Exercice 1 : Dans l’espace IR-espace vectoriel de dimension 4.
1) Soit D = {u1, u2, u3, u4} une base de E et soit g une application lin´eaire de E dans lui-mˆeme (on dit un endomorphisme de E) ayant pour matrice N dans la baseD : (a, b, cet d d´esignent des r´eels quelconques)
N =
1 0 a b 0 1 c d 0 0 0 0 0 0 0 0
. On notera Im g l’image de g etKer g son noyau.
a) Calculer le rang deg ainsi que la dimension de Ker g.
b) Donner une base pourIm g.
c) Soient v1 =au1+cu2−u3, v2 =bu1 +du2−u4. D´emontrer que {v1, v2} est une base deKer g.
2) SoitB ={e1, e2, e3, e4} une base deE. On pose :
c1 = e2 + 2e3 + 2e4, c2 = e1 + e2 + 2e3 + 3e4, c3 = 2e1 + 2e2 + 2e3 + 3e4 et c4 = 2e1+ 3e2+ 3e3+ 3e4.
a) D´emontrer que C ={c1, c2, c3, c4}est une base de E.
b) Ecrire la matrice de passage P deB `a C et calculer son inverse.
c) Soitf l’endomorphisme de E d´efini par
f(e1) =−e1−3e2−6e3−7e4,f(e2) = 2e1+5e2+10e3+12e4,f(e3) = −3e1−5e2−10e3−13e4
et f(e4) = 2e1 + 3e2 + 6e3 + 8e4. Calculer la matrice M de f dans la base B puis la matrice M′ de f dans la base C.
d) Donner une baseBI pour Im f et une base BK pourKer f (les vecteurs de BI etBK
devront ˆetre exprim´es dans la base B).
e) Soit V le sous-espace vectoriel de E engendr´e par c1 et c2. Soit q la projection de E sur V. Calculer Q la matrice de q dans la baseB
Exercice 2: SoitE l’espace vectoriel des polynˆomes sur IRde degr´e inf´erieur ou ´egal
`a 3.
D´eterminer le rang du syst`eme de vecteurs {u1, u2, u3} deE d´efini par :
u1 = 4 + 3X+ 2X2+X3, u2 = 6 + 2X+ 2X2+ 2X3 et u3 =−8−11X−6X2+X3. Exercice 3 : SoitB ={e1, e2, e3, e4}une base de IR4. On consid`ere l’endomorphisme
Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees
1) Calculer les valeurs propres de f.
2) Pour chaque valeur propreλ def, d´eterminer l’espace propre correspondant.
3) D´eduire que f est diagonalisable.
4) Trouver en l’exprimant dans la base B, une base C ={u1, u2, u3, u4} deIR4 avec Af,C
diagonale et pr´eciser quelle est la matrice Af,C. Exercice 4 : Soit la matrice
A= I+A est inversible.
Exercice 5 : On consid`ere la matrice
A=
1) Calculer les valeurs propres de A.
2)A est-elle diagonalisable ? Inversible ?
3) D´eterminer une base de l’espace propre associ´e `a la plus grande valeur propre de A.
Exercice 6 : La matrice suivante est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse
A=
Exercice 7 : Montrer que la matrice suivante est inversible dansM33(IR) et calculer
D´emontrer ces quelques ”petits” r´esultats utiles, les matrices sont suppos´ees r´eelles.
1.1. A m×n,B n×p,C n×p, M m×m sym´etrique d´efinie positive, x n×1.
Exercice 9 : Montrer que trace(AB) = trace(BA).
Exercice 10 : Soit A une matrice n ×n et spect(A) = {λi}i. Soit B une matrice p×p et spect(B) = {µj}j. Montrer que les np valeurs propres de A⊗B sont λiµj et que, six est un vecteur propre de A ety un vecteur propre deB, alors,x⊗yest vecteur propre de A⊗B.
V´erifier sur l’exemple A=B =
"
0 1 0 0
#
qu’il y a des vecteurs propres de A⊗B qui ne se d´eduisent pas des vecteurs propres de A etB.
Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees
Exercice 11 : Soient A etB deux matrices carr´ees d’ordre respectifs n et p.
a) Montrer que si A et B sont sym´etriques (semi) d´efinies positives, alors A ⊗B est sym´etrique (semi) d´efinie positive.
b) Montrer que : d´et(A⊗B) = [d´et(A)]p[d´et(B)]n
c) Montrer que : rang(A ⊗ B) = rang(A)rang(B). Indication : Montrer que rang(A⊗B) =rang((AA′)⊗(BB′)) et conclure en utilisant la DVS.
Exercice 12 : Soit A une matricen×n. D´emontrer que vec(A′) =Kmnvec(A) avec Kmn =
Xm i=1
Xn j=1
Eij(m, n)⊗Eij′ (m, n).
Chapitre 2
D´ ecomposition de Matrices
On a vu qu’une application lin´eairef de l’espace vectoriel E dans l’espace vectoriel F, tous deux de dimension finie, pouvait ˆetre repr´esent´ee par une matrice Arelativement aux bases choisies dans ces espaces. Une application lin´eaire ´etant ainsi repr´esent´ee par diff´erentes matrices selon les bases choisies, le probl`eme se pose de trouver des bases dans lesquelles la matrice repr´esentant l’application lin´eaire soitla plus simple possible. C’est le probl`eme de la r´eduction d’une matrice. Le cas le plus simple est celui des matrices carr´ees diagonalisables. Mais toutes les matrices carr´ees ne sont pas diagonalisables... D’autre part, toutes les matrices ne sont pas carr´ees. Comment r´eduire des matrices rectangu-laires ? Ou plutˆot, comment d´ecomposer une matrice en un produit de matrices ayant de
”bonnes” propri´et´es ? Cependant, avant d’aborder les diff´erents types de r´eduction ou de d´ecomposition et pour mieux comprendre leur interpr´etation g´eom´etrique, il est n´ecessaire d’aborder la notion de projecteur qui sera d´evelopp´ee au chapitre quatre.
2.1 Les projecteurs
La notion de projection est fondamentale tant en analyse fonctionnelle lors de l’ap-proximation par des s´eries de fonctions qu’en statistique o`u pour prendre un exemple simple, la moyenne d’une variable s’exprime comme la projection sur la ”droite des constantes”. De nombreuses m´ethodes statistiques comme la r´egression lin´eaire, l’analyse en composantes principales, etc, sont bas´ees sur les projecteurs. Dans tous les espaces vec-toriels sur lesquels on a d´efini un produit scalaire, la projection est un outil pour r´esoudre de nombreux probl`emes d’optimisation. On reviendra sur cette notion dans la section quatre.
2.1.1 Sous espaces suppl´ ementaires et projecteurs
Soient F etG deux s.e.v. du IK-e.v.E.
F +G={x+y|x∈F, y ∈G} et F ×G={(x, y)|x∈F, y ∈G}. On dit que F etG sont suppl´ementaires si F T
G={0E}et F +G=E.
De fa¸con ´equivalente : tout vecteur x de E s’´ecrit de mani`ere unique x=u+v avec u ∈F et v ∈G.
E est alors somme directe de F etG not´eE =F ⊕G
Remarquons que le suppl´ementaire d’un s.e.v. n’est pas unique.
Si F et Gsont suppl´ementaires, les applications p et q deE dans E d´efinies par
∀x∈E, x=p(x) +q(x) avec p(x)∈F et q(x)∈G sont lin´eaires (endomorphismes de E) et v´erifient :
P1 p2 =p; q2 =q (idempotence) P2 p oq =q op= 0
P3 p+q=IdE
P4 Im p=F =Ker q et Im q =G=Ker p.
On dit que p est la projection sur F parall`element `a G et que q = IdE −p est la projection sur Gparall`element `a F ou encore le projecteur suppl´ementaire dep.
On appelle projecteur dans un IK-e.v.E tout endomorphisme idempotent de E.
Dans le cas particulier o`u les deux sous espaces suppl´ementaires sont orthogonaux (bien sˆur, E est muni d’un produit scalaire)
E =F ⊕F⊥
alors les projecteurs pet q associ´es sont dits projecteurs orthogonaux.
2.1.2 Exemple fondamental
Soient u etv deIKn muni du produit scalaire usuel, tels que
< u, v >=v∗u= 1.
Remarquons que, puisque < u, v >= kuk2kvk2cos(u, v), la condition pr´ec´edente impose que l’angle vectoriel entre uet v est aigu. Consid´erons la matrice n×n
P =uv∗.
Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees
Cette matrice jouit des propri´et´es suivantes :
P2 =uv∗uv∗ =uv∗ =P et si x∈Im u, c’est `a dire si x=αu,
P x=uv∗(αu) =αuv∗u=αu =x . Mais, si x est orthogonal `a v, alors
P x=uv∗x=u(v∗x) = 0.
L’image deP est doncIm u, le noyau deP est le sous espace vectoriel de dimensionn−1 orthogonal `av.
IKn=Im u⊕ {Im v}⊥.
P est donc la matrice de l’application lin´eaire ”projection suruparall`element `a{Im v}⊥”.
u v
Px x
Im P Ker P
Figure 1 : Projection sur u parall`element `a {Im v}⊥.
Si on choisit v = u et kuk2 = 1, dans ce cas, le projecteur orthogonal s’´ecrit P =uu∗.
D’une fa¸con plus g´en´erale, soit F donn´e ainsi qu’une base {u1, . . . , ur} orthonorm´ee de F. SoitU = [u1, . . . , ur], alors U∗U =Ir. On montrera au chapitre suivant que la matrice
P = Xr
i=1
uiu∗i =UU∗
est le projecteur orthogonal sur F = Im U. Le projecteur (P2 = P) est orthogonal car P =P∗.
2.1.3 D’autres matrices orthogonales : les matrices de r´ eflexion
La dimension 2 :
Une matrice Q, 2×2, orthogonale et sym´etrique, est une matrice de r´eflexion si elle est de la forme
Q=
"
cos(θ) sin(θ) sin(θ) −cos(θ)
#
, (d´et(Q) =−1).
Si y = Qx = Q′x, y est obtenu par sym´etrie du vecteur x par rapport `a la droite vectorielle d´efinie par
S =Im
"
cos(θ/2) sin(θ/2)
# . La dimension n :
Soit v ∈IRn, v 6= 0, une matrice Q, n×n, orthogonale et sym´etrique, est une matrice de r´eflexion de Householder si elle est de la forme
Q(v) =In−2vv′/v′v , (d´et(Q(v)) =−1).
Par un l´eger abus de langage on convient que Q(0) =In bien que d´et(Q(0)) = 1.
v
-u
x = z + u Projection orthogonale P = vv’/ v’v
Reflexion Q(v) = I - 2 P
{Im v}
z = (I - P) x u = Px
y = Q(v) x = z - u Figure 2 : Sym´etrie par rapport `a l’hyperplan vectoriel {Im v}⊥.
Calcul Matriciel et Analyse Factorielle des Donn´ees
Siy=Q(v)x=Q′(v)x,y est obtenu par sym´etrie du vecteurx par rapport `a l’hyperplan vectoriel {Im v}⊥ = {z = (z1, . . . , zn) ∈ IRn|z′v = v1z1+. . . vnzn = 0}. Cela r´esulte du fait que la matrice P = vv′/v′v est la matrice de projection orthogonale sur Im v (clef section 2 1.2).
Proposition : Toute matrice Q n × n orthogonale peut s’´ecrire comme le produit den r´eflexions
∃v1, . . . , vn∈IRn, Q=Q(v1). . . Q(vn).
Remarque : Les endomorphismes de (IRn,k.k2) canoniquement associ´es `a des matrices carr´ees orthogonales Q, sont appel´es des isom´etries de (IRn,k.k2) car d’apr`es P4 les normes sont conserv´ees (kQxk2 = kxk2) ou de fa¸con ´equivalente les produits scalaires (< Qx, Qy >=y′Q′Qx=< x, y >). Pour les angles, on a
cos(Qx, Qy) = < Qx, Qy >
kQxk2kQyk2
= cos(x, y).