Équicontinuité, Théorème d’Ascoli - LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES

Définition II.8.5.

Soit

E

un espace. On suppose qu’il existe(U_n)_n∈Nune suite d’ouverts relativement compacts de

E

tels que

U

¯_n⊂

U

_n+1et

E

=^[

U

_n(c.f. Proposition II.8.21, page 36). Soit

F

un espace métrique etC(E,

F)

l’espace des fonctions continues de

E

dans

F

. On noteC_c(E,

F)

, l’espaceC(E,

F

)muni de la distance de la convergence uniforme sur la famille de parties(

U

¯_n)_n∈N(c.f. Exemple 4, page 13). La topologie correspondante s’appelle latopologie de la convergence uniforme sur les compacts.

On pourra remarquer que cette topologie ne dépend pas vraiment de la suite(U_n)choisie : si on prend une autre suite d’ouverts possédant les même propriétés, la distance obtenue avec cette nouvelle suite est topologiquement équivalente à la première. En fait, on peut démontrer (exercice facile) qu’une suite(fn)converge pour la distance de la définition ci-dessus si et seulement si, pour tout compactKdeE, elle converge uniformément surK.

Définition II.8.6.

Soient

E

F

deux espaces métriques. SoitA une partie deC(E,

F)

. On dit queA estéquicontinu(ou uniformément équicontinu) si, pour toutε>0, il existeη>0tel que pour

x

y

dans

E

vérifiant

d

_E(x,

y)

≤ η, on a

d

_F(

f

(x),

f

(y))≤ε, pour toute

f

∈A. On dit queA estéquicontinu en

xxx

₀∈∈∈

E E E

si, pour toutε>0, il existeη>0tel que pour

y

dans

E

vérifiant

d

_E(x₀,

y)

≤η, on a

d

_F(

f

(x₀),

f

(y))≤ε, pour toute

f

∈A. Si

A

est une partie de

E

, on dit queA estéquicontinue sur

A

si elle est équicontinue en tout point de

A

. PROPOSITIONII.8.26.

Soient

E

F

deux espaces métriques. SoitA une partie deC(E,F). Soit

A

une partie compacte de

E

. SiA est équicontinue sur

A

, alorsA_|A={

f

_|A,

f

∈A} ⊂C(A;

F)

est équicontinue. En particulier, si

E

est compact, l’équicontinuité en tout point de

E

équivaut à l’équicontinuité.

Démonstration. En effet, pour toutx∈A, il existeB(x,r_x)une boule, telle que, pouryetzdans cette boule et dansA, on a dF(f(y),f(z))≤ε, pour toute f∈A_|A. D’après la Propriété de Lebesgue (Proposition II.8.10, page 34), il existeα >0tel que, pour toutx∈A,B(x,α)∩Asoit contenu dans une des boulesB(x,rx); ceci dit exactement queA_|Aest équicontinue.

T

HÉORÈME

II.8.6 (Théorème d’Ascoli ).

Soit

E

F

des espaces métriques. On suppose qu’il existe(U_n)_n∈Nune suite d’ouverts relativement compacts de

E

tels que

U

¯_n⊂Un+1et

E

=^[

U

_n. Soit

A

une partie deC(E,

F

). Les conditions suivantes sont équivalentes : 1.

A

est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de

E

; 2. Pour tout compact

K

E

A

_|K ={

f

_|K,

f

∈

A}

est équicontinue dansC(K,F)et, pour tout

x

∈

E

, {

f

(x),

f

∈

A}

est relativement compact dans

F

Démonstration. Démontrons tout d’abord que 1. implique 2. Remarquons en premier queA_|K est relativement compact pour la topologie de la convergence uniforme surK(si(f_|K,n)est une suite dansA_|K, il existe une sous-suite(fnp)convergente pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts et(f_n_p_|K)converge uniformément surK). Soitε>0. On peut donc recouvrirA_|Kpar un nombre fini de boules (pour la distance de la convergence uniforme surK)B_ide rayonsε. Si f_isont les centres de ces boules, l’inégalité triangulaire donne aussitôt, pour f∈Bi,dF(f(x),f(y))≤2ε+dF(fi(x),fi(y)), et, comme les fi sont uniformément continues (Proposition II.8.12, page 34) et en nombre fini, l’équicontinuité deA_|Ken résulte. La seconde partie du 2. se montre aisément : si(fn(x))est une suite dans{f(x),f∈A}, la compacité relative deAimplique qu’il existe une sous-suite (fnp)qui converge pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts ; comme{x}est un compact, on a le résultat voulu.

Démontrons maintenant que 2. entraîne 1. Soit(fn)une suite dansA. Soitε>0etKcompact deEfixés.A_|Kétant équicontinu, soitηKtel quedE(x,y)≤ηK,x,y∈K, impliquedF(f(x),f(y))≤ε,f∈A_|K, et recouvronsKpar un nombre fini de boulesB(xi,ri) avecr_i<ηK. La seconde hypothèse du 2. montre qu’il existe une suite extraite(fn_p)de la suite(fn)telle que, pour toutpetq, et touti, on adF(fnp(x_i),fnq(x_i))≤ε, et, par suite,dF(fnp(x),fnq(x))≤3ε, pour toutx∈K. Appliquons cette construction àε=1/3: on construit ainsi une suite(f1,n)extraite de(fn)telle quesup

x∈K

dF(f1,p(x),f1,q(x))≤1,∀p,q. Puis on recommence de même avec ε=¹₃×¹₂et(fn)remplacée par(f1,n)ce qui donne une nouvelle suite extraite(f2,n)vérifiantsup

x∈K

dF(f2,p(x),f2,q(x))≤1/2,∀p,q. Par récurrence, on construit ainsi(fl,n)extraite de(f_l−1,n)telle que

sup

x∈K

dF(fl,p(x),fl,q(x))≤1/l,∀p,q.

On considère maintenant la suite diagonale(fn,n); pourm≥n, elle vérifiesup

x∈K

dF(fm,m(x),fn,n(x))≤1/n; comme de plus, par hypothèse, pour toutx∈K, la suite(fn,n(x))est contenue dans un compact deF, donc dans une partie complète deF(Théorème

II.8.2, page 34), elle converge vers f(x)et on asup

x∈K

dF(fm,m(x),f(x))≤1/n,m≥n. Ainsi, on a extrait de la suite(fn)une sous-suite uniformément convergente surK, vers une fonction définie et continue surK. Soit maintenant(Un)une suite d’ouverts deE vérifiant les propriétés décrites dans la Définition II.8.5 ; en appliquant ce qui précède au compactK=U¯₁, on trouve une suite(f_n¹) de la suite(fn)qui converge uniformément surU¯1vers une fonctionf¹définie et continue surU¯1; en recommençant de même avecK=U¯2et(f_n¹), on construit une seconde sous-suite(f_n²)qui converge uniformément surU¯2vers une fonctionf²définie et continue surU¯2, qui vérifie f_|²_U_¯

1= f¹; par récurrence, on construit ainsi une sous-suite(fn^p)de la suite(fn^p−1)qui converge uniformément surU¯pversf^pqui prolongef^p−1. La suite(f_nⁿ)est alors convergente pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts vers une fonction définie et continue surEtout entier.

C.Q.F.D.

La proposition suivante montre une utilisation de l’équicontinuité à la métrisabilité de certains espaces topologiques : PROPOSITIONII.8.27.

Soient

E

⁰deux espaces métriques de distances

d

⁰,

E

étant supposé séparable, et

A

={a_n}une partie dénombrable dense de

E

. SoitF_s(E;

E

⁰)l’espace topologique des fonctions de

E

dans

E

⁰muni de la topologie de la convergence simple (c.f. Exemple II.6.1, page 22). SoitG une partie deF_s(E;

E

⁰)équicontinue en tout point de

E

. Soit

d

A la distance de la convergence uniforme sur la famille de partiesA ={{an},

n

∈N}(c.f.

Exemple 4, page 13). Alors

d

A définit la topologie induite surGpar celle deF_s(E;

E

⁰): on dit que la topologie de la convergence simple est métrisable surG .

Démonstration. Soitf∈G. On voit très facilement que tout voisinage defpourdA, est un voisinage defpour la topologie de la convergence simple. C’est la réciproque qu’il faut démontrer. Soitf∈G; la définition de la topologie produit montre qu’il suffit de voir que, pourx∈Equelconque, l’ensembleV={g∈Gt.q.d⁰(f(x),g(x))<ε}contient une boule ouverte pourdA centré enf. Or, commeGest équicontinue enxetAdense dansE, il existenx∈Ntel que,∀h∈G,d⁰(h(x),h(an_x))<ε/4; l’inégalité triangulaire donne alorsd⁰(f(x),g(x))<ε/2+d⁰(f(an_x),g(an_x)),g∈G. Par suite,dA(f,g)< ε

3×2ⁿ^x ^impliqued⁰(f(x),g(x))<ε, ce qui montre bien que la boule ouverte pourdAcentré en fde rayon ε

3×2ⁿ^x est contenue dansV.

Exercices

Exercice II.1.

1. Montrer qu’on définit une topologie surRen disant qu’ une partie deRest ouverte si elle est vide ou de complémentaire au plus dénombrable.

On admettra que toute partie d’un ensemble au plus dénombrable est elle-même au plus dénombrable, de même qu’une réunion finie.

2. Quelles sont les suites convergentes pour cette topologie ? Exercice II.2.

1. SoitEun ensemble ordonné (par exempleN^∗muni de la relation de divisibilité).

2. Montrer que l’on définit surRune topologieTde la façon suivante :

« Une partieAdeEest ouverte si elle est vide ou bien si pour toutx∈Aet touty≥x, alorsy∈A. » 3. Soitx∈A, déterminer l’adhérence du singleton{x}pourT. Peut-il être fermé, ouvert ?

4. La topologieTest-elle séparée ? Exercice II.3.

SoitEun espace topologique. Démontrer les assertions suivantes :

1. Un pointxest dans la frontière d’une partieAdeEsi et seulement si tout voisinage dexrencontreAet son complémentaire.

2. SiAetBsont deux parties ouvertes disjointes deE,alors les partiesA˚¯etB˚¯sont disjointes.

3. SiAetBsont deux parties fermées deEdont la réunion estE, alorsA˚∪B˚=E. 4. Une partieAdeEest fermée si et seulement si sa frontièref r(A)est incluse dansA. 5. Une partieAdeEest ouverte si et seulement siA^TFr(A) =/0.

Exercice II.4.

DansRmuni de la topologie usuelle, déterminer l’intérieur et l’adhérence des ensembles suivants :

1. A=]0,1]; A=]0,1[∪]1,2] A=Q. ?

2. Même question dansR²muni de la topologie usuelle pour l’ensembleA=]0,1]× {0}(comparer avec 1.) etA={(x,y)tq x²+ y²<1} ∪ {(x,0)tq1<x<2}.

Exercice II.5.

1. On munitR⁺de la topologie induite parR. Les ensembles[0,1],[0,1[sont ils ouverts dansR⁺_?

2. SoitEun espace topologique,Fune partie deE. On munitFde la topologie induite parE. Comparer pour une partieAde Fl’adhérence et l’intérieur deAdansEetFrespectivement.

3. SoitEun espace topologique,A,B,Ddes parties deEtelles queA∪B=EetD⊆A∩B.On suppose queDest un ouvert de AetB. Montrer queDest un ouvert deE.

Exercice II.6.

SoitEun espace topologique et(F_i)_i∈I une famille de fermés deEtelle que tout pointx∈Eadmette un voisinageVdisjoint de tous lesFisauf au plus un nombre fini (i.e. :∃ {i1, . . . ,in} ⊆I;∀i∈I\ {i1, . . . ,in}V∩Fi=/0).

1. Montrer que la réunion desFiest fermée.

2. On suppose en plus que[ i∈I

Fi=E. Montrer qu’ un ensembleSdeEest fermé si et seulement siS∩Fiest fermé pour tout I∈I.

Exercice II.7.

SoitEun espace topologique et(U_i)_i∈Iune famille d’ouverts recouvrantE. Montrer qu’un ensembleAdeEest fermé dansEsi et seulement si chaque ensembleA∩Uiest fermé dansUi.

Exercice II.8.

SoitEun ensemble. Posonsd(x,y) =1six6=yetd(x,x) =0. Montrer quedest une distance surE. DéterminerB(x,1),B(x,¯ 1), B(x,1).

Exercice II.9.

SoitI= [a,b]un segment deR,x0un élément deIet soitC¹(I;C)l’ensemble des fonctions continûment dérivables surI. Pourf etgéléments deC¹(I,C), on posed(f,g) =|f(x₀)−g(x₀)|+sup

t∈I

|f⁰(t)−g⁰(t)|. Montrer quedest une distance surC¹(I,C).

Exercice II.10.

SoitI= [a,b]un segment deRetE=C(I;C)l’ensemble des fonctions continues surI. On définit surE×Eles fonctionsdetδde la façon suivante :

d(f,g) = Z b

|f(t)−g(t)|dtetδ(f,g) = Zb

|f(t)−g(t)|²dt ¹₂

Montrer quedetδsont des distances surE. Exercice II.11.

SoitEl’ensemble des fonctions continues deRdansR, à support borné.

On considère les applicationsdetδdeE×EdansR⁺définies par

d(f,g) =sup{|f(x)−g(x)|;x∈R, et,

δ(f,g) = Z_+∞

−∞ |f(x)−g(x)|dx.

1. Montrer quedetδsont des distances surE.

2. Ces distances sont elles équivalentes, topologiquement équivalentes ?

On rappelle que le support d’une fonction est l’adhérence de l’ensemble des points où elle est non nulle.

Exercice II.12.

1. Soit(E,d)un espace métrique. Montrer que la fonctionδ= d

1+dest une distance surEtopologiquement équivalente àd. Ces deux distances sont elles équivalentes ?

2. SoitAun ensemble etBl’ensemble des fonctions bornées deAdans un espace métrique(E,d). Soit(An)une famille dé-nombrable de parties deAtelles que[

An=A. Pour chaquen, soitdn(f,g) =sup

x∈An

d(f(x),g(x)). Pourfetgéléments deB, on poseδ(f,g) =

∑

n∈N

1 2ⁿ

dn(f,g) 1+dn(f,g)^.

Montrer queδest une distance et qu’une suite de fonctions(fk)deBconverge vers une fonctionfsi et seulement si la suite (f_k)converge uniformément versfsur chaqueAn.

Exercice II.13.

Soitdla distance euclidienne surR². On définitδde la façon suivante :aetbétant deux points deR², on pose δ(a,b) =

d(a,b) siaetbsont alignés avec l’origine, d(a,0) +d(b,0) sinon.

1. Démontrer queδest une distance. Déterminer les boules ouvertes pourδet les suites convergentes pourδ.

2. On considère l’applicationδdeC×CdansR⁺définie parδ(z,z⁰) =|z−z⁰|si|z|=|z⁰|etδ(z,z⁰) =|z|+|z⁰|si|z| 6=|z⁰|. 3. Démontrer queδest une distance. Déterminer les boules ouvertes pourδet les suites convergentes pourδ.

Exercice II.14.

1. Rⁿest muni de sa topologie usuelle. SoitA={x= (x_k)_1≤k≤ntq∀k∈N1≤k≤n,|x_k|<1

k}. Montrer queAest ouvert.

2. On désigne parl^∞l’espace des suites réelles bornéesx= (x_n)_n≥1et, pourx= (x_k)_k≥1,y= (y_k)_k≥1∈l^∞on posed(x,y) =sup

k∈N^∗

|xk−yk|. Montrer quedest une distance surl^∞et que l’ensembleB={x= (x_k)_k≥1tq∀k∈N|x_k|<1

k}est d’intérieur vide dansl^∞. Exercice II.15.

Soient les fonctionsdetδdéfinies pard(x,y) =|x−y|etδ(x,y) = 1 x−1

oùxetysont des réels strictement positifs. Montrer que δdéfinit une distance sur]0,+∞[. Les distancesdetδsont elles équivalentes, topologiquement équivalentes ?

Exercice II.16.

On désigne parEleC-espace vectoriel des suites de nombres complexes. Pourx= (xn)_n∈Nappartenant àE, on poseval(x) = min{n∈N,xn6=0}six6=0etval(0) =∞. On définitd:E²→R⁺pard(x,y) =e^{−val(x−y)}(conventione^−∞=0).

1. Montrer quedest une distance surEvérifiant :

∀(x,y,z)∈E³d(x,z)≤max{d(x,y),d(y,z)}.

2. Montrer que deux boules ouvertes de même rayon dans(E,d)sont disjointes ou confondues.

3. Soit(x^p)_p∈Nune suite d’éléments deEavecx^p= (x_n^p)_n∈N. Démontrer que la suite(x^p)_p∈Nest convergente dansEsi et seulement si pour toutn∈N, la suite(xn^p)_p∈Nest stationnaire. Quelle est alors la limite de la suite(x^p)_p∈N?

Exercice II.17.

On reprend les notations de l’exercice II.2 et soit une applicationf:E→E. Démontrer quefest continue si et seulement si elle est croissante.

Exercice II.18.

1. Soitα un réel compris entre0et1etf :R^∗₊→R^∗₊l’application définie par f(x) =x^α. Prouver que f est uniformément continue.

2. Les fPonctionsx7−→cosx²etx→cos√

xsont elles uniformément continues surR⁺? Exercice II.19.

On définit surC×Cla fonctionδà valeurs dansR⁺parδ(x,y) =|x−y|si|x|=|y|etδ(x,y) =|x|+|y|sinon.

1. Montrer queδest une distance.

2. Caractériser les boules ouvertes pourδ. 3. Cest il complet pour la distanceδ?

Exercice II.20.

SoitEun espace métrique connexe non borné. Montrer que pour toutx∈Eet tout réelr>0, la sphèreS(x,r)est non vide.

Exercice II.21.

SoitEun espace topologique,AetBdes fermés deEtels queA∩BetA∪Bsoient connexes. Montrer queAetBsont connexes.

L’hypothèse « fermée » est elle essentielle ? Exercice II.22.

SoitEun espace topologique connexe,f etgdeux fonctions continues deEdansR, sans zéros communs et dont le produit est nul. Montrer que l’une des deux fonctions est nulle.

Exercice II.23.

Montrer que toute fonction continue sur un connexe à valeurs dans un espace séparé et localement constante est constante. En-oncer et démontrer la réciproque.

Exercice II.24.

SoitEun espace topologique tel que pour tout(x,y)∈E×E, il existe une partie connexeC(x,y)deEcontenantxety. Démontrer queEest connexe.

Exercice II.25.

SoitEun espace topologique etAune partie connexe deE. Montrer que siArencontre une partieBdeEet son complémentaire, elle rencontre sa frontièreFr(B).

Exercice II.26.

SoitEun espace totalement ordonné. On appelle intervalle ouvertIdeEtoute partie de la forme]a,b[={x∈Etels quea<x<b}

ou].,b[={x∈Etells quex<b}ou]a, .[={x∈Etels quex>a}.

1. Montrer qu’ il existe une topologie surEtelle que les intervalles ouverts en forment une base.

2. Cette topologie est elle séparée ?

3. On suppose queEest connexe. Montrer que :

(a) Pour tout(x,y)∈E²,x<y, l’intervalle]x,y[est non vide.

(b) Toute partie majorée non vide admet une borne supérieure (On pourra s’intéresser à l’ensemble des majorants deA).

Exercice II.27.

1. Montrer qu’une couronne deR²est connexe.

2. Montrer que toute partie convexe deRⁿest connexe.

Exercice II.28.

Démontrer que l’ensemble des points deR²dont une coordonnée au moins est irrationnelle est connexe.

Exercice II.29.

Peut il y avoir deux espaces homéomorphes parmi les trois suivants :A= [0,1]⊆R;B={(x,y)∈R²tels quex²+y²<1};Γ= {(x,y)∈R²tels quex²+y²=1}.

Exercice II.30.

SoitAune partie deR²telle que pour toutx∈A, le segment[0,x]soit contenu dansA. 1. Montrer queAest connexe.

2. On suppose, en plus, queAest bornée. Montrer que le complémentaire deAest connexe.

Exercice II.31.

SoitIun intervalle deR,fune application deIdansRcontinue, injective. En considérant l’ensemble E={(x,y)∈I²tels quex<y},

démontrer quefest une application strictement monotone.

Exercice II.32.

Déterminer les composantes connexes de chacun des espaces suivants : 1. E=R\ {a};

2. E=R²\ {(x0,y0)};

3. E=R²\DoùDest une droite ; 4. E=R³\PoùPest un plan ;

5. Eest le complémentaire d’une couronne dansR²;E=Q. Exercice II.33.

SoitX= ({0} ×[0,1])∪ ^[

n∈N^∗

1 n

×[0,1]

∪([0,1]× {0}). Montrer queXest connexe mais non localement connexe.

Exercice II.34.

Donner un exemple d’espace localement connexe, non connexe.

Exercice II.35.

Soientnun entier≥3,fl’application deRⁿdansRdéfinie par f(x1, . . . ,xn) =

∑

i=1

x²_i−x²_n,

et,

E={x∈Rⁿtels que f(x)6=0}.

Montrer que

C1={x∈Rⁿtels quef(x)>0}, C2={x∈Rⁿtels quef(x)<0etxn>0}, C2={x∈Rⁿtels quef(x)<0etxn<0}, sont trois ouverts connexes deEet que ce sont les composantes connexes deE.

Exercice II.36.

Soit une famille d’espaces topologiques(E_i)_i∈IetE=

∏

i∈I

E_ileur produit.

1. Soit(xⁿ)nune suite d’éléments deEoù pour chaquen,xⁿ= (xⁿ_i)i. Montrer que la suite(xⁿ)nconverge dansEversx= (xi)si et seulement si pour toutila suite(xⁿ_i)_nconverge versxidansEi.

Pour chaquei∈I, on notepila projection canonique de rangi. 2. Montrer quep_iest ouverte, est elle fermée ?

3. SoitXun espace topologique etfune application deXdansE. Montrer quefest continue si et seulement si chaquefi= pi◦fest continue.

SoitEetFdeux espaces topologiques et une application continuef:E→F. On suppose queFest séparé. Prouver que le graphe Γ(f) ={(x,y)t.q.y= f(x)}est fermé dans le produitE×F. Réciproque ? Donner une deuxième démonstration dans le cas ou les espacesEetFsont métriques.1) Soit une famille d’espaces topologiques(E_i)_i∈IetE=

∏

i∈I

Eileur produit.

Exercice II.38.

SoientE1etE2deux espaces topologiques non vides etE=E1×E2muni de la topologie produit. Montrer queEest connexe si et seulement siE1etE2le sont. est une distance et que la topologie associée àdest la topologie produit.

Exercice II.40.

1. detd⁰sont deux distances équivalentes sur un ensembleE. Montrer que sidetd⁰sont équivalentes(E,d⁰)est complet dès que(E,d)l’est. Cette propriété est elle vraie sidetd⁰sont seulement topologiquement équivalentes ?

2. Montrer que siId:(E,d)→(E,d⁰)est uniformément continue, toute suite de Cauchy dans(E,d)est une suite de Cauchy dans(E,d⁰).

3. On considère surRles deux distances suivantes :d1(x,y) =|x−y|;d2(x,y) =|x³−y³|. Sont elles topologiquement équiva-lentes ? L’identité de(R,d₁)dans(R,d₂)est elle uniformément continue ? Les suites de Cauchy pourd₁etd₂sont elles les mêmes ?

4. Soitfune isométrie surjective entre deux espaces métriques. Montrer que si l’un des deux est complet, l’autre aussi.

5. Ce dernier résultat est il vrai sifest seulement un homéomorphisme ? Exercice II.41.

Montrer que les espaces suivants sont complets :

1. Eest l’espaceC([0,1],R)des fonctions continues sur[0,1]à valeurs dansR, muni de la distance de la convergence uniforme.

2. Eest l’espacel^∞des suites de nombres complexes bornées, muni de la distanced(x,y) =sup

n≥0

|xn−yn|.

3. Eest l’espacel¹des suites de nombres complexesx= (xn)telles que la série∑|xn|converge, muni de la distance d(x,y) =

∑

On désigne parc0l’espace des suites réelles qui tendent vers0muni de la distanced(x,y) =sup

n∈N

|xn−yn|et parc00le sous ensemble des suites réelles nulles à partir d’ un certain rang.

1. Montrer quec0est complet.

2. Montrer quec₀₀est dense dansc₀. L’espace métriquec₀₀est il complet ? Exercice II.44.

Montrer que tout espace métrique complet sans point isolé est infini non dénombrable.

Exercice II.45.

On considère une application continuef:[1,+∞[→Rtelle que, pour toutx≥1, la suitef(nx)_n∈Ntende vers 0. En considérant les ensemblesFn={x≥1:p∈Np≥n⇒ |f(px)| ≥ε}, montrer quelimx→+∞f(x) =0.

Exercice II.46.

SoitE=C([0,1],R). A tout entiern∈N^∗, on associe l’ensembleFndes fonctionsf∈Etelles que :











|f(t)| ≤1,∀t∈[0,1]

|f(0)| ≥1 2 f(t) =0,∀t∈[1

n,1]

1. Montrer que les ensemblesFnsont non vides, que la suite(Fn)est décroissante et que l’intersection des ensemblesFnest vide.

2. On munitEde la distanced:d(f,g) = sup

t∈[0,1]

|f(t)−g(t)|. 3. (a) Montrer que pour toutn>0,Fnest fermé.

(b) Que peut on en déduire ?

4. On munitEde la distanced1:d1(f,g) =^R₀¹|f(t)−g(t)|dt.

(a) Montrer que pour tout couple de fonctions(f,g)∈E×E,d1(f,g)≤2 n^. (b) Que peut on en déduire ?

Exercice II.47.

1. Soit f:]a,b]→Runiformément continue. Montrer quefadmet un prolongement ef, uniformément continu, à l’intervalle [a,b].

2. Soitf:]a,b]→Rdérivable, telle quef⁰(x)admette une limite réelle quandxtend versa. Montrer quefadmet un prolonge-mentef, dérivable, à l’intervalle[a,b].

Exercice II.48.

1. Donner un exemple d’une application contractante d’un intervalle deRdans lui même, n’admettant pas de point fixe.

2. Soitf:[1,+∞[→[1,+∞[définie parf(t) =t+¹_t. Montrer que pour tous réelsu,v∈[1,+∞[tels queu6=v, on a|f(u)−f(v)|<

|u−v|. L’applicationfadmet elle un point fixe ? Commentaire ? Exercice II.49.

Etudier la suite(un)définie par son premier termeu0et la relation de récurrence :un+1=1+1 4sin(1

). Exercice II.50.

1. Eest un espace topologique séparé,(xn)nune suite de points deE convergente vers un élémentx∈E. Démontrer que l’ensemble{x_n;n∈N}^S{x}est un compact deE.

2. Démontrer qu’une application d’un espace métriqueEdans un autre est continue si et seulement si sa restriction à tout compact deEest continue.

Exercice II.51.

SoitKun espace topologique compact etC(K)l’espace des fonctions continues deKdansR_.

1. Montrer que si une famille finie de fonctionsf₁, . . . ,fnappartenant àC(K)est sans zéros communs ( n

i=1

f_i⁻¹(0) =/0) alors, il existe des fonctionsu1, . . . ,undeC(K)telles queu1f1+. . .+unfn=1.

2. SoitIun idéal deC(K). Montrer queI=C(K)si et seulement si\ f∈I

f⁻¹(0) =/0.

Exercice II.52.

SoitEun espace topologique séparé etA,Bdeux compacts disjoints deE.

1. Montrer qu’il existe des ouvertsUetVdeEtels queU⊇A;V⊇BetU^TV=/0. 2. SoitEun espace métrique.

(a) SoientA,Bdeux compacts disjoints deE, montrer qu’il existea∈Aetb∈Btels qued(a,b) =d(A,B). Redonner, dans ce cas une démonstration de 1.

(b) Montrer que siAest une partie compacte deE, etBune partie fermée telles queA∩B=/0, alorsd(A,B)>0.

(c) Montrer qued(A,B)peut être nul siAetBsont disjoints, mais seulement fermés, tandis que la proriété du 1. reste vraie (utiliser la fonctionx→d(x,A)−d(x,B)).

Exercice II.53.

Soit(An)nune suite décroissante de parties compactes d’un espace métriqueEetAleur intersection. Montrer que la suite des diamètres desAntend vers le diamètre deA.

Exercice II.54.

Montrer qu’ un espace métrique dans lequel toute boule fermée est compacte est un espace complet.

Exercice II.55.

Eest un espace topologique séparé et(K_n)une suite décroissante de compacts non vides.

1. Que peut on dire de l’intersection desKn?

2. SiΩest un ouvert contenant l’intersection desKn, montrer qu’il existe un entierntel queΩcontienneKn.

3. On suppose en plus que lesKnsont connexes. Montrer que l’intersection desKnest connexe. Montrer que ce résultat n’est plus vrai si lesKnsont seulement fermés.

Exercice II.56.

XetYsont deux espaces topologiques ;Yest compact.

1. Montrer que la projectionpX:X×Y→Xest fermé.

2. On suppose quef:X→Yest une application dont le graphe est fermé. Montrer quefest continue.

On donnera deux démonstrations des questions 1. et 2. dont une en supposant que les espacesXetYsont métriques.

Exercice II.57.

SoientΛetXdeux espaces topologiques compacts, et soitfune application continue deΛ×Xdans un espace séparéYtelle que, pour toutλ∈Λ, l’applicationx→ f(λ,x)soit injective. Soit alorsy0∈Y.

1. Montrer que l’ensembleΛ0desλdansΛtels que l’équationy0=f(λ,x)ait une solution, est fermé dansΛ0. 2. Montrer que la solutionx=ϕ(λ)de cette équation est une fonction continue deλsurΛ0.

Donner de ces deux questions une autre démonstration, en supposant que les espacesΛetXsont métriques.

Exercice II.58.

Soitl²={x= (x_n)_n≥1/

∞

∑

n=1

x²_n<+∞}muni de la distanced:d(x,y) =

∞

∑

n=1

(x_n−yn)²

!¹₂ .

Montrer que la suite(eⁿ)_noùeⁿest l’élément del²dont toutes les composantes sont nulles sauf celle de rangnégale à1ne contient pas de sous-suites de Cauchy. En déduire que la boule unité fermée del²n’est pas compacte.

Exercice II.59.

SoitEl’ensemble des fonctions continues de[0,1]dansRmuni de la distance de la convergence uniforme. Donner un exemple d’une suite bornée deEn’admettant aucune sous-suite convergente.

Exercice II.60.

1. SoitΓle cercleΓ={(x,y)∈R²t.q.x²+y²=1}et soitf:Γ→Rune application continue.

(a) Montrer quef(Γ)est un intervalle[a,b]aveca≤b.

(b) Montrer que toutt∈]a,b[possède au moins deux antécédents.

(c) Existe-t-il des applications continues injectives deR²_dansR_? 2. Soit l’applicationΦ:Γ\ {−1} →]−π,π[définie par :Φ(x,y) =2 arctan_x+1^y .

(a) Calculerexp(iΦ(z)pourz∈Γ\ {−1}etΦ(e^iθ)pourθ∈]−π,π[. (b) En déduire queΦest une bijection continue deΓ\ {−1}sur]−π,π[.

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