Espaces métriques compacts

Définition II.8.2.

Soit

E

un espace métrique. On dit que

E

estprécompactsi,∀ε>0, il existe un recouvrement fini de

E

par des ensembles de diamètre<ε. En d’autres termes, s’il existe un sous-ensemble fini

F

de

E

tel que

d(x,F

)<εpour tout

x

∈

E

.

PROPOSITIONII.8.8.

Tout espace métrique précompact est borné et séparable.

Démonstration. En effet, siEest précompact, il est clairement borné, et, pour toutn∈N^∗, il existe une partie finieAndeEtelle que∀x∈E,d(x,An)<1/n. SiA=^[

n

An, on ad(x,A) =0∀x∈E, ce qui signifie queA¯=E.

Remarque II.8.2. La Proposition précédente montre que tout espace métrique précompact admet une base dénombrable pour sa topologie. Réciproquement :

PROPOSITIONII.8.9.

Tout espace topologique compact admettant une base dénombrable d’ouverts est métrisable.

Démonstration. SoitUn,n≥1, une base dénombrable d’ouverts d’un espace topologique compactE, et notons∆la diagonale deE×E. Tout voisinage d’un point de∆contient un voisinage de la formeUn×Un, et, comme∆est compact, tout voisinage de∆contient une réunion finie d’ensemble de la formeUn×Un. Les réunions finies de ces ensembles forment donc un système fondamentalVn,n≥1, de voisinages ouverts de∆. Remarquons de plus que lesVnsont symétriques (dans le sens où(x,y)∈Vn équivaut à(y,x)∈Vn), et, quitte à les remplacer par lesVn+1∩Vn, on peut supposer la suiteVn décroissante. De plus,∆étant compact, il possède une base de voisinages compacts (Proposition II.8.2, page 31), et, on peut supposer aussiV¯n+1⊂Vn.

Remarquons maintenant que six∈Eet siV(x)est un voisinage dex, alors il existem≥1tel que(x,y)∈Vmimpliquey∈V(x): en effet, dans le cas contraire, les ensembles{ytels que(x,y)∈V¯} ∩(E\V(x)}formeraient une suite décroissante de compacts non vides, donc d’intersection non vide„ et il existeraity∈E\V(x)tel que(x,y)∈V¯mpour toutmce qui est absurde.

Pourkentier, notonsV^km={(x,y)∈E×Etels que∃zi∈E,1≤i≤k,tels quez1=x,z_k=y,et(zi,zi+1)∈Vn}. Voyons tout d’abord que les

2

Vn,n≥1, forment une base de voisinages de∆. En effet, remarquons tout d’abord que six6=y, il existe deux voisinages ouvertsV(x)etV(y)dexetydisjoints, et, par ce qui précède, il existemtel que(x,z)∈Vmet(y,z)∈Vmimpliquent z∈V(x)∩V(y)ce qui est impossible. Par ailleurs, on a clairement

2 est impossible d’après ce qui précède. Ainsi, quitte à considérer une sous-suite de la suiteVn, on peut supposer que

2

Vn⊂Vn−1. En répétant éventuellement le procédé précédent, on se ramène finalement au cas où la baseVn,n≥1, de voisinages de∆est telle que lesVnforment une suite décroissante de voisinages symétriques tels queV¯n⊂Vn−1et

3

Il est clair quefest un écart surE. Pour conclure, il suffit donc de montrer l’inégalité suivante : 1 Raisonnons par récurrence surp. Pourp=1ceci est évident, supposons donc le résultat vrai pour toute suite finie àp−1éléments

et montrons le pour une suiteziàpéléments. Soita=

p−1

∑

i=0

g(zi,zi+1). Sia≥1/2, il n’y a rien à montrer. Supposons donca<1/2. Soit hle plus petit entier tel que

h

Le Théorème suivant est une caractérisation fondamentale des espaces métriques compacts :

T

HÉORÈME

II.8.2.

Pour un espace métrique

E

les conditions suivantes sont équivalentes : 1.

E

est compact ;

2. Toute suite de points de

E

admet une valeur d’adhérence ; 3.

E

est précompact et complet.

Démonstration. Vérifions tout d’abord que 1.⇒2. Soit(x_n)une suite dansEet soitAl’ensemble des points de cette suite ; siAest fini, il n’y a rien à montrer, et , siAest infini, cela résulte de la Proposition II.8.4 et de la Proposition II.4.4, page 14. Démontrons maintenant que 2.⇒3. La complétude deErésulte de la Proposition II.7.1, page 23, et, pour conclure, raisonnons par l’absurde et supposons queEn’est pas précompact. Alors, il existeα>0tel que l’on ne puisse pas recouvrirEpar un nombre fini de boules de rayonα. On peut ainsi construire, par récurrence, une suite(xn)dansEtelle que∀n∈N,d(xi,xn)>α, pouri<n: en effet,x1étant suite(x_n)ainsi construite ne peut évidement pas avoir de valeur d’adhérence.

Démontrons maintenant 3.⇒1. Pour simplifier les notations nous pouvons supposer que le diamètre deE(qui est borné par hypothèse) est inférieur à1/2(quitte à multiplier la distance par un nombre positif convenable ce qui ne change rien aux hypothèses 3. et 1.). Supposons queEne soit pas compact c’est à dire qu’il existe un recouvrement ouvert(Oi)deEdont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini, et construisons, par récurrence une suite de boules ouvertes(Bn) = (B(xn,1/2ⁿ)), telle que,∀n,Bn∩Bn−16=/0, etBnne peut être recouverte par une sous-famille finie de la famille(O_i):B0=Econvient par hypothèse, et, siBiest construite pour0≤i≤n−1, soit(V_k)un recouvrement deEpar des boules de rayon1/2ⁿ(précompacité) ; parmi les V_kqui rencontrentB_n−1, il y en a uneBnqui ne peut pas être recouverte par une sous-famille finie des(O_i)(sinonB_n−1pourrait l’être), et la récurrence se poursuit. Par construction (et l’inégalité triangulaire) on ad(x_n−1,x_n)≤1/2ⁿ⁻², d’où on déduit, pour n≤p<q, contredit la définition desBn.

Une propriété très utile des espaces métriques compacts est la Propriété de Lebesgue : PROPOSITIONII.8.10 (Propriété de Lebesgue).

Soient

E

un espace métrique compact et(O_i)un recouvrement ouvert de

E

. Il existeα>0tel que toute boule de rayonαsoit contenue dans l’un des

O

_i.

Dans un espace métrique compact, toute suite qui ne possède qu’une seule valeur d’adhérence converge vers celle-ci.

Démonstration. En effet, dans le cas contraire, il existeraitα>0et une suite extraite de la suite initiale dont tous les éléments seraient en dehors d’une boule de rayonα. D’après le Théorème II.8.2, cette sous-suite aurait une valeur d’adhérence qui serait une seconde valeur d’adhérence de la suite initiale.

PROPOSITIONII.8.12.

Toute application continue

f

d’un espace métrique compact

E

dans un espace métrique

E

⁰est uniformément continue.

Démonstration. En effet, si cela était faux, il existeraitα>0, et deux suites(x_n)et(y_n)tels qued(x_n,y_n)<1/netd⁰(f(x_n),f(y_n))≥ α. Mais ceci est impossible car, par le Théorème II.8.2, une sous-suite(xn_k)de la suite(xn)converge versa, ce qui implique que (y_nk)converge elle aussi versa.

PROPOSITIONII.8.13.

Dans un espace métrique complet, tout ensemble précompact est relativement compact.

Démonstration. SiA⊂Eest précompact,∀ε>0,Apeut être recouvert par un nombre fini de boules ferméesBkde rayonεet il en est de même deA¯qui est donc compact par le Théorème II.8.2 (et la Proposition II.7.2, page 23).

PROPOSITIONII.8.14.

Les parties relativement compactes deRⁿsont les parties bornées. Autrement dit une partie deRⁿest compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Démonstration. La condition étant nécessaire, il faut voir qu’elle est suffisante. D’après le Théorème II.8.1, il suffit de le faire pour n=1(car alors un cube fermé deRⁿest compact) et, alors, d’après le Théorème II.8.2, il suffit de montrer qu’une partie bornée de Rest précompacte, et il suffit de le faire pour un segment ce qui est évident.

PROPOSITIONII.8.15.

Soient

E

un espace métrique compact non vide et

f

une application continue de

E

dansR_{. Alors}

f

(E)est borné et

f

atteint des bornes (i.e. il existe

a

et

b

dans

E

tels que

f

(a) =sup

x∈E

f

(x)et

f

(b) =inf

x∈E

f

(x)).

Démonstration. En effet, puisquef(E)est fermé borné dansR(Proposition II.8.3),supf(E)etinff(E)sont dansf(E). PROPOSITIONII.8.16.

Soient

E

un espace métrique et

A

une partie de

E

.

1.

A

est relativement compacte si et seulement si toute suite de points de

A

possède une valeur d’adhérence dans

E

.

2. Si

A

est compacte, les ensembles

V

_r(A)(c.f. Remarque II.2.3, page 10) forment un système fondamental de voisinages de

A

.

3. La réunion de deux ensembles relativement compacts est relativement compacte.

4. Si

A

et

B

sont deux parties compactes disjointes, on a

d(A, B)

>0.

5. Si

A

est compact et si

B

est fermé et

A

∩

B

=/0, il existe

r

>0tel que

V

_r(A)∩

V

_r(B) =/0.

Démonstration. Le 1. résulte immédiatement du Théorème II.8.2, vérifions le 2. SoitUun voisinage deA; puisquex7→d(x,E\U) est continue et>0dansA, soninfest atteint surAet est un nombrer>0; alorsVr(A)⊂U. Le 3. est évident, et le 4. se voit en notant quex7→d(x,B)atteint son minimum surAqui est nécessairement>0. Enfin, si le 5. était faux, on auraitA∩Vr(B)6=/0pour toutr>0; en prenantr=1/n, on construirait ainsi une suitexnd’éléments deA∩V_1/n(B)dont on pourait extraire une sous-suite convergente versxdansAce qui donneraitx∈A∩BpuisqueBest fermé.

PROPOSITIONII.8.17.

Soient

E

un espace métrique et

A

une partie compacte de

E

. Alors

A

est connexe si et seulement si pour tout couple(x,

y)

de points de

A

et pour toutε>0, il existe des points

x

_i∈

A

,1≤

i

≤

n

, tels que

x

₁=

x

,

x

_n=

y

, et

d(x

_i,

x

_i+1)≤ε.

Démonstration. Montrons tout d’abord que la condition est nécessaire (la compacité n’interviens pas ici). Soita∈Afixé, et soit Eal’ensemble des points deEpour lesquels la condition est vérifiée. AlorsEaest non vide, évidemment ouvert, et fermé car si x∈E¯a∩A, la bouleB(x,ε)contient un point deA. CommeAest connexe on aEa=A. Réciproquement, supposons queAne soit pas connexe et écrivonsA=O1∪O2où lesOisont des ouverts deAdisjoints non vides. CommeAest fermé, lesOile sont aussi, et ce sont donc des compacts et la contradiction vient en prenantε<d(O1,O2)(4. de la Proposition précédente).

Nous savons déjà qu’un produit quelconque d’espaces compacts est compact : c’est le Théorème de Tychonoff que nous n’avons pas démontré. Dans le cas d’un produit dénombrable d’espaces métrique, la preuve est beaucoup plus simple :

PROPOSITIONII.8.18.

Soit(E_n)_n≥1une famille dénombrable d’espaces métriques compacts. Alors le produit des

E

n(c.f. Proposition II.6.4, page 22) est compact.

Démonstration. La preuve de ce résultat utilise une méthode importante et souvent utile appelée leprocédé diagonal. D’après le Théorème II.8.2, il nous faut montrer que si(Xn)est une suite dans

∏

n∈N

En, on peut extraire de(Xn)une sous-suite convergente.

NotonsX_nⁱlai-ème coordonnée deXn. PuisqueE1est compact, on peut extraire de(X_n)une sous-suite(X_1,n)telle que(X_1,n¹ )_n∈N soit convergente dansE₁. De même, on peut extraire de(X_1,n¹ )_n∈Nune sous-suite(X2,n)_n∈Ntelle que(X_2,n² )_n∈Nsoit convergente, de

sorte que(X_2,n¹ )_n∈Net(X_2,n² )_n∈Nsont toutes deux convergentes. En procédant ainsi de suite par récurrence, on construit(Xp,n)_n∈N telle que, pour1≤i≤p,(X_p,nⁱ )_n∈Nsoit convergente dansEi. Alors la suite(Xn,n)_n∈Nest telle que, pour touti≥1,(X_n,nⁱ )_n∈Nconverge dansEi, ce qui montre que(X_n,n)_n∈Nconverge dans

∏

n≥1

En.

SOUS-SECTION II.8.3

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