Corrigé des exercices sur le Chapitre 5

s_n=

∑

n p=1

1 p.

1) Trouver le rayon de convergence de la série entière de terme général s_ntⁿ. 2) En faisant apparaître cette série comme produit de 2 séries, calculer sa somme.

5.4 Exercice. On considère une série entière de terme général a_ntⁿ, de rayon de converge R >0, et de somme s. On suppose que s est une solution de l’équation différentielle (1+t²)f^′′(t) =2 f(t).

1) Établir une relation liant pour chaque n∈Nles coefficients a_net a_n+2. 2) Déterminer la valeur de a₄puis de a_2p pour tout p>2.

3) On suppose désormais que s(0) =0 et s^′(0) =1. Calculer a₀, a₂et la valeur de a_2p+1 pour p∈N.

4) Montrer que la série une série entière de terme général antⁿconverge normalement sur l’intervalle[−1,+1]. Quel est son rayon de convergence ?

5) Posons g(0) =0 et g(t) = s^′(t)−1

t pour t6=0. Calculer la dérivée g^′de g (on trouvera une fraction rationnelle simple).

6) Déduire de 5) une expression explicite de la fonction s.

5.5 Exercice. Soit α >−1. En utilisant une intégration terme à terme sur [0,x], pour 0<x<1 et un passage à la limite lorsque x→1, trouver une série numérique dont la somme vaut :

Z 1 0

t^α

√1−t⁴dt.

5.6 Exercice. On pose

f(t,x) = x sin t 1−2x cos t+x². 1) Développer f en série entière selon les puissances de x.

2) Calculer :

Z _π

0

f(t,x)dt.

5.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5

Corrigé de l’exercice 5.1

Les séries entières de termes généraux : an²tⁿ, bntⁿ, ctⁿont toutes les trois un rayon de convergence égal à 1. Donc le rayon de convergence de la série de terme général un(t)a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1. Ce rayon de convergence est égal à 1 car la série obtenue pour t=1, c’est-à-dire la série de terme général an²+bn+c diverge.

Pour|t|<1, on a :

∑

∞ n=0

tⁿ = 1 1−t

∑

∞ n=0

ntⁿ = t (1−t)²

∑

∞ n=0

n²tⁿ =

∑

∞ n=0

ntⁿ+

∑

∞ n=0

n(n−1)tⁿ=t 1

(1−t)²+ 2t (1−t)³

.

La somme de la série en tiére de terme général u_n(t)est donc s(t) =at(1+t)

(1−t)³ + bt

(1−t)²+ c 1−t. Corrigé de l’exercice 5.2

1) 1+2 j+3 j²=1−1+i√ 3−3

2−3i√ 3 2 =−3

2−i√ 3

2 =i j√ 3.

2) On poseα=1+2 j+3 j²=i j√

3. Le rayon de convergence de la série entiére de terme général u_n(t) =1

n(1+2 j+3 j²)ⁿtⁿ= 1 n(i j√

3)ⁿtⁿest donc 1

√3. 3) On a :

sn(t) =

∑

n p=1

α^ptp p . On en déduit :

s^′_n(t) =

∑

n p=1

α^ptp−1=α¹⁻α^ntn 1−αt . D’où

s_n(x) =α^{Z x}

0

1

1−αtdt−α^{n+1Z x}

0

tⁿ 1−αtdt.

Etudions le deuxième terme :|x|< 1

√3étant fixé, le terme 1

1−α^t est borné sur l’intervalle d’intégration. Soit M une borne. Alors

α^{n+1Z x}

0

tⁿ

1−α^{t ≤M|} α^x_|ⁿ⁺¹

n+1 ≤M 1 n+1. Ce terme tend donc vers 0 lorsque n→∞. On en déduit :

s(x) = lim

n→∞s_n(x) =α^{Z x}

0

1 1−α^tdt.

Corrigé de l’exercice 5.3

1) On a : 1≤s_n≤n. Les rayons de convergence des séries entières de termes généraux tⁿ et ntⁿsont 1, donc il en est de même de celui de la série entière de terme général s_ntⁿ. 2) On écrit : s_ntⁿ=

∑

n p=1

t^p

pt^n−p et cette série entière est donc bien le produit des séries entières de termes généraux tⁿ

n et tⁿ, dont les sommes respectives sont : −ln(1−t) et 1

1−t pour|t|<1. Donc, pour|t|<1 : s(t) =

∑

∞ n=1

s_ntⁿ=−ln(1−t) 1−t .

§ 5.8. Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 115 Corrigé de l’exercice 5.4

1) On écrit :

(1+t²)

∑

∞ n=0

n(n−1)antⁿ⁻²=2

∑

∞ n=0

a_ntⁿ, ou encore, en posant p=n−2 dans la première somme :

∑

∞ p=0

(p+2)(p+1)ap+2t^p+

∑

∞ n=0

n(n−1)antⁿ=2

∑

∞ n=0

antⁿ. En rassemblant les termes de même degré, on obtient :

(n+1)(n+2)an+2= (2−n(n−1))a_n=−(n+1)(n−2)an, c’est-à-dire

(n+2)an+2=−(n−2)an.

2) En prenant n=2, on trouve a₄=0 donc aussi a_2p=0 pour tout p>2.

3) Les conditions s(0) =0 et s^′(0) =1 impliquent a₀=0 et a₁=1 donc aussi a₂=0. La valeur de a_2p+1pour p∈Nse calcule par récurrence à partir de a₁:

pour n=1, a₃= 1 3 pour n=3, a₅=−1

5a₃=− 1 3×5

Supposons que jusqu’à l’ordre 2p−1, pour p≥2 on ait : a2p−1= (−1)^p

(2p−1)(2p−3), alors on obtient : a_2p+1=−2p−3

2p+1

(−1)^p

(2p−1)(2p−3)= (−1)^p+1 (2p+1)(2p−1)

La formule est vérifiée à l’ordre 2p+1 et donc la récurrence est bien vérifiée et on a : s(t) =

∑

∞ p=0

(−1)^p+1t^2p+1 (2p−1)(2p+1).

4) La série entiére de terme général a_ntⁿ est majorée sur[−1,+1]par la série numérique de terme général 1

(n+1)(n−1) qui est une série convergente. La série entiére de terme général a_ntⁿconverge donc normalement sur l’intervalle[−1,+1].

Son rayon de convergence est 1 puisque a_n+2

a_n →1 lorsque n→+∞.

5) En dérivant terme à terme la somme de la série entiére de terme général sn(t), on peut développer la fonction g(t) =s^′(t)−1

t pour t ∈[−1,+1], t6=0, soit : g(t) = ∑^∞_p=0⁽⁻_(2p^1)p+1₋₁₎^t2p−1

t =

∑

∞ p=1

(−1)^p+1t^2p−1 2p−1 . D’où en dérivant terme à terme :

g^′(t) =

∑

∞ p=0

(−1)^pt^2p= 1 1+t².

En intégrant, on trouve, avec la condition g(0) =0, g(t) =arctan t.

6) On en déduit que la fonction s peut s’écrire : s(x) =

Z _x

0

t arctan t dt+x.

Corrigé de l’exercice 5.5 Pour|u|<1, on a

√ 1

1−u =

∑

∞ n=0

anuⁿ, où an= 1.3. . .(2n−1)

2.4. . .(2n) =C_2nⁿ

2²ⁿ. On en déduit, pour|t|<1 : t^α

√1−t⁴ =

∑

∞ n=0

ant^4n+α.

Soit x∈ [0,1[ fixé. La série entiére de terme général ant^4n+α converge normalement sur [0,x] puisqu’elle est dominée par la série numérique de terme général a_nx^4n+α qui converge. On peut donc l’intégrer terme à terme sur[0,x], soit :

Z _x

0

t^α

√1−t⁴dt=

∑

∞ n=0

Z _x

0

a_nt^4n+αdt=

∑

∞ n=0

a_n x^4n+α+1 4n+α+1. Posons, pour x∈[0,1[

f(x) = Z x

0

t^α

√1−t⁴dt, g(x) =

∑

∞ n=0

an

x^4n+α+1 4n+α+1. On vient de démontrer que pour tout x∈[0,1[, f(x) =g(x). Il est clair que

xlim→1f(x) = Z ₁

0

t^α

√1−t⁴dt.

Il suffit donc de calculer lim_x→1g(x). Comme g(x)est la somme d’une série de fonctions continues sur[0,1], il suffit de montrer que la série est normalement convergente sur cet intervalle, pour obtenir l’égalité limx→1g(x) =g(1). Pour cela, montrons que la série de terme général b_n= a_n

4n+α+1 qui domine la série entiére de terme général a_n x^4n+α+1 4n+α+1 sur[0,1], est convergente.

On a :

b_n

b_n−1 = 2n−1 2n

4n+α₋³ 4n+α^{+1 =1−}

3

2n+o( 1 n²).

Ce quotient tend vers 1 lorsque n→∞, on est donc dans le cas où le test de d’Alembert ne permet pas de conclure.

On va donc comparer cette série avec la série de terme général c_n= 1

n^q, avec 1<q< 3 2, qui est convergente.

On a : cn

c_n−1 =1−q

n+o(1 n²)

§ 5.8. Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 117

Donc c_n

cn−1− b_n

bn−1 ∼ⁿ→∞ (³₂−q)

n .

On en déduit que, à partir d’un certain rang, on a : c_n

c_n−1 ≥ b_n

b_n−1, ce qui, de proche en proche, implique que bn≤ b1

c₁cn.

Comme la série de terme général cn converge, la série de terme général bnconverge éga-lement.

On en déduit que la fonction g est continue sur[0,1]et par suite : g(1) =

Z 1 0

t^α

√1−t⁴dt=

∑

∞ n=0

a_n 4n+α⁺¹

=

∑

∞ n=0

C_2nⁿ

2²ⁿ(4n+α^+1). Corrigé de l’exercice 5.6

1) On a

f(t,x) = x sin t

1−2x cos t+x² = 1 2i

1

1−xe^it − 1 1−xe^−it

.

Donc, pour|x|<1,

f(t,x) = 1 2i

∑

∞ n=0

xⁿ e^nit−e^−nit

=

∑

∞ n=0

xⁿsin nt.

2) Soit |x|<1 fixé. La série de fonctions de terme général u_n(t) =xⁿsin nt est norma-lement convergente sur le domaine t ∈[0,π]car elle est dominée par la série numérique convergente de terme général xⁿ.

On peut donc l’intégrer terme à terme sur[0,π^{], soit :} g(x) =

Z _π

0

f(t,x)dt=

∑

∞ n=0

Z _π

0

xⁿsin nt dt

=

∑

∞ n=0

xⁿh

−cos nt n

iπ 0 =2

∑

∞ m=0

x^2m+1

2m+1 =2 argth x.

Chapitre 6

Séries trigonométriques

6.1 Définitions et convergence

Comme les séries entières, les séries trigonométriques sont des séries de fonctions d’une variable réelle t, d’une forme particulière.

6.1.1 Définition. Soient(an)n∈Net(bn)n∈Ndeux suites de scalaires, réels ou complexes.

Une série trigonométrique est une série de fonctions de terme général : u_n(t) =a_ncos nt+b_nsin nt.

Puisque sin 0=0, on peut supposer que b₀=0.

En utilisant les fonctions e^intet e^−int, on a une autre représentation de ces séries : 6.1.2 Proposition. Le terme général d’une série trigonométrique s’écrit :

u₀(t) =c₀et∀n>1, u_n(t) =c_ne^int+c_−ne^−int, où

c₀=a₀et∀n>1, cn= an−ibn

2 , c₋n= an+ibn

2 .

Démonstration. On écrit e^int =cos nt+i sin nt et e^−int =cos nt−i sin nt. D’où en rem-plaçant : c_n+c_−n=a_net c_n−c_−n=−ib_n.

Nous utiliserons plutôt l’écriture exponentielle qui donne des calculs plus simples.

6.1.3 Notations. Nous conviendrons de noter

(cne^int+c₋ne^−int), une série trigonométrique définie par son terme général :

u₀(t) =c₀et∀n>1, u_n(t) =c_ne^int+c_−ne^−int.

Il faut remarquer que l’entier n=0 ne joue pas le même rôle que les autres entiers.

Dans les chapitres précédents, nous avons déjà rencontré des cas de convergence des séries trigonométriques :

6.1.4 Proposition. i) Si les séries numériques de terme général c_n et c_−n sont absolument convergentes, la série trigonométrique de terme général (cne^int+c₋ne^−int) est uniformément convergente surR.

ii) Si les suites(cn)n>1et(c₋n)n>1 sont positives décroissantes et si elles conver-gent vers 0, la série trigonométrique de terme général(cne^int+c₋ne^−int)converge unifor-mément sur tout intervalle de la forme[2kπ+α,2(k+1)π₋α], où k∈Zet 0<α <π^. Démonstration. i) Si les séries numériques de termes généraux c_net c_−nsont absolument convergentes, on écrit :

∀n>1, ∀t∈R, |u_n(t)| ≤ |c_n|+|c_−n|.

La série de terme général unest donc normalement convergente surRet donc uniformé-ment convergente surRpar la proposition 4.2.10.

ii) On va utiliser la transformation d’Abel (théorème 2.5.1 et corollaire 2.5.5) : On commence par majorer pour tout n∈N, les termes

An(t) =

∑

n j=0

e^{i jt} et An(−t) =

∑

n j=0

e^{−i jt},

sur l’intervalle[2kπ+α,2(k+1)π₋α]où k∈Zet 0<α <π sont fixés : A_n(t) =

∑

n j=0

e^{i jt} =1−e^i(n+1)t

1−e^it = e^{in+12 t} e^i2t

sin(n+1)₂^t sin₂^t . On en déduit que pour t∈[2kπ+α,2(k+1)π₋α],

|A_n(t)| ≤ 1 sin₂^t

≤ 1 sin^α₂

.

De la même façon, on obtient aussi :∀t∈[2kπ+α,2(k+1)π₋α],

|An(−t)| ≤ 1 sin^α₂

.

On vérifie le critère de Cauchy uniforme (4.2.7) pour la suite des sommes partielles (sn)_n∈Nde la série de terme général u_n, en écrivant :∀t∈[2kπ+α,2(k+1)π₋α],

s_q(t)−s_p−1(t) =

∑

q n=p

u_n(t) =

∑

q n=p

c_ne^int+c_−ne^−int

=

∑

q n=p

[(An−A_n−1)(t)cn+ (An−A_n−1)(−t)c₋n]

=

∑

q n=p

[An(t)cn+A_n(−t)c₋n]−

∑

q n=p

[An−1(t)cn+A_n−1(−t)c₋n]

=A_q(t)cq+A_q(−t)c₋q−A_p−1(t)cp−A_p−1(−t)c₋p

+

q−1 n=p

∑

[An(t)(cn−c_n+1)] +

q−1 n=p

∑

A_n(−t)(c₋n−c_−(n+1)) .

§ 6.1. Définitions et convergence 121

Ce dernier terme tend vers 0 par hypothèse. La suite des sommes partielles de la série de terme général un est uniformément de Cauchy sur l’intervalle[2kπ⁺α^,2(k+1)π−α^] et donc convergente, ce qui veut bien dire que la série de terme général u_n converge uniformément sur cet intervalle.

Les résultats de la proposition 6.1.4 ont des analogues pour la représentation des séries trigonométriques avec les fonctions cos nt et sin nt :

6.1.5 Proposition. i) Si les séries numériques de termes généraux an et bn sont absolument convergentes, la série trigonométrique de terme général(ancos nt+b_nsin nt) est uniformément convergente surR.

ii) Si les suites(an)_n>1et(bn)_n>1sont positives décroissantes et si elles convergent vers 0, la série trigonométrique de terme général (ancos nt+b_nsin nt)converge unifor-mément sur tout intervalle de la forme[2kπ+α,2(k+1)π₋α], où k∈Zet 0<α <π^. 6.1.6 Exemple. i) Les séries de termes généraux sin nt

n² et cos nt

n² sont uniformé-ment convergentes surR.

ii) La série de terme général cos nt

n converge uniformément sur tous les intervalles de la forme [2kπ⁺α^,2(k+1)π−α^{], 0<}α ^<π. Elle converge donc simplement sur R−2π^Z. On vérifie aisément qu’elle ne converge pas simplement surRtout entier, voir par exemple en t =0.

iii) La série de terme général sin nt

n converge uniformément sur tous les intervalles de la forme [2kπ+α,2(k+1)π₋α], 0<α <π. Elle converge donc simplement sur R−2π^Z. On vérifie aisément qu’elle converge simplement surRtout entier.

6.1.7 Proposition. (Série trigonométrique associée à une série entière)

On considère une série entière de terme général a_nzⁿet de rayon de convergence R. Alors pour tout r<R, la série trigonométrique de terme général a_nrⁿe^intconverge normalement surR.

Démonstration. Par définition du rayon de convergence d’une série entière, pour r<R, la série numérique de terme général a_nrⁿest absolument convergente (théorème 5.1.2).

Or pour tout n∈N,

anrⁿe^int

≤ |an|rⁿ. Donc la série trigonométrique de terme général a_nrⁿe^int est dominée sur Ren module par une série numérique convergente et par suite elle est bien normalement convergente surR.

6.1.8 Exemple. Pour |z|<1, nous avons : 1+z

1−z =1+2

+∞

∑

n=1

zⁿ. Donc pour r <1, on obtient :

∀t∈R, 1+re^it

1−re^it =1+2

+∞

∑

n=1

rⁿe^int.

En prenant les parties réelles et imaginaires dans cette dernière égalité, on trouve des identités remarquables, vraies pour r<1 :

∀t∈R, ℜe

1+re^it 1−re^it

= 1−r²

1+r²−2r cos t =1+2

+∞ n=1

∑

rⁿcos nt,

∀t∈R, ℑm

1+re^it 1−re^it

= 2r sint

1+r²−2r cos t =2

+∞

∑

n=1

rⁿsin nt.

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