Affinoïdes des courbes de Shimura unitaires

Soit K un sous-groupe ouvert compact net de G(A^∞) maximal en ℘ (cf. Ex. 2.1.3), d’après [20, §5], M_K (sur Spec F_℘) admet un modèle MK propre et lisse sur Spec O_℘, qui représente le foncteur:

MK :ⁿSchémas sur Spec O_℘^o−→ⁿEnsembles^o

défini comme ci-après:

Soit S un schéma sur Spec O_℘ avec τ : S → Spec O_℘ le morphisme structural, MK(S) est l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets (A, ι, θ, α℘) qui vérifient

1. A est un schéma abélien de dimension relative 4d_F sur S, muni d’une action de O_D via ι : O_D ,→ End_S(A) (ainsi Lie(A) est un O_D⊗_ZZp-module) vérifiant que: (a) le O_S-module projectif Lie(A)^−,1_℘ est de rang 1, et O_℘ y opère via le

mor-phisme structural τ : O_℘→ O_S; (b) pour tout ℘_i|p et ℘_i 6= ℘ , Lie(A)⁻_℘

i est nul; 35

2. θ est une polarisation de A, d’ordre premier à p, telle que l’involution de Rosati associée envoie ι(γ) sur ι(γ^∗);

3. α℘ est une classe modulo K^℘ d’isomorphismes:

α^℘= α^p⊕ α℘

p : T^p(A) ⊕ T_p^−,℘−−→ V^∼

b

Z^p⊕ (V_Zp)^−,℘ avec α^p symplectique et α^℘_p linéaire.

Considérons le groupe p-divisible associé à A: A[p^∞]^d´= lim^ef _−→nA[pⁿ], qui est donc muni d’une action de O_D⊗_ZZp. On a un isomorphisme naturel de O_S-modules Lie(A[p^∞])−^∼→ Lie(A). En utilisant les idempotents e^±,k℘i ∈ O_D⊗_ZZp, A[p^∞] se décompose comme

A[p^∞]−−→^{∼ Y}

℘i|p

A[p^∞]^+,1_℘i × A[p^∞]^+,2_℘i × A[p^∞]^−,1_℘i × A[p^∞]^−,2_℘i
(3.1)

avec A[p^∞]^±,k℘i ∼_{= A[$}∞

i ]^±,k où A[$^∞_i ]^d´= lim^ef_−→nA[$_iⁿ], voir §2.1.1.2
et Lie(A[$∞

i ]^±,k)−→^∼ Lie(A)^±,k℘i .

Notons ε : A → MK le schéma abélien universel sur MKavec e : MK → A la section identité,

ω_A,− ^d´= (ε^ef ∗Ω¹

A/MK)^−,1_℘ ^∼= e^∗Ω¹

A[$^∞]−,1/MK,

qui est donc un O_MK-module localement libre de rang 1 par la condition 1 (a), et MK

d´ef

= MK⊗_O℘Fq. Soit x = (A, ι, θ, α℘) un Fp-point de MK, on déduit de la condition 1 (a) que le groupe p-divisible A[$^∞]^−,1, appelé un groupe $-divisible comme dans [20], est de dimension 1 sur Spec Fp. Suivant [20, Appendice], posons

Définition 3.1.1. Soit H un groupe $-divisible sur Fp, la ℘-hauteur de H est l’entier ht_℘(H) ∈ Z≥0 tel que rang H[$ⁿ] = q^{n ht}℘(H).

On a ht_℘ A[$^∞]^−,1
= 2, puisque le module de Tate T_p A[$^∞]^−,1
est isomorphe à O_℘². Notons (A[$^∞]^−,1)⁰ la composante neutre de A[$^∞]^−,1, on a alors

h₀(A)^d´= ht^ef _℘ (A[$^∞]^−,1)⁰
∈ {1, 2}.

Lorsque h₀(A) = 1, on dit que A (ou le point x) est ordinaire; lorsque h0(A) = 2, on dit que A (ou le point x) est supersingulier.

D’après Kassaei (cf. [48, §6]), il existe une section H ∈ H⁰ _MK, ω^q−1

A,−
de sorte que pour tout Fp-point x = (A, ι, θ, α℘) de MK, la restriction de H à x via

H⁰ _MK, ω^q−1

A,−
−→ H0

Spec Fp, x^∗ω^q−1

A,−
, est nulle si et seulement si A est supersingulier. On en déduit

Notons MK ss

le sous-schéma fermé de MK défini par H, et MK ord

son complément dans MK, qui est donc un ouvert Zariski-dense de MK. Signalons que MK

ss

est un schéma réduit d’après [48, Prop.6.3].

Proposition 3.1.3 ([48, Prop.7.2]). Supposons q > 3, alors il existe une section eH ∈ H⁰ _MK, ω^q−1

A,−
telle que l’application canonique H⁰ MK, ω^q−1 A,−
−→ H0 MK, ω^q−1 A,−
envoie eH sur H.

Remarque 3.1.4. En général, le relevé eH n’est pas unique, mais nous fixerons un choix dans la suite.

Notons M_K le complété de MK le long de sa fibre spéciale MK, M^rig_K l’espace analytique rigide associé au sens de Raynaud (cf. [8, §0.2]) et M_K^an l’espace analytique rigide associé à M_K. Comme MK est propre, on a un isomorphisme canonique M^rig_K ∼₌ M_K^an d’espaces analytiques rigides (cf. [8, (0.3.5)]). Notons

sp : M^rig_K −→ M_K

l’application de spécialisation (cf. [8, (0.2.2.1)]), et M_K^{ord d´}= sp^{ef −1}_MK^ord noter que l’application MK → M_K est un homémorphisme
, qui est alors un ouvert admissible dans M^rig_K.

Soit x = (A, ι, θ,α℘) un point fermé de M_K, notons L_x le corps résiduel de x, qui est une extension finie de F_℘, et R_x l’anneau des entiers de L_x. La valuation υ_℘ de F℘ s’étend naturellement à L_x. Comme MK est propre, il existe un unique morphisme x: Spec Rx → MK tel que le diagramme suivant soit commutatif

Spec L_x −−−−→ M_K   y   y Spec Rx x −−−−→ MK . Choisissons un générateur s de x^∗ω^q−1

A,−, il existe alors a ∈ R_x tel que x^∗H = as. Posonse Ha(x)^d´= υ^ef ℘(a) ∈ Q≥0

(que l’on note Ha(A) ou Ha(x) parfois) qui ne dépend pas du choix de s et est appelé l’invariant de Hasse de A. Pour toute extension finie L de F_℘, on a alors

M_K^ord(L) =x ∈ Mrig

K(L) | Ha(x) = 0 = x ∈ Man

K(L) | Ha(x) = 0 .

On dispose des affinoïdes M_K^≤r (cf. [48, §8.2], voir aussi [23, §1]) dans M_K^an pour tout r ∈ Q ∩ [0, 1[ définis par

M_K^≤r(L) =x ∈ Man

pour toute extension finie L de F_℘. D’après Kassaei (cf. [48, Prop.8.7]), M_K^≤radmet un O_℘-modèle canonique M^≤r_K i.e. un schéma formel sur O_℘ de fibre générique (M^≤r_K)^rig isomorphe à M_K^≤r
tel que M^≤r_K(OL) = x ∈ Mrig

K(OL) | Ha(x) ≤ r pour toute extension finie L de F_℘ avec O_L son anneau des entiers. En fait, les {M_K^≤r}_{r∈Q∩]0,1[} forment une famille de voisinages stricts (cf. [8, (1.2.1)]) de M_K^ord dans M_K^an.

Remarque 3.1.5. Soit r ∈ Q ∩ [0,_q+1^q [, d’après [48, Cor.13.2], l’affinoïde M_K^≤r ne dépend pas du choix de eH.

Soit τ ∈ Σ_℘, notons (MK)_τ,OE ^d´= M^ef K×_{τ,Spec O℘}Spec O_E, (M_K)_τ,OE ^d´= M^ef _K×_{τ,Spec O℘} Spec OE qui est le complété de (MK)τ,OE le long de sa fibre spéciale, (M_K)^rig_τ,O

E

d´ef

= M^rig_K ×_{τ,Spec F℘} Spec E qui est l’espace analytique rigide associé à (MK)τ,OE et iso-morphe à (M_K)^an_τ,E, l’espace analytique rigide associé à (M_K)_τ,E. Notons (M_K)^ord_τ,E ^d´=^ef M_K^ord×_{τ,Spec F℘}Spec E, (M_K)^≤r_τ,E ^d´= M^ef _K^≤r×_{τ,Spec F℘}Spec E et (M_K)^≤r_τ,O

E

d´ef

= M^≤r_K ×_{τ Spec O℘} Spec O_E pour tout r ∈ Q ∩ [0, 1[. Pour un faisceau cohérent F sur (MK)_τ,E, notons encoreF le faisceau cohérent associé sur (MK)^an_τ,E.

Définition 3.1.6. Soient τ ∈ Σ_℘, k_1,σ ∈ Z≥2, k_2,σ ∈ Z pour tout σ ∈ Σp\ {τ } et k₊, k−∈ Z (resp. k1,τ ∈ Z≥2, k_2,τ ∈ Z), l’espace des formes modulaires surconvergentes de niveau K de poids (k₊, k−; k_1Σ

p\{τ }, k_2Σ

p\{τ }) resp. de poids (k_1Σ

p, k_2Σ

p)
sur (τ, E) est le E-espace vectoriel (cf. la définition 2.3.3)

S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ}),†d´}= lim^ef _−→

r→0+

H^0(M_K)^≤r_τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})} (3.2)



resp. S_τ,E^{(k1Σp,k2Σp),† d´}= lim^ef _−→

r→0+ H⁰  (MK)^≤r_τ,E, S_τ,E^{(k1Σp,k2Σp)}  .

Lemme 3.1.7. L’application de restriction

H⁰  (MK)^an_τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})}  −→ H^0(MK)^≤r_τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})} 

est injective. Plus généralement, pour tous r₁ ≤ r₂∈ Q, l’application de restriction H^0(M_K)^≤r2

τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})}−→ H^0(M_K)^≤r1

τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})} est injective.

Proof. La preuve est la même que [8, (0.1.13)], puisque (M_K)ord

τ,E est Zariski-dense dans (MK)^an_τ,E.

Le E-espace vectoriel H⁰ 

(MK)^≤r_τ,E, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ})} 

est muni d’une norme naturelle de Banach (voir (3.35) et le lemme 3.3.3 ci-dessous), et les morphismes de

transition dans (3.2) sont compacts. Par conséquent, S_τ,E^{(k+,k−;k1Σp\{τ},k2Σp\{τ}),†} est un E-espace vectoriel de type compact au sens de Schneider-Teitelbaum ([69, §1]).

Considérons la courbe M_K(℘ⁿ) (n ∈ Z>0, cf. l’exemple 2.1.4), d’après [20, §7.3], MK(℘ⁿ) admet un modèle propre MK(℘ⁿ) sur Spec O℘ avec

MK(℘ⁿ)(S) = {(A, ι, θ, α℘, C_n) | (A, ι, θ, α℘) ∈ MK(S),

et C_n est un sous-(u, ℘)-groupe de A d’échelon n}

pour tout schéma S sur Spec O_℘. En effet, le problème de module MK(℘ⁿ) défini ci-dessus est relativement représentable sur MK, donc représentable puisque MK l’est. Le schéma représentant ce foncteur est fini sur MK et donc propre sur Spec O_℘.

Soit ε : A → MK(℘n) le schéma abélien universel avec Cn → MK(℘n) le sous-(u, ℘)-groupe universel de A d’échelon n, notons Hn

d´ef

= (Cn)^−,1℘ avec e : Hn→ MK(℘ⁿ) la section identité, on dispose donc d’un faisceau cohérent ω_Hn ^d´= e^{ef ∗}Ω1

Hn/MK(℘n) sur MK(℘ⁿ).

Notons M_K(℘ⁿ) le complété de MK(℘ⁿ) le long de sa fibre spéciale, MK(℘ⁿ)^rig l’espace analytique rigide associé. Comme MK(℘ⁿ) est propre, on a M_K(℘ⁿ)^rig −^∼→ MK(℘ⁿ)^an l’espace analytique rigide associé à M_K(℘ⁿ)
par [8, (0.3.5)]. En particulier, M_K(℘ⁿ)^rig est lisse sur F_℘ comme M_K(℘ⁿ) l’est.

Soient L une extension finie de F_℘ avec O_L son anneau des entiers et G un schéma en groupes fini et plat sur Spec O_L avec e : Spec O_L → G la section identité, on voit que ω_G ^d´= e^{ef ∗}Ω¹_{G/ Spec O}

L est un O_L-module fini. Il existe alors des x_i ∈ O_L en nombre fini tels que ω_G ∼_{= ⊕}

iO_L/xi. Suivant Fargues, posons deg(G)^d´=^efP

iυ℘(xi). On a (cf. [41, Lem.4])

Proposition 3.1.8. (1) Soit 0 → G⁰ → G → G⁰⁰ → 0 une suite exacte de schémas en groupes finis et plats sur Spec O_L, alors on a deg(G) = deg(G⁰) + deg(G⁰⁰).

(2) Soit G un schéma en groupes fini et plat sur Spec O_L, on a

deg(G) + deg(G^∨) = e ht(G),

où G^∨ désigne le dual de Cartier de G, ht(G) est la hauteur de G et e est l’indice de ramification de F_℘ sur Qp (ainsi e = _d^d

0).

Soit maintenant x = (A, ι, θ, α℘, Cn) un L-point de MK(℘ⁿ)^anavec x = (A, ι, θ, α℘, Cn) le O_L-point de M_K(℘ⁿ) associé. La suite exacte

0 → A[$ⁿ]^−,1→ A[$^∞]^{−,1 $}−−→ A[$^{n ∞}]^−,1→ 0 induit une suite exacte de O_L-modules

0 → e^∗Ω¹_A[$∞]−,1/ Spec OL

$n

d’où on déduit deg A[$ⁿ]^−,1
= n car e∗Ω_A[$¹ ∞]−,1/ Spec OL est un O_L-module libre de rang 1
. Posons

deg(x)^d´= deg (C^ef _n)^−,1_℘
∈ Q ∩ [0, n].

Lemme 3.1.9. Pour tous a, b ∈ [0, n] ∩ Q, a ≤ b, il existe un unique ouvert admissible M_K(℘n)[a, b] de M_K(℘n)an tel que

M_K(℘ⁿ)[a, b](L) = {x ∈ M_K(℘ⁿ)^an(L) | a ≤ deg(x) ≤ b}

pour toute extension finie L de F_℘

Proof. On construit M_K(℘ⁿ)[a, b] localement. Soit U−→ Spf R un sous-schéma formel^∼ affine ouvert de M_K(℘ⁿ) assez petit pour que ω_A/Cn,−

U et ω

A,−

 

U soient libres. On dispose d’une suite exacte de O_U-modules:

0 → ω_A/Cn,− U φ^∗ −→ ω A,−   U→ ω Cn,−   U→ 0

induite par l’isogénie O_D-linéaire φ : A → A/Cn. Soient e₁ (resp. e₂) un généra-teur de ω A,−   U (resp. de ω A/Cn,−  

U) et s ∈ R tel que φ^∗(e2) = se1. Supposons a = ^a1

a2, b = ^b1

b2 avec a_i, b_i ∈ Z≥1, i = 1, 2, et posons U_a ^d´= Spm RhT i/(s^{ef a}1 − $a2T ) et U_b ^d´= Spm RhT i/($^{ef b}2 − sb1T ). L’ouvert Ua∩ U_b de U^rig est alors par définition M_K(℘ⁿ)[a, b]

Urig.

Soit τ ∈ Σ_℘, par le changement de base de O_℘ à O_E ou de F_℘ à E via τ , on définit MK(℘ⁿ)τ,OE, M_K(℘ⁿ)τ,OE, M_K(℘ⁿ)^rig_τ,O

E

∼

−→ M_K(℘ⁿ)^an_τ,E, M_K(℘ⁿ)τ,E[a, b] .

Soit K⁰ le sous-groupe ouvert compact de K tel que (K⁰)^℘ = K^℘ et K_℘⁰ ∼₌ ^_{g ∈}

GL2(O℘) | g ≡∗ 0 0 ∗  (mod $)  , et notons M_K(℘; ℘)^d´= M^ef K0. On a alors MK(℘; ℘)(S) = (A, ι, θ, α℘, C1, C₁⁰) | (A, ι, θ, α℘, C1) ∈ MK(℘)(S), et C₁⁰ est un sous-(u, ℘)-groupe de A d’échelon 1 différent de C₁

pour tout schéma S sur Spec F_℘. De plus, M_K(℘; ℘) admet un O_℘-modèle propre MK(℘; ℘) sur Spec O℘ tel que

MK(℘; ℘)(S) = (A, ι, θ, α℘, C1, C⁰₁) | (A, ι, θ, α℘, C1) ∈ MK(℘)(S), et C⁰₁ est un sous-(u, ℘)-groupe de A d’échelon 1 différent de C₁

pour tout schéma S sur Spec O_℘. Notons M_K(℘; ℘)_τ,OE le complété le long de la fibre spéciale de MK(℘; ℘)τ,OE

d´ef

= MK(℘; ℘) ×τ,Spec O℘Spec OE, M_K(℘; ℘)^rig_τ,O

E l’espace analytique rigide associé, et M_K(℘; ℘)^an l’espace rigide associé à M_K(℘; ℘). On a un

isomorphisme d’espaces analytiques rigides sur Spec E: M_K(℘; ℘)^rig_τ,O

E

∼

= MK(℘; ℘)^an_τ,E 

où M_K(℘; ℘)^an_τ,E ^d´= M^ef K(℘; ℘)^an ×_{Spec F℘} Spec E 

. On dispose de deux morphismes naturels (finis étales) d’espaces analytiques rigides:

MK(℘; ℘)^an −→ M^p1 _K(℘)^an (A, ι, θ, α℘, C₁, C₁⁰) 7→ (A, ι, θ, α℘, C₁), MK(℘; ℘)^{an p} 0 1 −→ M_K(℘)^an (A, ι, θ, α℘, C1, C₁⁰) 7→ (A, ι, θ, α℘, C₁⁰). Soient a, b ∈ Q ∩ [0, 1[, a ≤ b, notons

MK(℘; ℘)τ,E[a, b] ^d´=^ef p⁻¹₁ MK(℘)τ,E[a, b]
, MK(℘; ℘)τ,E{[a, b]; [c, d]} ^d´=^ef p⁻¹₁ MK(℘)τ,E[a, b]
∩ (p0

1)⁻¹ MK(℘)τ,E[c, d]
, qui sont des ouverts admissibles de M_K(℘; ℘)^an_τ,E.

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