifs un. Posons l=lim sup_n∈N(un)^1/n. Alors : i) l<1⇒la série de terme général u_nconverge

ii) l>1⇒la série de terme général u_ndiverge iii) l=1 on ne peut pas conclure.

Démonstration. i) Supposons l<1. On choisit r∈]l,1[. D’après la proposition 2.2.6 iii), il existe N ∈Ntel que n≥N⇒(un)^1/n<r ou encore u_n<rⁿ.

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 2.4.2 et la proposition 2.4.3 : la série de terme général unconverge.

ii) Supposons l >1. On choisit r∈]1,l[. D’après la proposition 2.2.6 iii), il existe une infinité de valeurs de n tels que(un)^1/n≥r.

Ceci implique que la suite(un)n∈N ne tend pas vers 0 et par la proposition 2.3.6, la série de terme général undiverge.

iii) Supposons l=1. Les deux séries de termes généraux respectifs 1 n et 1

n² vérifient cette condition.

Or la première diverge, car

∑

2n i=0

1 i −

∑

n i=0

1 i =

∑

2n i=n+1

1 i = 1

n+1+···+ 1 2n ≥ n

2n =1 2, et la série de terme général 1

n ne vérifie pas la condition de Cauchy (théorème 2.3.5).

En revanche, la seconde converge car on peut écrire, comme dans l’exemple 2.1.12 : 0≤ 1

n² ≤ 1 n(n−1).

§ 2.4. Séries à termes positifs 29 La série de terme général 1

n(n−1) converge car on a :

∑

n i=2

1 i(i−1)=

∑

n i=2

( 1 i−1−1

i) =1−1 n.

Le théorème de comparaison 2.4.2 permet donc de conclure que la série de terme général 1

n² converge.

Dans le cas où la série de terme général u_n vérifie le i) du test de Cauchy, on a une majoration du reste rn:

2.4.5 Corollaire. On considère une série à termes positifs u_nvérifiant : lim sup

n→∞ (un)¹ⁿ <1

et soit r tel que lim sup_n→∞(un)¹ⁿ <r<1. Alors le reste d’ordre n de cette série vérifie à partir d’un certain rang :

|r_n| ≤

+∞ i=n+1

∑

r^p= rⁿ⁺¹ 1−r.

2.4.6 Exemple. Majoration du reste de la série de terme général u_n= 1 nⁿ.

Cette série vérifie lim sup(un)^1/n=0. Dans ce cas, on peut améliorer l’estimation précé-dente. En effet pour i≥n+1, on a u_i=1

iⁱ < 1

(n+1)ⁱ. D’où par comparaison avec la série géométrique de raison 1

n+1 : r_n≤

∑

∞ i=n+1

1

(n+1)ⁱ = 1 (n+1)ⁿ⁺¹

1 1−n+1¹

= 1

n(n+1)ⁿ. Pour n=4, on obtient : rn≤4.10⁻⁴.

2.4.7 Proposition. Test de d’Alembert.

On considère une série à termes strictement positifs un. i) lim sup

n→∞

u_n+1

u_n <1⇒ la série de terme général u_nconverge ii) lim inf

n→∞

u_n+1

u_n >1⇒ la série de terme général undiverge iii) lim inf

n→∞

u_n+1

un ≤1≤lim sup

n→∞

u_n+1 un

on ne peut pas conclure.

Démonstration. i) Supposons que lim sup

n→∞

u_n+1

u_n <1 et soit r∈Rtel que lim sup

n→∞

u_n+1 un

<r<1.

Alors la proposition 2.2.6 implique qu’il existe N∈Ntel que n≥N⇒ u_n+1

u_n ≤r

D’où, en itérant :

n≥N ⇒u_n+1≤u_Nr^n+1−N =rⁿ⁺¹(u_N r^N).

Le terme u_N

r^N ne dépend pas de n et la série de terme général rⁿ⁺¹converge puisque r<1, (proposition 2.4.3). Le théorème de comparaison 2.4.2 implique que la série de terme général unconverge.

ii) Supposons que lim inf

n→∞

u_n+1

u_n >1 et soit r∈Rtel que lim inf

n→∞

u_n+1 un

>r>1.

Alors la proposition 2.2.7 implique qu’il existe N∈Ntel que n≥N⇒ u_n+1

u_n ≥r.

Ceci implique que la suite des termes généraux (un)n∈N ne tend pas vers 0. La série de terme général u_nne peut donc pas converger d’après la proposition 2.3.6.

iii) Les deux séries de termes généraux respectifs 1 n et 1

n² vérifient cette condition car limu_n+1

u_n =1. Or on a vu dans la proposition 2.4.4 que la première diverge et que la seconde converge.

Dans le cas où la série de terme général u_nvérifie le i) du test de d’Alembert, on a égale-ment une majoration du reste r_n:

2.4.8 Corollaire. On considère une série à termes positifs unvérifiant : lim sup

n→∞

u_n+1 u_n <1 et soit r tel que lim sup

n→∞

u_n+1

u_n <r<1. Alors son reste d’ordre n vérifie à partir d’un certain rang N :

|r_n| ≤(uN

r^N)

+∞

∑

i=n+1

r^p= (uN

r^N)rⁿ⁺¹ 1−r. 2.4.9 Exemple. Calcul approché de e=1+ 1

1!+ 1 2!+ 1

3!+···+ 1 n!+···

On pose un = 1

n! et on a : u_n+1

u_n = 1

n+1. Donc limu_n+1

u_n =0 et dans ce cas, on peut améliorer l’estimation précédente. En effet, pour i≥1, on écrit : u_n+i

u_n+1 ≤( 1

n+1)ⁱ⁻¹et par comparaison avec la série géométrique de raison 1

n+1 : r_n =

∑

∞ i=n+1

1

i! ≤ 1

(n+1)!(1+ 1

n+1+···+ 1

(n+1)ⁱ⁻¹+···)

= 1

(n+1)!

1

1−_n+1¹ = 1 nn!.

§ 2.4. Séries à termes positifs 31 En prenant n=10, on obtient

2,718 281 82<e<2,718 281 83.

Remarque. On verra dans le chapitre 5 sur les séries entières, corollaire 5.1.8, que si la limite de la suite u_n+1

un

existe dansRet vaut l, alors la limite de la suite u^1/n_n existe aussi et vaut l. On en déduit que le test de Cauchy (proposition 2.4.4) est en général plus efficace que le test de d’Alembert (proposition 2.4.7) : théoriquement, il suffit de tester la suite (u^1/nn )_n∈N. Cependant, en pratique, il est souvent plus facile de tester la suite

u_n+1 u_n

n∈N

. Montrons par un contre-exemple que la réciproque de cette propriété est fausse : soit a>0,a6=1.

2.4.10 Proposition. Comparaison avec une intégrale.

Soit f une fonction définie surR⁺, positive et décroissante, telle que lim_t→+∞f(t) =0.

Soit u_n= f(n)pour tout n∈N.

Alors la série de terme général un converge si et seulement si la suite des intégrales _{Z n}

0

f(t)dt

n∈N

converge quand n tend vers+∞.

Démonstration. Puisque f est décroissante :

t∈[i−1,i]⇒u_i= f(i)≤ f(t) et t∈[i,i+1]⇒u_i= f(i)≥ f(t).

On a donc la double inégalité : Z n+1

Comme ces suites sont croissantes, ces deux inégalités prouvent que la suite (sn)n∈N

converge si et seulement si la suite des intégrales _{Z n}

Remarque. Cette proposition est encore vraie si l’intervalle d’intégration[0,+∞[est rem-placé par un intervalle[a,+∞[, avec a>0. Il suffit alors de considérer la série à partir du rang n₀tel que n₀≥a.

Sous les hypothèses de la proposition 2.4.10 et si la série converge, ces inégalités im-pliquent un encadrement du reste :

2.4.11 Corollaire. Sous les hypothèses de la proposition 2.4.10, le reste r_n=

∑

∞ i=n+1

u_i vérifie la double inégalité :

Z _∞

n+1f(t)dt≤rn≤ Z _∞

n

f(t)dt.

2.4.12 Exemple. Valeur approchée de la somme de la série de terme général 1 n². Cette série vérifie les hypothèses de la proposition 2.4.10. En posant f(t) = 1

t² pour tout t>0, on va approcher par défaut la somme s de la série de terme général un= f(n) = 1

n² par :

s^′_n=sn+ Z _∞

n+1f(t)dt=

∑

n i=1

f(i) + Z _∞

n+1f(t)dt=s−rn+ Z _∞

n+1f(t)dt.

D’après le corollaire 2.4.11, cette valeur approchée vérifie : 0≤s−s^′_n=rn−

Z _∞

n+1f(t)dt≤ Z _n+1

n

f(t)dt.

Dans le cas de la série de terme général 1

n², pour n=10, on obtient : 0≤s−s^′₁₀≤

Z ₁₁

10

1

t²dt= 1 110. On verra au chapitre 6 que la série de terme général 1

n² a pour somme π²

6 . Le résultat précédent donne donc une valeur approchée de ce nombre avec une estimation de l’erreur.

La proposition 2.4.10 va permettre d’étoffer l’échelle de comparaison des série à termes positifs :

2.4.13 Exemple. Les séries de Riemann.

Soientα^{>0 et u}n= 1

n^α pour n≥1. La série de terme général unconverge si et seulement siα >1.

On compare la suite des sommes partielles de la série de terme général unà l’intégrale sur l’intervalle[1,n]de la fonction f_α(t) = 1

t^α. Or on peut calculer cette intégrale :

Z _n

1

f_α(t)dt = Z _n

1

1

t^α dt= 1

1−α^{(n1−α−1)si}α₆=1

=ln n siα =1.

Cette suite d’intégrales converge si et seulement siα>1.

§ 2.4. Séries à termes positifs 33 2.4.14 Exemple. Les séries de Bertrand.

Soient α >0 et u_n= 1

n(ln n)^α pour n>1. La série de terme général u_n converge si et seulement siα ^>1.

De la même façon, on compare la suite des sommes partielles de la série de terme général u_nà l’intégrale sur l’intervalle[2,n]de la fonction g_α(t) = 1

t(lnt)^α. On peut calculer cette intégrale :

Z _n

2

g_α(t)dt = Z _n

2

1

t(lnt)^α dt= 1

1−α^{((ln n)1−α−(ln 2)1−α)si}α ₆=1

= (ln ln n−ln ln 2)siα =1.

Cette suite d’intégrales converge si et seulement siα>1.

2.4.15 Proposition. Test des équivalents.

Soient f et g deux fonctions définies positives surR⁺. On définit u_net v_npour tout n∈N, par : un= f(n)et vn=g(n).

Alors, si les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de+∞, les séries de termes généraux respectifs u_net v_nont même nature : la série de terme général u_nconverge si et seulement si la série de terme général vnconverge.

Démonstration. On rappelle que les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de +∞si et seulement si

∀ε>0, ∃A∈R⁺, tel que t≥A⇒ |f(t)−g(t)| ≤εg(t).

Soitε>0 fixé. Si les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de+∞, il existe donc A>0 tel que :

t ≥A⇒(1−ε^)g(t)≤ f(t)≤(1+ε^)g(t).

On en déduit que pour n≥A, on a :

(1−ε)vn≤u_n≤(1+ε)vn. On applique le théorème de comparaison 2.4.2 deux fois :

si la série de terme général v_nconverge la série de terme général u_nconverge et si la série de terme général u_nconverge, la série de terme général v_nconverge.

Ces deux séries ont bien même nature.

2.4.16 Exemple. On considère les séries à termes positifs u_net v_ntelles que u_n=ln(1+ 1

n²)et v_n= 1−cos( ¹

n√ ln n) sin¹_n

pour tout n∈N^⋆. Alors la série de terme général unconverge et la série de terme général v_ndiverge.

Pour la série de terme général un, on remarque que la fonction f définie pour tout t∈R⁺

∗

par f(t) =ln(1+ 1

t²)est équivalente au voisinage de+∞ à la fonction définie par 1 t² et on applique la proposition 2.4.15 et l’exemple 2.4.13.

Pour la série de terme général v_n, on écrit que la fonction g définie pour tout t ∈R⁺

∗ par g(t) =

1−cos( ¹

t√ lnt)

sin¹_t est équivalente au voisinage de+∞à la fonction définie par 1 2t lnt et on applique la proposition 2.4.15 et l’exemple 2.4.14.

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