Séries et familles sommables dans les espaces normés de dimension finie

PROPOSITIONIII.5.6.

Soit(x_i)_i∈Iune famille d’éléments d’un espace normé de dimension finie surK. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. La famille(x_i)_i∈Iest absolument sommable.

2. La famille(x_i)_i∈Iest sommable.

3. L’ensemble des sommes finies de

x

_iest borné.

4. Si

I

=N_{, la série}(x_n)_n∈Nest commutativement convergente.

Démonstration. D’après le Théorème III.5.1, page 66 et la Proposition III.3.10, page 57, on voit qu’il suffit de faire la démonstration lorsqueE=Kpuis lorsqueE=R. Les implication 1.⇒2. et 2.⇒3. sont évidentes, montrons donc que 3.⇒1. Par hypothèse, il existe deux réels positifsαetβtels que, pour toute partie finieKdeIon a−α≤

∑

i∈K

xi≤β. Si, pour toutxion posexi=x⁺_i −x⁻_i avec x⁺_i =xisixi≥0,x⁺_i =0sinon, on a

∑

i∈K

x⁺_i ≤βet

∑

i∈K

x⁻_i ≤α, ce qui implique que les familles(x⁺_i )i∈Iet(x⁻_i )i∈Isont sommables, ce qui donne 1. Dans le cas oùI=N, l’équivalence des trois premières propriétés avec la quatrième résulte du Théorème III.3.2, page 58.

COROLL AIRE.

Si

E

est de dimension finie,

l

¹_I(E)(Définition III.3.6, page 58) est l’espace des familles sommables dans

E

in-dexées sur

I

.

PROPOSITIONIII.5.7.

Soit(x_n)_n∈Nune suite de nombres réels telle que la série∑

x

_nsoit convergente mais pas absolument conver-gente. Alors, pour tout réelαil existe une bijectionσdeNtelle que la série∑

x

_σ(n)soit convergente de somme α.

Démonstration. Esquissons simplement la preuve. En écrivantxn=x⁺_n −x⁻_n, comme dans la démonstration précédente, l’hypo-thèse entraîne que les suites(x⁺_n)et(x⁻_n)tendent vers zéro et que les séries∑x⁺_n et∑x⁻_n sont divergentes. On définit alors la bijectionσde la manière suivante : on prend tout d’abord les premiersxn, tels quexn≥0,x_σ(i),1≤i≤i₁, de sorte que

i1

i=1

∑

x_σ(i)≥α

et i1−1

∑

i=1

x_σ(i)<α, ce qui est possible d’après ce qui précède. Puis on prends les premiersxn, tels quexn<0,x_σ(i),i1≤i≤i2, de sorte que

i₂

∑

i=1

x_σ(i)≤αet i₂−1

∑

i=1

x_σ(i)>α, ce qui est encore une fois possible. Et ainsi de suite. Le fait que les suites(x⁺_n)et(x⁻_n)tendent vers zéro permet alors de conclure.

Exercices

Exercice III.1.

SoitEunK- espace vectoriel normé. Montrer que :

1. Siλ∈K\ {0}et siA⊆Eest fermé (resp. ouvert, compact, connexe)λAest fermé (resp. ouvert, compact, connexe).

2. SiAest une partie quelconque deEetBest un ouvert deE,A+Best ouvert.

3. SiAetBsont deux compacts ( resp. connexes ) deE,A+Best compact ( resp. connexe ).

4. SiAest un compact deE,Bun fermé deE,A+Best fermé. ( Cette propriété reste-t-elle vraie siAetBsont fermés ?) . Exercice III.2.

Montrer que dans un espace normé, l’adhérence de toute boule ouverteB(a,r)est la boule ferméeB(a,r)¯ et que toute boule ouverte est homéomorphe àE.

Exercice III.3.

Cet exercice est à traiter sans utiliser la norme d’opérateur continu. SoitE=Mn(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels. PourX∈Rⁿ, on posekXk=

n

∑

i=1

X_i²

!¹₂

et pourA∈E,kAk_E= sup

kXk=1

kA(X)k. 1. Montrer quek.k_Eest une norme surEet que l’on a aussi

kAk_E= sup

kXk≤1

kA(X)k=sup

X6=0

1

kXkkA(X)k

et pour toutX∈Rⁿ,kA(X)k ≤ kAk_EkXket enfin,kABk_E≤ kAk_EkBk_E.

2. PourA= (ai j)∈E, on poseϕ(A) =max(|ai j|; 1≤i,j≤n). Montrer queϕ etk.k_E sont des normes équivalentes et que (E,k.k_E)est complet.

3. PourA∈E, montrer que la série∑ 1

n!Aⁿest convergente ( convention :A⁰est la matrice unité).

Exercice III.4.

Sur l’espaceC[X]des polynômes à coefficients complexes, on pose, pourP=∑ⁿ_k=0akx^k,

kPk_∞=sup

k

|a_k|;kPk₁=

n

∑

k=0

|a_k|;kPk₂=

n

∑

k=0

|a_k|²

!¹₂

Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que(C[X],k.k_∞)n’est pas complet.

Exercice III.5.

1. Montrer que tout sous espace vectoriel strict d’un espace normé est d’intérieur vide. Que dire d’un sous espace borné ? 2. Montrer que siEest un espace de Banach de dimension infinie, sa dimension ne peut être dénombrable.

Exercice III.6.

1. Soitfetgdeux fonctions de[0,1]dansR,fde classeC¹etgcontinue. On suppose quef+f⁰=g. Exprimerfen fonction deg(à l’aide d’une intégrale).

2. SoitEl’ espace des fonctions de classeC¹sur l’intervalle[0,1]nulles en0. Siu∈E, on posekuk=|u(0)|+ sup

x∈[0,1]

|u⁰(x)|et N(u) = sup

x∈[0,1]

|u(x) +u⁰(x)|. Démontrer que les deux applications précédentes sont des normes équivalentes (utiliser 1. pour l’équivalence).

Exercice III.7.

Soitω:[0,1]→R⁺une application continue. Pour toute fonction continuefsur[0,1], à valeurs dansR, on poseΦ(f) =^R₀¹|f(x)|ω(x)dx. 1. Démontrer queΦest une semi-norme sur l’espaceC⁰([0,1],R).

2. Démontrer queΦest une norme si et seulement si l’ensemble des zéros deωest d’intérieur vide.

Exercice III.8.

Les espacesl^pont été définis en cours.

1. Soitpetqtels que1≤p<q≤+∞, montrer d’abord que six= (xn)∈l^p, alorsx∈l^∞et qu’on akxk_∞≤ kxk_ppuis quex∈l^q et qu’on akxk_q≤ kxk_p.

2. b)ω= (ωn)ndésigne une suite de nombres réelsstrictementpositifs. On posel^p(ω) ={x= (xn)t.q.

+∞

∑

n=0

|xn|^pωn<∞}. Dé-montrer quel^p(ω)est un espase vectoriel normé par l’applicationx7−→(

+∞

1. Démontrer qu’une famille(a_i)_i∈Ide nombres réels positifs ou nuls est sommable si et seulement si l’ensemble des sommes finies{

∑

i∈J

ai;Jfinie⊆I}est majoré.

2. Soit(x_i)_i∈I une famille de nombres réels. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i) La famille(x_i)_i∈I est absolument sommable ; ii) Cette famille est sommable ; iii) L’ensemble des sommes finies est borné.

3. Soit(xi)i∈I une famille de nombres complexes ; On suppose queIest une réuniondisjointe:I= ^[

l∈L

est aussi sommable. Démontrer que la famille(x_i)_i∈Iest sommable et que

4. Application. Soit(apq)_(p,q)∈N2une famille de nombres complexes (« série double »). On suppose que les séries

∑

q

|apq|sont convergentes pour toutpet que la série

∑

p +∞

∑

q=0

|apq|est aussi convergente. Démontrer que les séries

∑

p

Soitz0un point deD. Montrer que l’applicationu7−→f(z₀+u)est développable en série entière de la variableuet que le rayon de convergence est au moinsR− |z0|.

Exercice III.11.

Ecrire le développement en série entière de la fonctionf:C→C;f(z) =exp(expz)). Exercice III.12.

SoitEun espace de Banach etIun ensemble quelconque. Démontrer que l’espacel^p(I,E)est complet (p≥1). Exercice III.13.

SoitE=R[X]l’ensemble des polynômes à coeefficients réels. On définitkPk= sup

x∈[0,1]

|P(x)|.

1. Démontrer que l’applicationk.kest une norme surE. Dans les questions suivantes,Eest muni de cette norme.

2. Soitcun réel≥0etLl’application deE dansRdéfinie parL(P) =P(c). Démontrer queLest linéaire et continue si et seulement sic∈[0,1]. Calculer la norme deLlorsqueLest continue.

3. L’applicationP7→P⁰est elle continue surE? Exercice III.14.

k!. Montrer queT est linéaire continue et calculer la norme deT(l^∞est muni de sa norme usuelle).

Exercice III.16.

Soituune application linéaire deRⁿdans lui-même etAla matrice deudans la base canonique deRⁿ. On munitRⁿde la norme k.k_∞. L’applicationuest elle continue ? Déterminer la norme deuen fonction des coefficients de la matriceA.

Exercice III.17.

SoitEl’espace des fonctions continues de[0,π]dansR, muni de la norme de la convergence uniforme. On désigne parϕ un élément fixé deEet parTl’application deEdansRdéfinie par :

T(f) = Z_π

0 f(x)ϕ(x)dx 1. Démontrer queTest linéaire continue.

2. Calculer la norme deTlorsqueϕest≥0.

3. Calculer la norme deTlorsqueϕest la fonctionx7−→ϕ(x) =cosx. Exercice III.18.

SoitE=c0muni de sa norme usuelle et soitλ = (λ_n)_nune suite bornée de nombres complexes telle queλn6=0pour toutn∈N. On poseT_λ(a) = (λnan)n;a= (an)∈c0.

1. Démontrer queTest une application linéaire continue dec0dans lui-même.

2. Déterminer la norme deT_λ. 3. Montrer queT_λest injective.

4. Etablir une condition nécessaire et suffisante portant surλpour queT_λsoit surjective.

5. Prouver que l’image deT_λest toujours dense dansc0. Exercice III.19.

SoientEetFdeux espaces de Banach etTune application linéaire deEdansF. On suppose que pour toute forme linéaire continue y⁰appartenant au dual topologiqueF⁰deF, l’applicationy⁰◦Test continue. Démontrer que l’applicationTest continue.

Exercice III.20.

kϕk . Quel résultat bien connu retrouve-t-on, dans le cas oùEest l’espaceR²ou l’espaceR³muni de la norme euclidienne ?

Exercice III.22. application est une isométrie surjective. Quel est dans le raisonnement l’argument qui ne convient pas dans le cas del^∞?

Exercice III.23.

Soit une suite(αn)de nombres complexes telle que la série∑αnξnconverge pour toute suite(ξn)appartenant àc0. Démontrer que la série∑|αn|est convergente.Indication: Considérer les formes linéairesLn:c07−→Cdéfinies parLn(ξ) =

n

∑

k=0

αkξk; déterminer leurs normes et conclure en utilisant l’éxercice précédent et le théorème de Banach-Steinhaus.

Exercice III.24.

SoitKun entier fixé etEKl’espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré≤K. Démontrer qu’il existe deux constantes réellesαetβstrictement positives telles que :∀P=

K

Soitkun entier etSune partie bornée deCde cardinal>k. On suppose que(Pn)nest une suite de fonctions polynômes à coeffi-cients complexes de degré≤kqui converge uniformément surSvers une fonctionf. Démontrer quefest la restriction àSd’une fonction polynôme de degré≤k.

Exercice III.26.

EetFsont deux espaces normés etT un opérateur linéaire deEdansF. On dit queTest compact si l’image de la boule unité fermée deEest relativement compacte dansF.

1. Démontrer qu’un opérateur compact est continu. L’identité deEpeut elle être compacte ? 2. Démontrer que siTest continu et si la dimension deT(E)est finie,Test compact.

3. On supposeEcomplet. Démontrer que si une suite(T_n)d’opérateurs compacts converge vers un élémentT dans l’espace L(E), alorsTest compact (on pourra penser à la précompacité).

4. SoitE=C([0,1],C)muni de la norme de la convergence uniforme. SoitKune fonction continue de[0,1]×[0,1]dansCet pourf∈E,T(f)la fonction définie sur[0,1]par

T(f)(x) = Z1

0

K(x,t)f(t)dt.

(a) Montrer queTest une application linéaire continue deEdansE. (b) Montrer que siKest un polynôme,Test compact.

(c) En utilisant le théorème de Stone-Weierstrass, montrer queTest compact.

Exercice III.27.

SoientE,F,Gtrois espaces normés,EouFétant complet. On considère une application bilinéairefdeE×FdansG. Démontrer quefest continue si et seulement si pour tout élément(x₀,y₀)∈E×Fles applicationsfx0:y7→f(x₀,y)etfy0:x7→f(x,y₀)sont continues (On pourra utiliser le théorème de Banach-Steinhauss).

C ^C HAPITRE ^HAPITRE IV IV

ESPACES DE

HILBERT

D

^Ans ce chapitre, comme dans le précédent,Kdésigne soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes.

ξ7→ξ¯désigne l’automorphisme identique deKlorsqueK=Ret la conjugaison complexe lorsqueK=C.

SECTION IV.1

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