Repr´esentation des individus

Par analogie `a l’Analyse en Composantes Principales usuelle, la plupart des logiciels pr´esentent une carte des individus fournie par la repr´esentation graphique (t<sup>i</sup>, t<sup>j</sup>). On va voir pourquoi ce n’est pas une repr´esentation factorielle bas´ee sur une projection, on la qualifie de ”pseudo factorielle”. Elle est cependant, souvent globalement proche de de la carte factorielle exacte (t<sup>∗i</sup>, t<sup>∗j</sup>) d´efinie dans ce paragraphe et `a laquelle est associ´ee une mesure de la qualit´e de la repr´esentation de chaque individu.

Pour k ∈ {1, . . . , r}, on dispose par la proposition 9.7 (b), de deux familles orthogo-nales,{w¹, . . . , w^k}et{w∗¹, . . . , w∗^k}, dans l’espace, Im X^′, des individus du tableau des pr´edicteurs. La premi`ere est orthogonale au sens usuel, la secondeV-orthogonale. D’autre part, une composante s’´ecrit

tⁱ =X(i−1)wⁱ =Xw∗ⁱ.

Il est clair que si l’on projetteX^′ sur wⁱ, les coordonn´ees du nuage des points projet´es ne s’exprime pas simplement en fonction de tⁱ et il est impossible d’interpr´eter les individus projet´es par rapport aux variables les plus proches de tⁱ.

Nous utiliserons donc, l’autre famille, {w∗¹, . . . , w∗^k}, comme axes factoriels et pour cela, munirons l’espace Im X^′ de la m´etrique V. La repr´esentation des individus est ainsi associ´ee au triplet (X,V, D) qui sert d’optique photographique.

Proposition 9.9 : Les points du nuage des individus de X projet´es sur l’axe fac-toriel d´efini par le vecteur unitaire ˜w^∗i = w^∗i/kw^∗ik^V, ont pour mesures alg´ebriques les coordonn´ees du vecteur

t^∗i =WDt˜ⁱ =XX^′Dtⁱ/ktⁱkD =XpⁱktⁱkD. (9.54) 2

Preuve :

Π^V_w˜∗iX^′ = ˜w^∗iw˜^∗i′VX^′ = ˜w^∗i(XX^′DXw˜^∗i)^′ = ˜w^∗i(XX^′Dtⁱ/kw^∗ik^V)^′. L’expression de pⁱ donn´ee par (9.32) termine la preuve. 2

Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees

H´elas ! Le vecteur t^∗i n’est pas, en g´en´eral, colin´eaire `a t<sup>i</sup> sauf dans deux cas limites pour PLS, celui de l’ACP de X et celui o`u les variables explicatives standardis´ees sont non corr´el´ees deux `a deux (V = Ip). Ainsi, repr´esenter les individus par la carte (t<sup>i</sup>, t<sup>j</sup>) n’est l´egitimement fond´e que dans ces deux cas extrˆemes o`u l’on retrouve la dualit´e d’interpr´etation d’une composante, `a la fois axe factoriel du cˆot´e des variables et vecteur des coordonn´ees des individus projet´es.

L’´ecart `a la dualit´e pour une composante tⁱ, appel´e “saut de dualit´e” et not´eSDi, est l’expression comprise entre 0 et 1,

SDi = 1−ri,

o`u ri =r(tⁱ, t^∗i) est le coefficient de corr´elation lin´eaire entret^∗i ettⁱ.

D’apr`es (9.32),cov(tⁱ, t^∗i) = kpⁱk²var(tⁱ)>0 si i≤rang(X). Comme cons´equence, ri est positif, l’angle entre tⁱ ett^∗i est aigu et SDi est compris entre 0 et 1.

Cas SDi = 0 : ∃αi >0 tel que XX^′Dtⁱ =αitⁱ Y =X P LS(X, Y)≡ACP(X), alors ∀i, αi =λi

V=Ip non corr´elation, alors ∀i, αi = 1

Plus SD_i sera voisin de 0 (r_i voisin de 1) et plus il sera justifi´e d’interpr´eter la repr´esentation des individus donn´ee par t^∗i, grˆace aux variables explicatives et aux va-riables r´eponses projet´ees sur tⁱ.

La V-orthogonalit´e de deux axes factoriels (w^∗i, w^∗j) permet de d´ecomposer la pro-jection des individus sur le plan (i, j) comme la somme des propro-jections sur chacun des axes

Π^V_{( ˜w}∗i,w˜^∗j)X^′ = Π^V_w˜∗iX^′+ Π^V_w˜∗jX^′. Mesure de la qualit´e de la repr´esentation d’un individu

De fa¸con habituelle, une mesure de la qualit´e de la repr´esentation de l’individu l sur l’axe i ou sur le plan factoriel (i, j), est donn´ee par le carr´e du cosinus du V-angle form´e par les deux vecteurs d’origine l’origine des coordonn´ees, et dont les extr´emit´es sont le point-individu l d’une part et sa projection d’autre part. Soit r = rang(X), les contributions relatives de l’axe i et du plan factoriel (i, j) `a la repr´esentation de l’individu l sont

cos²θⁱ_l = (t^∗i_l )² Pr

j=1(t^∗j_l )² et cos²θ^i,j_l = cos²θ_lⁱ+ cos²θ_l^j. (9.55) Remarquons que dans (9.55), le d´enominateur est ´egal `aXlVXl′ o`uXl est la li`eme ligne de X. En effet, si l’on note Wf^∗(k) la matrice des vecteurs unitaires, et T^∗(k) la matrice

des vecteurs donnant les coordonn´ees des projections,

Wf^∗(k) = [ ˜w^∗1. . .w˜^∗k] =W^∗(k)[T(k)^′DT(k)]^−1/2, (9.56.a) T^∗(k) = [t^∗1. . . t^∗k] =XX^′DTe(k), (9.56.b) alors, puisque ImWf^∗(r) =Im X^′,X^′ = Π^V_f

W^∗(r)X^′ =Wf^∗(r)T^∗(r)^′ et

T^∗(r)T^∗(r)^′ =T^∗(r)IrT^∗(r)^′ =T^∗(r)[fW^∗(r)^′VWf^∗(r)]T^∗(r)^′ =XVX^′. (9.57) L’´el´ement diagonal (l, l) de ces matrices donne le r´esultat.

D´ecomposition de l’inertie du nuage des individus

Le nuage des individus a pour inertie, not´ee I^ind, le carr´e de la norme de Frob´enius de V I^ind=trace(XVX^′D) = trace(V²) =kVk²F. (9.58) En outre, I^ind ≥ trace(V) = I^x si pour tout i, σ(Xⁱ) ≥ 1, ce qui est le cas dans PLS sur variables standardis´ees. L’inertie des individus I^ind, ´egale `a I^x dans l’ACP usuelle, incorpore dans PLS, non seulement les variances mais aussi les covariances des variables explicatives.

I^ind = Xp

i=1

var²(Xⁱ) + 2X

i6=j

cov²(Xⁱ, X^j)≥ Xp

i=1

var²(Xⁱ).

Il est int´eressant de regarder si I^ind est assez proche de Pp

i=1var²(Xⁱ) (de pdans le cas standardis´e) c’est `a dire siVest proche d’ˆetre diagonale (de la matrice identit´e dans le cas standardis´e). Dans ce cas, toutes les composantes PLS sont certes proches de la dualit´e au sens d´efini plus haut mais PLS perd de son int´erˆet.

D’autre part, l’inertie se d´ecompose en la somme des inerties des points projet´es sur chacun des r axes possibles,

I^ind =trace(T^∗(r)T^∗(r)^′D) = Xr

i=1

trace(t^∗it^∗i′D) = Xr

i=1

Ii^ind. L’inertie des individus projet´es sur l’axe i est, puisque t^∗i est D-centr´e,

Ii^ind =trace(t^∗it^∗i′D) =t^∗i′Dt^∗i =var(t^∗i), On d´efinit, en pourcentage, la qualit´e globale du plan factoriel (i, j) par

100Ii,j^ind

I^ind = 100Ii^ind

I^ind + 100Ij^ind

I^ind.

Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees

Proposition 9.10 : Expression des inerties associ´ees aux deux triplets

L’inertie des variables explicatives et l’inertie des individus correspondants peuvent s’ex-primer de deux fa¸cons diff´erentes en fonction de tⁱ ou de t^∗i

I^x =trace(V) =

Preuve : Seule la derni`ere ´egalit´e dans chacune des formules est `a d´emontrer, les premi`eres ayant d´ej`a ´et´e obtenues.

Si l’on prendk =r =rang(X),X^′ est invariant par projection surImfW^∗(r) de mˆeme,X

9.12 M´ etriques pour les individus et optiques