Corrigé des exercices sur le Chapitre 3

Corrigé de l’exercice 3.1

1) Soit t₀=0<t₁<···<t_n=a une subdivision quelconque du segment[0,a] et pour tout i=0,1, . . .,n−1 soit c_i∈[ti,t_i+1]. Puisque f est intégrable sur[0,a], on a :

Z _a

0

f(t)dt= lim

n→+∞

n−1 i=0

∑

(t_i+1−ti)f(ci).

De plus f(ti)

0≤i≤nest une subdivision du segment[0,f(a)]. Donc si di∈[f(ti),f(ti+1)], on a :

Z f(a) 0

g(t)dt= lim

n→+∞ n−1

i=0

∑

f(ti+1)−f(ti) g(di).

On choisit pour chaque i : c_i=t_i+1et d_i= f(ti). On a alors : Z a

0

f(t)dt+ Z f(a)

0

g(t)dt= lim

n→+∞ n−1

i=0

∑

(ti+1−t_i)f(ti+1) + f(ti+1)−f(ti)

t_i=a f(a).

2) a) Supposons f(α)≤β _≤ ^f(a).

Le raisonnement précédent implique : Z _α

0

f(t)dt+ Z _f(α)

0 g(t)dt=α^f(α).

D’autre part, g étant croissante sur[f(α),β], Z _β

f(α)g(t)dt≥g f(α) Z _β

f(α)

dt=α β₋^f(α) . D’où

Z _α

0

f(t)dt+ Z _β

0

g(t)dt≥α^f(α^{) +}α β−f(α⁾⁼αβ^.

b) Supposons 0≤β ^{< f(}α), on a alorsα ^{> f−1(}β). On démontre le résultat en échan-geant les rôles de f et g.

§ 3.11. Corrigé des exercices sur le Chapitre 3 75 Corrigé de l’exercice 3.2

Soit I_nl’intégrale définie dans l’énoncé.

On remarque d’abord que∀t∈[a,b], e^−nt2 ≤e^−na2. D’où In=

_{Z b}

a

e^−nt2dt ¹_n

≤h e^−na2

i¹_n

(b−a)¹ⁿ =e^−a2(b−a)¹ⁿ. Or(b−a)¹ⁿ tend vers 1 lorsque n→+∞. Donc limn→+∞I_n≤e^−a2.

Pour démontrer l’autre inégalité, on utilise la continuité de la fonction e^−t2 en a : àε>0 donné, on associeα >0 tel que a+α_≤b et pour tout t ∈[a,a+α], e^−t2 ≥e^−a2(1−ε).

Alors : Z b

a

e^−nt2dt≥ Z a+α

a

e^−nt2dt≥(1−ε)ⁿ Z a+α

a

e^−na2dt=α(1−ε)ⁿe^−na2, d’où l’inégalité :

I_n≥α¹ⁿ(1−ε)e^−a2. Commeα¹ⁿ tend vers 1 lorsque n→+∞, on en déduit

n→lim+∞I_n≥(1−ε)e^−a2. Ceci étant vrai pour toutε>0, on en déduit que

n→lim+∞In≥e^−a2.

Corrigé de l’exercice 3.3 On peut prendre F(x) =

Z _x

0

t

cos²tdt que l’on calcule en intégrant par partie en posant : du= dt

cos²t , u=tan t, v=t, dv=dt.

D’où

F(x) = Z x

0

t

cos²tdt=

t tan tx 0−

Z x 0

tan t dt=x tan x+ln |cos|x .

Corrigé de l’exercice 3.4

On distingue les 2 bornes d’intégration : En+∞, la condition surα ^etβ ^estβ−α ^>1.

En 0, la condition surα ^etβ ^estα >−1.

L’ensemble cherché est donc :{(α,β)/α >−1 etβ >1+α_}^. Corrigé de l’exercice 3.5

On vérifie d’abord que toutes les fonctions qui interviennent dans cet exercice sont conti-nues et positives, donc on peut appliquer les théorèmes de comparaison du cours.

1) Supposons a≤0. Alors, t^atend vers 0 ou est égal à 1 (si a=0) lorsque t→+∞donc dans ce cas la fonction 1

1+t^asin²t reste minorée par 1

2 lorsque t→+∞et elle n’est donc pas intégrable sur l’intervalle[0,+∞[.

2) Supposons 0<a≤1. Alors dans ce cas, on peut écrire, pour t∈[0,+∞[: 1

1+t^a ≤ 1

1+t^asin²t ≤1.

Or la fonction 1

1+t^a est équivalente au voisinage de+∞à 1 En effectuant le changement de variable t=nπ+s, on obtient :

un= Z +^π₂

−^π2

ds

1+ (nπ+s)^asin²s.

On va, comme dans les 2 premiers cas, encadrer u_n entre deux intégrales plus simples obtenues en remplaçant(nπ+s)^apar(nπ₋π On peut calculer l’intégrale de Riemann I =

Z ₊^π₂ On en déduit les équivalences suivantes quand n tend vers+∞t :

v_n= π

La série à termes positifs u_nest encadrée par deux séries à termes positifs v_net w_n, qui sont convergentes si et seulement si a>2. La série de terme général u_nest donc convergente si a>2 et divergente si 1<a≤2.

§ 3.11. Corrigé des exercices sur le Chapitre 3 77 a) Pour 1<a≤2, F(nπ+π

2)tend vers+∞lorsque n→+∞et donc F(X)ne peut pas avoir de limite lorsque n→+∞et l’intégrale généralisée diverge.

b) Pour a>2, pour tout X >0, il existe n∈Ntel que : nπ₋π généralisée existe donc bien dans ce cas et sa valeur est la somme de la série de terme général u_n.

Corrigé de l’exercice 3.6

On découpe l’intégrale généralisée en deux, l’une sur[0,+∞[et l’autre sur]−∞,0].

1) Soit X >0, on peut écrire :

f(x)dx=l et l’intégrale généralisée Z _+∞

2) Pour l’intégrale généralisée sur]−∞,0], le même raisonnement permettrait de démon-trer que l’intégrale généralisée

Z _−∞

En rassemblant ces deux résultats, on en déduit donc que l’intégrale généralisée Z _+∞

−∞ f(t+1)−f(t) dt existe et vaut l−l^′.

Corrigé de l’exercice 3.7

L’idée est de construire une fonction, nulle sauf sur de très petits intervalles où elle prend de grandes valeurs. Précisément, on définit f par :

f(n) =n, f(n− 1

f est nulle ailleurs.

On voit facilement que f est continue, positive sur[0,+∞]et que f n’est pas bornée sur [0,+∞[.

En revanche, pour tout X >0, l’intégrale F(X) = Z X

0

f(t)dt est majorée par 1 2

+∞ n=0

∑

1 n². Comme F est une fonction positive croissante, ceci implique que F(X)a une limite finie lorsque X →+∞et donc que l’intégrale généralisée existe.

Chapitre 4

Suites et séries de fonctions

4.1 Convergence simple

On suppose queKest l’un des corpsRouCet que D est une partie non vide deK. 4.1.1 Définition. i) Une suite de fonctions(fn)_n∈N de D dansKest une applica-tion n→ f_ndeNdans l’ensemble des fonctions de D dansK.

ii) Une suite de fonctions(f_n)n∈Nde D dansKconverge simplement vers la fonc-tion f si quelque soit t∈D, la suite numérique fn(t)

n∈Nconverge vers f(t).

On peut reformuler la propriété ii) de la façon suivante :

4.1.2 Proposition. La suite de fonctions(f_n)n∈Nde D dansKconverge simplement vers la fonction f si et seulement si :

∀t∈D, ∀ε>0, ∃N∈Ntel que n≥N⇒ |f_n(t)−f(t)| ≤ε.

4.1.3 Définition. i) Une série de fonctions de terme général u_n de D dans K est un couple formé de deux suites de fonctions définies sur D et à valeurs dans K {(un)_n∈N,(sn)_n∈N}telles que

∀t∈D, ∀n∈N, s_n(t) =

∑

n i=0

u_i(t).

ii) Pour tout n∈N, u_ns’appelle le terme général d’ordre n de la série de fonctions et s_ns’appelle la somme partielle d’ordre n.

iii) Une série de fonctions de terme général u_n, défini sur D, à valeurs dans K converge simplement et a pour somme s si quel que soit t ∈D, la série numérique de terme général u_n(t)converge et a pour somme s(t).

iv) Si la série converge simplement, pour tout t∈D et n∈N, r_n(t) =s(t)−s_n(t) s’appelle le reste d’ordre n de la série de terme général u_n

Comme dans le cas des séries numériques, on a : 4.1.4 Notations. On note s=

+∞

∑

i=0

u_i. Ce qui veut dire :

∀t∈D, s(t) = lim

n→+∞

∑

n i=0

u_i(t).

Si la série de fonctions de terme général u_n converge simplement et a pour somme s, on peut donc écrire :∀t∈D, ∀n∈N,

r_n(t) = lim

k→+∞

∑

k i=0

u_i(t)−

∑

n i=0

u_i(t) = lim

k→+∞

∑

k i=n+1

u_i(t) =

+∞

∑

i=n+1

u_i(t).

La convergence de la série de terme général u_n(t) s’exprime par la convergence de la suite des sommes partielles s_n(t) =

∑

n i=0

u_i(t). On peut donc reformuler la propriété iii) de la définition 4.1.3 en :

4.1.5 Proposition. La série de fonctions de terme général u_nde D dansKconverge sim-plement et a pour somme s si et seulement si,∀t∈D, ∀ε>0, ∃N∈Ntel que :

n≥N⇒ |s_n(t)−s(t)|=

∑

n i=0

u_n(t)−s(t)

=|r_n(t)| ≤ε.

Remarquons que dans ces définitions et propositions sur la convergence simple, l’entier N peut dépendre de t : il n’y a pas en général un entier N qui marche pour tout t ∈D. A cause de cela, la convergence simple des suites ou séries de fonctions ne transmet pas, en général, les propriétés de la suite à sa limite ou de la série à sa somme.

Donnons des exemples :

4.1.6 Exemple. i) La suite de fonctions continues définie pour tout t∈[0,1]par f_n(t) =tⁿ,

converge simplement vers la fonction discontinue f telle que : f(t) =0 si t∈[0,1[

f(1) =1.

ii) La série de fonctions continues définie pour tout t ∈[0,π

2], de terme général u_n(t) =sin²t cosⁿt,

converge simplement et a pour somme la fonction s, discontinue en 0, telle que :







s(t) = sin²t

1−cos t si t∈]0,π 2] s(0) =0.

4.1.7 Exemple. i) La suite de fonctions dérivables définie pour n≥1 et pour t∈[0,π/2]par

f_n(t) =sin nt

√n , converge simplement vers la fonction 0.

Par contre la suites des dérivées

f_n^′(t) =n cos nt

√n =√

n cos nt,

§ 4.2. Convergence uniforme 81

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