Représentations essentiellement admissibles

−→ bZ_J0, χ⁰ 7→ χ⁰χ. La composée bZJ ,→ bZJ0 χ −→ ∼ Z^bJ0 se factorise à travers bZJ χ −→ ∼ Z^bJ(χ) où bZJ(χ) est un sous-espace rigide fermé de bZJ0 défini de façon analogue à (W₀)J(χ) ci-avant.

Enfin, par la définition des modules coadmissibles (cf. [71, p.152]), on a

Proposition 5.1.15. Le foncteur M 7→ Γ( bZ_J, M) induit une équivalence de catégories entre la catégorie des faisceaux cohérents sur bZJ et la catégorie des modules coadmissibles sur Γ bZ_J, O

b ZJ
.

Lorsque Z est de plus compact, par la Prop. 5.1.14, le foncteur M 7→ Γ( bZJ, M)^∨_b induit donc une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des faisceaux cohérents sur bZ_J et la catégorie des représentations localement J -analytiques admissibles de Z sur E.

5.1.5 Représentations essentiellement admissibles

Définition 5.1.16 ([33, Def.6.4.9]). Soit G un groupe F_℘-analytique de centre Z_G F℘ -analytique et topologiquement de type fini. Pour une représentation localement Qp -analytique V de G sur E, on dit que V est essentiellement admissible si V est un espace de type compact et le dual fort V_b^∨ est un module coadmissible sur l’algèbre de Fréchet-Stein D_Qp(H, E)⊗b_EΓ  [ (ZG)_Σ℘, O_(Z[ G)_Σ℘ 

pour un (ou de manière équivalente tout) sous-groupe ouvert compact H de G.

Par la proposition5.1.14et la discussion au-dessus de de Déf. 5.1.9, on a

Proposition 5.1.17. Soient J ⊆ Σ_℘, V une représentation localement J -analytique de G sur E, alors V est essentiellement admissible (comme représentation localement Qp-analytique de G) si et seulement si V_b^∨ est un module coadmissible sur l’algèbre de Fréchet-Stein D_J(H, E)⊗b_EΓ^(Z[_G)_J, O_[

(ZG)_J



pour un (ou de manière équivalente tout) sous-groupe ouvert compact H de G.

Soient Z un groupe abélien F_℘-analytique topologiquement de type fini, Z₀ un sous-groupe ouvert compact de Z. Pour une représentation localement J -analytique essentiellement admissible V de Z sur E, l’action de D_J(Z₀, E)⊗b_EΓ bZ_J, E
sur V∨

b se factorise donc à travers celle de Γ bZJ, E
(cf. (5.18)). Dans ce cas, on a par la proposi-tion5.1.15une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des faisceaux cohérents sur bZ_J et la catégorie des représentations localement J -analytiques essentiellement ad-missibles de Z sur E. Notons M(V ) le faisceau cohérent sur bZJ associé à V via cette anti-équivalence de catégories. On a donc V ∼= Γ( bZ_J, M(V ))^∨_b.

Soit χ un caractère localement J -analytique de Z à valeurs dans E^×, pour une représentation localement J -analytique essentiellement admissible V de Z sur E, on note V (χ) la torsion de V par χ.

Proposition 5.1.18. La torsion V (χ) est une représentation localement J -analytique essentiellement admissible de Z sur E, et on a de plus M(V (χ))−→ (χ^{∼ −1})^∗M(V ) où χ⁻¹ désigne l’isomorphisme d’espaces rigides sur E: bZJ → bZJ, χ⁰7→ χ⁰χ⁻¹.

Proof. Notons V^{0 d´}= Γ b^ef ZJ, (χ⁻¹)^∗M(V )
∨

b, qui est, par l’anti-équivalence de catégories, une représentation localement J -analytique essentiellement admissible de Z sur E. De plus, l’application naturelle Γ

 b

ZJ, M(V ) 

→ Γ^ZbJ, (χ⁻¹)^∗M(V )^ induit un isomor-phisme d’espaces de type compact i : V⁰ −^∼→ V puisque χ⁻¹ : bZJ → bZJ est un isomorphisme
. On vérifie directement que i(g(v0)) = χ⁻¹(g)g(i(v⁰)) pour tout v⁰∈ V⁰ et g ∈ Z, autrement dit, V⁰∼_{= V (χ), ceci permet de conclure.}

Soient L une extension finie de E, χ ∈ bZ_J(L), notons m_χ l’idéal maximal de L[Z] (la L-algèbre du groupe Z) associé à χ, et V_L^{χ,g d´}= lim^ef_−→

nV_L[mⁿ_χ] (resp. V_L^χd´= V^ef _L[mχ]) le sous-espace propre généralisé (resp. le sous-espace propre) de V ⊗_EL par rapport à χ, où V_L[mⁿ_χ] désigne le sous-L[Z]-module de V_L^d´= V ⊗^ef _EL annulé par mⁿ_χ. Notons

V_L^{g d´}=^ef ⊕_{χ∈ bZ}

J(L)V_L^χ,g
∩ V_L, (5.19) et V^{g d´}= lim^ef _−→

LV_L^g où L parcourt toutes les extensions finies de E. Noter que le L-espace vectoriel ⊕_{χ∈ bZ}

J(L)V_L^χ,g est muni d’une action naturelle de Gal(L/E), et on a V^{g ∼}= ⊕_{χ∈ bZ}

J(L) V_L^{χ,g
Gal(L/E)} lorsque L est galoisienne sur E. On a aussi V^g = L

χ∈ bZJ(E)(lim_−→nV [mⁿ_χ]), où mχdésigne ici l’idéal maximal de E[Z] associé à χ, et V [mⁿ_χ] désigne le sous-E[Z]-module de V annulé par mn

χ. On voit facilement que Vg est stable sous l’action de Z.

Proposition 5.1.19. (1) Soient L une extension finie de E, χ ∈ bZ_J(L), notons M(V )_χ ^d´= M(V ) ×^ef

b

ZJ,χSpec L, alors le morphisme naturel M(V )_χ
∨

b → V induit un isomorphisme de L-espaces vectoriels équivariant sous l’action de Z:

M(V )_χ
∨ b

∼

− −→ V_L^χ.

(2) La sous-représentation V^g est dense dans V .

Proof. (1) Notons m_χ l’idéal maximal de Γ( bZ_J, O

b

ZJ) ⊗_E L associé à χ (e.g. voir Lem.5.1.21ci-dessous), et V_L[mχ]^d´= {v ∈ V ⊗^ef _EL | mχv = 0}. On a V_L[mχ] = V_L^χ (e.g. voir la discussion avant [33, Cor.6.4.14]). La partie (1) découle donc de l’isomorphisme de [33, l.16, p.130].

(2) Notons supp(M(V )) le support de M(V ) dans bZJ (cf. [11, §9.5.2]). Soient L une extension finie de E, χ ∈ supp(M(V ))(L), donc M(V )_χ 6= 0 (e.g. voir la preuve

du lemme 5.A.3 ci-dessous), d’où on déduit que V_L^χ (ainsi que V^g) n’est pas nul par (1). Notons Vg l’adhérence de V^g dans V , d’après [33, lem.6.4.8], Vg et W ^d´= V /V^ef g

sont aussi des représentations localement J -analytiques essentiellement admissibles de Z. Mais pour toute extension finie L de E, et pour tout χ ∈ bZJ(L), on a une suite exacte (par le lemme5.1.20ci-dessous)

0 → (Vg)^χ,g_L → V_L^χ,g → W_L^χ,g → 0 (5.20)

d’où on déduit que W_L^χ,g ainsi que W_L^χ
est nul. Par (1), on a alors W = 0. Ceci permet de conclure.

Lemme 5.1.20. La suite (5.20) est exacte.

Proof. L’exactitude de (5.20) découle du lemme d’Artin-Rees, on donne une preuve com-plète pour la commodité du lecteur. Soit m_χl’idéal maximal fermé de Γ( bZJ, O

b

ZJ) ⊗EL associé à χ, on a V_L^χ,g = lim_−→nVL[mⁿ_χ] où VL[mⁿ_χ]^d´= {v ∈ V ⊗^ef EL | mⁿ_χv = 0}. Comme il y a une suite exacte

0 → (Vg)^χ,g_L → V_L^χ,g → W_L^χ,g, il suffit donc de montrer que l’application

j : V_L^χ,g −→ W_L^χ,g (5.21)

est surjective. Notons M⁰ le faisceau cohérent sur bZJ associé au dual fort de W , qui est donc un sous-O

b

ZJ-module de M(V ). Soit U ∼= Spm A un ouvert affinoïde de b

ZJ contenant χ, notons encore m_χ l’idéal maximal de A associé à χ. Posons M ^d´=^ef Γ(U , M(V )) et M^{0 d´}= Γ(U , M^{ef 0}), qui sont des A-modules de type fini. D’après [71, Cor.3.1], M ∼= Γ( bZJ, M(V )) ⊗_{Γ( bZ} J,O b ZJ⁾A et M^0∼= Γ( bZJ, M⁰) ⊗_{Γ( bZ} J,O b ZJ⁾A. En outre, par le Lem. 5.1.21 ci-dessous, Γ( bZJ, O

b

ZJ)/mⁿ_χ ^∼= A/mⁿ_χ pour tout n ∈ Z>0. Ceci combiné avec l’isomorphisme de [33, l.16, p.130] entraîne que V_L[mⁿ_χ] ∼= A/mⁿ_χ⊗b_AM
∨

et W_L[mⁿ_χ] ∼= A/mⁿ_χ⊗b_AM^0
∨ pour tout n ∈ Z>0. On se ramène donc à montrer que A/mⁿ_χ⊗b_AM^0
∨est contenu dans l’image de j pour tout n ∈ Z>0(ou même pour n  0). Soit n ∈ Z>0, d’après le lemme d’Artin-Rees, il existe m(n) ∈ Z>0 (m(n) ≥ n) tel que m^m(n)_χ M ∩M⁰ ⊂ mn

χM⁰. On a donc une projection M⁰/(m^m(n)χ M ∩M⁰) → M⁰/mⁿ_χM⁰. Or, le diagramme suivant est commutatif

(M/mⁿ_χM )^∨ −−−−→ (M/mχ^m(n)M )^∨ −−−−→ (M/m^{id m(n)}_χ M )^∨   y   y   y (M⁰/mⁿ_χM⁰)^∨ −−−−→ M⁰/(mχ^m(n)M ∩ M⁰)
^∨ −−−−→ (M⁰/m^m(n)χ M⁰)^∨

où toutes les applications horizontales sont injectives (car leurs duaux sont surjectives), et la deuxième application verticale est surjective (car sa duale est injective). On en déduit que (M⁰/mⁿ_χM⁰)^∨ est contenu dans l’image de j au "niveau" m(n), ceci permet de conclure.

Lemme 5.1.21. Soient X un espace rigide quasi-Stein sur E, {U_i ∼_{= Spm A}

i}_i∈Z≥0 un recouvrement admissible de X par une suite croissante des ouverts affinoïdes tel que le morphisme induit A_i+1 → A_i soit d’image dense pour tout i ∈ Z≥0, notons A ^d´= Γ(X, O^ef _X) ∼= lim_←−

i∈Z≥0A_i. Soit z un point fermé de X qui correspond donc à un idéal maximal m_i de A_i pour tout A_i vérifiant x ∈ U_i(E), alors m^d´= lim^ef _←−m_i est un idéal maximal fermé de A. De plus, pour tout n ∈ Z≥1 et i tel que x ∈ U_i(E), le morphisme naturel A/mⁿ−→ A_i/mn

i est un isomorphisme.

Proof. On sait que A est une E-algèbre de Fréchet-Stein (e.g. voir la discussion au-dessus de [33, Prop.2.1.19]). Sans perte de généralité, on suppose z ∈ U_i(E) pour tout i ∈ Z≥0, on a m_i+1⊗_Ai+1A_i ^∼= mi, et donc m est un idéal fermé de A par [71, Lem.3.6]. De plus, par [71, Thm (ii), p.152], en prenant la limite projective, on déduit des suites exactes pour tout i

0 → m_i → A_i → k_z → 0

(où k_z désigne le corps résiduel en z) une suite exacte de A-modules

0 → m → A → k_z → 0.

Donc m est un idéal maximal fermé de A, d’où la première partie du lemme. On en déduit que mⁿ est un idéal fermé de A pour tout n ∈ Z≥1. Notons (mⁿ)_i^d´= m^{ef n}⊗_AA_i, et montrons que (mⁿ)_i ^∼= mⁿ_i (et donc mⁿ∼_{= lim}

←−^mni): comme A_i est plat sur A, (mⁿ)_i est un idéal de A_i, par le diagramme commutatif suivant

(m ⊗_A· · · ⊗_Am) ⊗_AA_i −−−−→ A_i⊗_Ai· · · ⊗_AiA_i ←−−−− m_i⊗_Ai· · · ⊗_Aim_i   y   y   y mⁿ⊗_AAi −−−−→ Ai ←−−−− mⁿ_i ,

et l’isomorphisme naturel (m ⊗_A· · · ⊗_Am) ⊗_AA_i −→ m^∼ _i ⊗_Ai · · · ⊗_Ai m_i, on voit que l’injection (mⁿ)i,→ Ai se factorise à travers mⁿ_i et induit un isomorphisme (mⁿ)i

∼

−→ mn i. On obtient alors un isomorphisme A/mⁿ −→ lim^∼

←−^Ai/mⁿ_i. On conclut enfin par [11, Prop.7.2.2/1 (ii)].

Remarque 5.1.22. En général, soit X un espace rigide analytique strictement quasi-Stein sur Spec E (cf. [33, Def.2.1.17 (iv)]), A ^d´= Γ(X, O^ef X) est donc une E-algèbre de Fréchet-Stein. Soit F un faisceau cohérent sur X, M ^d´= Γ(X, F ) est donc un A-^ef module coadmissible (et aussi un E-espace de Fréchet nucléaire). Considérons le dual continu M_b^∨ de M muni de la topologie forte, qui est un espace de type compact sur E muni naturellement d’une action continue de A, on peut définir (M_b^∨)g de façon analogue à V^g ci-avant, i.e. (M_b^∨)^g est le sous-E-espace vectoriel de M_b^∨ engendré par les vecteurs annulés par une puissance d’un certain idéal maximal de A. Donc (M_b^∨)^g et son adhérence (M_b^∨)g dans M_b^∨ (qui est aussi un E-espace vectoriel de type compact, voir [69, Prop.1.2]) sont stables sous l’action de A. L’injection (M_b^∨)g ,→ M_b^∨ induit une projection (continue) de A-modules M  (M_b^∨)g^∨. De façon analogue, on montre que c’est en fait un isomorphisme. Donc (M_b^∨)^g est dense dans M_b^∨.

Soit U un ouvert admissible strictement quasi-Stein de bZ_J sur Spec E, notons W ^d´=^ef Γ(U , M(V ))^∨_b. Ce dernier est muni d’une représentation de Z induite par l’action naturelle de Γ bZJ, O

b

ZJ
sur Γ(U, M(V )).

Proposition 5.1.23. La représentation W est une sous-représentation de V .

Proof. Il suffit de montrer que l’application de restriction Γ( bZ_J, M(V )) → Γ(U , M(V )) est d’image dense. Comme U est strictement quasi-Stein, il existe une suite de sous-affinoïdes U₁ ⊆ U₂· · · ⊆ U_n ⊆ · · · de U telle que ∪_nU_n = U , et Γ(U , M(V )) ∼= lim

←−nΓ(U_n, M(V )). On se ramène à montrer que Γ( bZ_J, M(V )) est dense dans Γ(U_n, M(V )) pour tout n ∈ Z>0, ce qui découle du fait que bZ_J est quasi-Stein.