Problème de modules

Soit K un groupe ouvert compact de G(A^∞), la courbe MK(C) = G(Q) \ (X × (G(A^∞)/K)) admet un modèle canonique M_K sur F via u_C: F ,→ C. De plus, lorsque K est assez petit, M_K admet une interprétation modulaire. Le plongement u : E ,→ Qp

induit un plongement u : F ,→ F_℘. Dans cette section, suivant [20], on donne des rappels sur la description modulaire de la courbe M_K×_{Spec F ,u}Spec F_℘, encore notée M_K.

On présente deux problèmes de modules sur F_℘qui sont représentés par M_K lorsque K est assez petit.

2.1.1.1 La première version

Rappelons que (cf. [29, Th.4.19] et [20, §2.3]) lorsque K est assez petit, la courbe M_K (sur F_℘) représente le foncteur

M_K¹ : n

Schémas sur Spec F_℘ o

→ⁿEnsembles o

,

défini comme suit:

Soit S un schéma sur Spec F_℘avec τ : S → Spec F_℘le morphisme structural, M_K¹(S) est l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets (A, ι, θ, α) où

1. A est un schéma abélien à isogénie près de dimension relative 4d_F sur S, muni d’une action de O_D via ι : O_D ,→ EndS(A) (ainsi Lie(A) est un OD⊗_ZQp-module) vérifiant que:

(a) Lie(A)^−,1_℘ est un O_S-module localement libre de rang 1 sur lequel F_℘ agit via le morphisme structural τ ;

(b) Pour ℘_i6= ℘, Lie(A)⁻_℘

i est nul;

2. θ est une polarisation homogène de A (cf. [29, 4.3]) telle que l’involution de Rosati associée envoie ι(γ) sur ι(γ^∗);

3. α est une classe modulo K de similitudes symplectiques OD-linéaires localement pour la topologie étale sur S:

α : V ⊗_QA^∞−→ bV (A),

où bV (A)^d´= b^ef T (A) ⊗_{ZQ, avec b}T (A)^d´= lim^ef _←−

nA[n], est bien défini pour un schéma abélien à isogénie près, et où la forme symplectique O_D-linéaire sur bT (A) (qui se prolonge sur bV (A) de manière unique) est définie par

b

T (A) × bT (A)−−−→ b^(1,θ) T (A) × bT (A^∨) −→ bZ(1),

en choisissant une polarisation effective θ : A → A^∨ dans la classe θ. Noter que la forme symplectique sur bV (A) induite ne dépend pas du choix de θ.

Remarque 2.1.1. (1) On dit que (A, ι, θ, α) et (A⁰, ι⁰, θ0, α0) sont isomorphes si et seulement s’il existe une isogénie O_D-linéaire φ : A → A⁰ telle que θ = φ∨◦ θ0◦ φ et α = ˆφ−1◦ α0 où φ^∨ désigne l’isogénie duale de φ et où ˆφ désigne l’application (induite par φ): bV (A) → bV (A⁰).

(2) L’action de G(A^∞) sur le système des courbes {M_K} est donnée par rg : MK → M_g−1Kg

(A, ι, θ, α) 7→ (A, ι, θ, α ◦ g)

pour g ∈ G(A^∞).

2.1.1.2 La deuxième version

Notons V⁰

Z le réseau dual de V_Z par rapport à ψ, i.e.

V_Z^{0 d´}= {v ∈ V | ψ(v, w) ∈ Z pour tout w ∈ V^ef _Z}. Notons V b Z d´ef = V_Z⊗_ZZ, et Vb ⁰ b Z d´ef = V⁰ Z⊗_ZZ (où bb Z^d´=^efQ `Z`).

Soit K un sous-groupe ouvert compact de G(A^∞) assez petit pour laisser invariant V_b

Z. D’après [20, §2.6], le foncteur M_K¹ est isomorphe au foncteur M_K défini comme suit:

Soit S un schéma sur Spec F_℘avec τ : S → Spec F_℘le morphisme structural, M_K(S) est l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets (A, ι, θ, α) où

1. A est un schéma abélien de dimension relative 4d_F sur S, muni d’une action de O_D via ι : O_D ,→ End_S(A) (ainsi Lie(A) est un O_D⊗_ZQp-module) vérifiant que: (a) Lie(A)^−,1_℘ est un O_S-module localement libre de rang 1, et F_℘ y opère via le

morphisme structural τ ; (b) Pour tout ℘_i 6= ℘, Lie(A)⁻_℘

i est nul;

2. θ : A → A^∨ est une polarisation de A telle que l’involution de Rosati associée envoie ι(γ) sur ι(γ^∗);

3. α est une classe modulo K d’isomorphismes symplectiques OD-linéaires locale-ment pour la topologie étale sur S:

α : V b Z ∼ − −→ bT (A).

En effet, suivant [20, §2.6.2], étant donné un point (A, ι, θ, α) du problème de module M_K¹, comme K laisse invariant V

b

Z, on voit que le réseau adélique α(V

b

Z) ne dépend pas du choix de α. Il existe un unique schéma abélien A₀ dans la classe d’isogénie de A, tel que bT (A₀) soit égal à α(V

b

Z). Comme V

b

Z est stable sous l’action de O_D, ce dernier anneau opère sur A₀. De plus, il est possible, et ce de façon unique, de choisir une polarisation effective θ ∈ θ de A₀, telle que α(V⁰

b

Z) soit le réseau adélique dual de α(V

b Z) pour la forme symplectique associée à θ. L’isomorphisme de foncteurs M1

K ∼

−→ M_K donc envoie (A, ι, θ, α) sur (A₀, ι, θ, α|_V

b

Z). Enfin, noter que deg(θ) = |V⁰

b Z/V

b Z|.

Remarque 2.1.2. (1) Le sous-groupe ouvert compact K est dit net si M_K admet la description modulaire ci-dessus.

(2) Soit ` ∈ S<sub>Q</sub>, comme ψ induit une dualité parfaite sur V<sub>Z`</sub>, la condition 3 implique que le degré de θ est premier à `.

On spécifie une place finie ` de Q. Soit K = K`K^`, alors la condition 3 peut être séparée comme suit:

(i) α_{`</sub> : T<sub>`}[A] ∼= V_{Z`</sub> <sup>d´</sup>= V<sup>ef</sup> <sub>Z</sub> ⊗<sub>Z Z`}

est une classe modulo K_` d’isomorphismes symplectiques O_D-linéaires pour la topologie étale sur S;

(ii) α` : T<sup>`</sup>[A] ∼= V_b

Z^` d´ef

= V_Z ⊗_ZZb^{`</sup>
est une classe modulo K<sup>`} d’isomorphismes symplectiques O_D-linéaires pour la topologie étale sur S.

Soit ` ∈ S<sub>Q</sub>, on fixe jusqu’à la fin de cette section une place finie (λ, l) ∈ S<sub>F</sub> au-dessus de `, on en déduit un isomorphisme G(Q`) −−→ Q<sup>∼ ×</sup><sub>`</sub> ×Q

l0|`GL2(Fl0) (cf. (1.7)) pour ce choix de λ.

Le module de Tate T_{`</sub>(A) (dans le problème de module) admet alors des décompo-sitions: T<sub>`}(A)−−→^{∼ M} l0|` T<sub>l</sub>0(A)−−→<sup>∼ M</sup> l0|` T_l⁺0 (A) ⊕^M l0|` T_l⁻0 (A)

où T_l(A) ^d´= lim^ef _←−

nA[$_lⁿ] avec A[$ⁿ_l ] ^d´= ∩^ef _γ∈lnO_FKer(A −→ A). Notons T^γ <sub>`</sub><sup>−,l</sup>(A) <sup>d´</sup>=<sup>ef</sup> ⊕<sub>l</sub>0|`

l⁰6=l

T_l⁻0 (A), (V<sub>Z`</sub>)<sup>−,l d´</sup>= ⊕<sup>ef</sup> <sub>l</sub>0|` l⁰6=l

(V_{Z`</sub>)<sup>−</sup><sub>l</sub>0 (puisque V<sub>Z`} est un O_D⊗_ZZl-module).

Soit C un sous-groupe fini et plat O_D-linéaire de A annulé par une puissance de ` (e.g. C = A[$_lⁿ]), alors C admet des décompositions en utilisant les idempotents e^±,k_l0

de O_D ⊗<sub>ZZ`</sub> (voir (1.6)): C−−→ C<sup>∼ +</sup>× C<sup>−</sup>−−→<sup>∼ Y</sup> l0|` C_l⁺0 × C_l⁻0
∼ − −→^Y l0|` C_l^+,10 × C_l^+,20 × C_l^−,10 × C_l^−,20
. (2.1)

S’il existe de plus l⁰|` et n ∈ Z≥1 tels que C soit un sous-groupe de A[$<sup>n</sup><sub>l</sub>0], on voit facilement que C<sub>l</sub><sup>±,k</sup>00 = 0 pour tout l<sup>00</sup>|`, l00 6= l0 et k = 1, 2. Dans ce cas, on note alors C^{±,k d´}= C^ef _l^±,k0 pour k = 1, 2.

Considérons les exemples suivants: Exemple 2.1.3. Supposons K_{`</sub>∼= Z<sup>×</sup><sub>`} ×Kn

l ×Kl

`avec K<sub>`</sub>^l un sous-groupe ouvert compact deQ

l⁰|` l⁰6=l

GL₂(F_l0) alors la condition (i) est équivalente à (a) α_l : (OF_l/$ⁿ_l O_Fl)² −^∼→ A[$n

l ]^−,1 est un isomorphisme O_Fl-linéaire localement pour la topologie étale sur S;

(b) α^l_{`</sub>: T<sub>`}^−,l(A)−→ (V^∼ _{Z`</sub>)<sup>−,l</sup>est une classe modulo K<sub>`}^l d’isomorphismes O_D-linéaires localement pour la topologie étale sur S.

Lorsque n = 0, on dit que le groupe K est maximal en l. Dans ce cas, un S-point de M_K sera désigné par (A, ι, θ,αl) avec αl d´= α^ef `× αl

`. De plus, si c’est le cas, pour m ∈ Z≥1, on note K<sub>m,l</sub> le sous-groupe de K avec K<sub>m,l</sub><sup>`</sup> = K<sup>`</sup> et (K<sub>m,l</sub>)<sub>`</sub> ^∼= Z^×_` × Km

l × Kl `, alors M<sub>Km,l</sub> est un revêtement galoisien de M<sub>K</sub> de groupe GL<sub>2</sub>(O<sub>Fl</sub>/$<sup>m</sup><sub>l</sub> ) via la projection canonique M<sub>Km,l</sub> → M<sub>K</sub> (cf. [20, §3.3.2]). Lorsque l = ℘, on notera K<sub>m</sub><sup>d´</sup>= K<sup>ef</sup> <sub>m,℘</sub>. Exemple 2.1.4. Soit n ∈ Z≥1, supposons K<sub>`</sub> ∼= Z^×_` × In

l × Kl

`, alors la condition (i) est équivalente à

(a) il existe un sous-groupe O_Fl-linéaire fini et plat H de A[$ⁿ_l ]^−,1 d’ordre `^ndl,0 tel que H ∼= OFl/$_lⁿ localement pour la topologie étale sur S;

(b) α^l_{`</sub>: T<sub>`}^−,l(A)−→ (V^∼ _{Z`</sub>)<sup>−,l</sup>est une classe modulo K<sub>`}^l d’isomorphismes O_D-linéaires localement pour la topologie étale sur S.

Dans ce cas, on dit que K est Iwahorique en l. Un S-point de M_K sera désigné par (A, ι, θ, αl, H) avec αl d´= α^{ef `} × αl

`. Pour un sous-groupe net K de G(A<sup>∞</sup>) maximal en l, on note M<sub>K</sub>(l<sup>n</sup>) <sup>d´</sup>= M<sup>ef</sup> <sub>K</sub>0 où K<sup>0</sup> est un sous-groupe de K tel que (K<sup>0</sup>)<sup>`</sup> = K<sup>`</sup> et K<sub>`</sub>^{0 ∼}= Z^×_` × In

l × Kl

`. On dispose donc d’une projection naturelle p1: MK(lⁿ) −→ MK, (A, ι, θ, αl, H) 7→ (A, ι, θ, αl).

Soient ` ∈ S<sub>Q</sub>, (λ, l) ∈ S<sub>F</sub> au-dessus de `, posons (cf. [48, §4.4] et [46, p.109-110]) Définition 2.1.5. Soit (A, ι, θ, α) un S-point de M_K, un sous-groupe (fermé) fini et plat O_D-linéaire C de A est appelé un sous-(λ, l)-groupe d’échelon n ∈ Z>0 s’il satisfait les conditions ci-après:

– C est annulé par `<sup>d</sup>l,0n, et d’ordre (`^dl,0)^4dFn;

– C_l^−,1 est un sous-groupe de A[$ⁿ_l ]^−,1 d’ordre `^dl,0n tel que C_l^−,1∼_{= O}

Fl/$n l locale-ment pour la topologie étale sur S;

– C_l^−,10 = 0, pour toute place l⁰ 6= l de F au-dessus de `; – θ : A[`^dl0ⁿ]−^∼→ A∨[`<sup>d</sup>l0<sup>n</sup>] envoie C sur (A[`^dl0ⁿ]/C)^∨.

Remarque 2.1.6. (1) L’accouplement de Weil induit une dualité parfaite entre A[`^dl0ⁿ]+

et A[`^dl0ⁿ]⁻, alors la dernière condition ci-dessus est équivalente à C ∼= C⁻⊕ (C⁻)^⊥. (2) On voit facilement qu’un sous-(λ, l)-groupe C d’échelon n est déterminé unique-ment par le sous-groupe C_l^−,1. Un S-point (A, ι, θ,αl, H) de MK comme dans l’exemple

2.1.4 sera désigné parfois par (A, ι, θ, αl, C) où C est le sous-(λ, l)-groupe d’échelon n de A vérifiant C_l^−,1∼_{= H.}

On utilisera cette version du problème de modules dans la suite.