La recherche de la solution à un problème, quel qu’il soit, peut être assimilée à l’iden- tification d’une entité particulière au sein d’un espace dit de recherche. Cependant, dans la plupart des cas, une multitude d’espaces de recherche peut être utilisée dans le cadre de la résolution d’un problème donné. Le choix de cet espace influe sensiblement sur la formalisation de la solution ainsi que sur l’efficacité du processus de résolution quant au temps nécessaire à sa convergence.
Les approches évolutionnaires sont particulièrement sensibles à la pertinence des choix réalisés quant à l’espace de recherche utilisé. En effet, ces algorithmes sont assimilables à des techniques d’optimisation qui, par définition, ne consistent pas en une approche déterministe fondée sur un raisonnement, mais en une approche comparative fondée sur l’exploration d’un espace de solutions potentielles.
Dans le cadre des approches évolutionnaires, c’est au sein de l’espace de recherche que vont être définis les individus, chacun d’entre eux correspondant à une solution poten- tielle. L’espace de recherche est d’ailleurs généralement nommé espace génotypique, en référence au génotype des individus. Trois grandes familles de génotypes (et donc d’es- paces de recherche) peuvent être identifiées parmi les approches proposées à ce jour : les représentations binaires, réelles et par arbres. Nous en proposons un descriptif dans la suite de cette section. Sera également introduite la notion de qualité des individus.
3.3 – Représentation des individus
3.3.1
Génotype d’un individu
Par analogie à la génétique des êtres vivants, le génotype d’un individu est assimi- lable à un ensemble de propriétés le décrivant. Comme dit précédemment, ces propriétés peuvent être formalisées de différentes manières. Ici, nous présentons les plus communé- ment utilisées.
Représentation binaire
La représentation binaire utilise un alphabet binaire. Le génome d’un individu est assimilable à une chaîne, généralement de taille fixe, constituée de 0 et de 1 (figure 3.2). Aussi, dans ce types de formalisme, l’espace de recherche est défini comme suit :
Ω= {0, 1}n
n correspondant à la taille des individus.
FIG. 3.2 – Exemple de représentation binaire. n= 20
Ce type de représentation se voit principalement utilisé dans le cadre des algorithmes génétiques qui furent introduits par Holland [Hol75] dès les années 70, et qui constituent l’une des principales catégories d’approches basées sur l’évolution artificielle.
Représentation réelle
La représentation réelle, comme son nom l’indique, utilise des composantes réelles. Le génome d’un individu est assimilable à un vecteur réel de dimension n (figure 3.3), et l’espace de recherche est défini comme suit :
FIG. 3.3 – Exemple de représentation réelle. n= 3
n correspondant à la dimension de l’espace de recherche et, par conséquent, à celle des
individus.
Ce type de représentation se voit principalement utilisé dans le cadre des stratégies d’évolution qui furent introduites par Rechenberg et Schwefel dans [Rec64, Sch65].
Représentation par arbres
La représentation par arbre, également connue sous le nom de représentation fonc-
tionnelle consiste en une représentation des individus sous la forme de graphes acycliques
(figure 3.4). Dans ce contexte, 3 alphabets vont généralement être utilisés : un alphabet
fonctionnel tel que {+, −, ×, ÷}, un alphabet de variables tel que {x, y, z}, et enfin un
alphabet de constantes tel que{A, B,C}. Les nœuds possédant une descendance vont se
voir attribuer pour valeur des fonctions, et les nœuds feuilles des variables et constantes.
FIG. 3.4 – Exemple de représentation fonctionnelle. L’expression correspondante est la
suivante : A× x + B/y −C × z
Ce type de représentation se voit principalement utilisé dans le cadre de la program-
mation génétique qui fût introduite par John Koza [Koz89, Koz92] et qui consiste en un
3.3 – Représentation des individus
3.3.2
Phénotype et qualité d’un individu
Comme expliqué précédemment, le génotype d’un individu est assimilable à une re- présentation intrinsèque de ce dernier fondée sur certaines de ses caractéristiques. Il porte l’information des gènes. C’est d’ailleurs au sein de l’espace génotypique Ω que l’en- semble des individus constituant la population est défini.
Représentation phénotypique d’un individu
Le phénotype d’un individu décrit l’ensemble des caractéristiques exprimées par ses gènes. Prenons pour exemple un être humain ; L’information génotypique d’un tel indi- vidu est constituée d’un nombre important de gènes répartis au sein d’un ensemble de 56 chromosomes. Aussi la représentation phénotypique de cet individu correspond en fait aux propriétés de l’être humain qui le matérialise, telles que la couleur de ses yeux.
En ce qui concerne les notations adoptées dans la suite du mémoire, le phénotype d’un individu Xi est noté Yi (en fait, Xi correspond à la représentation génotypique de l’individu considéré). Remarquons que le phénotype d’un individu est déterminé à partir de sa représentation génotypique. Aussi, on peut définir la représentation phénotypique d’un individu comme une fonction de son génotype, soit :
Yi= F(Xi)
F étant une fonction de G dans P, a priori bijective ; G et P correspondant aux espaces au
sein desquels sont respectivement définis les génotype et phénotype de l’individu consi- déré. Cette fonction est communément appelée : fonction de morphogénèse.
Evaluation de la qualité d’un individu
C’est au sein de l’espace phénotypique que la qualité des individus est évaluée. Dans le cadre des stratégies d’évolution, la fitness d’un individu est un réel. Ainsi, dans ce contexte, la fonction fitness est de la forme :
F : P→ R
P= Rn′
Le choix de la fonction fitness a une très grande influence sur l’efficacité de l’algo- rithme. Aussi, deux critères de choix vont principalement être à considérer :
– La pertinence de la fonction : soit son aptitude à fournir un résultat réellement représentatif de la qualité de l’individu
– Le coût de la fonction : soit la charge de temps et de ressources nécessaires à l’éva- luation de la fitness
Exemple : Plutôt marathonien ou sprinter ?
Ici, nous proposons un cas d’école visant à illustrer la notion d’évaluation de la qua- lité d’un individu. L’idée est de proposer, pour un même algorithme, deux expressions différentes de sa fonction fitness visant à résoudre deux problèmes distincts. Dans notre exemple, la représentation phénotypique d’un individu correspond à un athlète dont les caractéristiques vont se résumer à son endurance et sa vitesse. Aussi, le génotype de l’in- dividu est défini comme un vaste ensemble de gènes (ADN). Afin d’évaluer la qualité d’un individu, nous nous baserons sur deux critères inhérents à sa représentation phéno- typique : Un coefficient d’aptitude à l’endurance noté Ce et un coefficient d’aptitude à atteindre de grandes vitesses noté Cv. Ainsi, nous considérons ici un sous-ensemble de la représentation phénotypique globale de l’individu : Yi= {Ce,Cv}.
Afin d’évaluer la qualité d’un individu dans ce contexte, on peut proposer une expres- sion générique de la fonction fitness sous la forme suivante :
F(Xi) =α·Ce+β·Cv
oùα etβ sont deux coefficients visant à privilégier la prise en compte de l’une ou l’autre des caractéristiques de l’individu considéré.
– Marathonien : dans le cas où le but est d’évaluer l’aptitude des individus à pratiquer le marathon, on choisira les coefficientsα et β tels que α >β afin de privilégier les individus ayant une bonne endurance.
– Sprinter : dans le cas où le but est d’évaluer l’aptitude des individus à pratiquer le 100 mètres sprint, on choisira les coefficients α et β tels que α <β afin de privilégier les individus capables de courir vite.