3.2 Calcul de l’équilibre économique statique dans FFSM
4.1.3 Représentation de la dynamique de chaque domaine d’étude
Figure 4.2: Représentation schématique de la dynamique forestière dans FFSM. Dans un domaine d’étude donné, un arbre contenu dans une classe de diamètre u à l’année t peut a priori se retrouver dans quatre situations à l’année t + 1 :
– Il peut rester dans la classe de diamètre u ;
– Il peut changer de classe de diamètre et se retrouver dans la classe u + 1 ; – Être récolté l’année t et donc disparaître de l’inventaire ;
– Mourir naturellement (tempête, attaque pathogène, vieillesse) et disparaître égale- ment de l’inventaire.
15. Le calibrage des équations données dans cette section est fourni par Colin et Chevalier (2009). En outre cette représentation et l’analyse de sensibilité des critères de stratification de la ressource à fait l’objet
Ces quatre situations sont représentées dans la figure 4.2 : les arbres en blanc représentent les arbres récoltés ou morts naturellement, les arbres en vert représentent les arbres restant sur pied d’une année sur l’autre. Sur la figure, la plupart reste dans la même classe de diamètre, sauf deux dont la promotion vers la classe de diamètre supérieure est représentée par une flèche. En outre nous faisons l’hypothèse d’un recrutement16 annuel constant pour la première classe de diamètre.
Modélisation du recrutement annuel dans la première classe de diamètre
En pratique, la place laissée vacante par un arbre exploité peut être utilisé pour la croissance d’un nouvel arbre, soit immédiatement, soit après plusieurs années. FFSM 1.0. ne modélise pas les surfaces libérées et les modalités de régénération sous une forme endogène17. FFSM suppose ainsi un recrutement annuel constant et égal au recrutement observé en 2006 dans la première classe de diamètre.
Formalisation de la dynamique des domaines d’étude
Dans chaque domaine d’étude, la dynamique est représentée à l’aide une matrice de transition de Markov et d’un recrutement constant pour la première classe de diamètre. Le modèle est donc déterministe18 et simule la distribution y
k,t du volume d’un domaine
d’étude k dans chaque classe de diamètre.
yk,t= vk,1,t ... vk,u,t ... vk,13,t
Avec vk,u,t la somme des volumes des arbres présents dans la classe de diamètre u à
l’année t pour le domaine d’étude k.
Entre t et t+1, les arbres de la classe de diamètre u peuvent soit rester dans cette classe diamètre, soit passer dans la classe de diamètre supérieure u + 1, soit être récoltés soit,
16. Nous appelons recrutement l’arrivée d’un arbre dans la première classe de diamètre (7,5 cm 17,5 cm), les arbres recrutés à la date t sont donc ceux dont le diamètre était inférieur à 7,5 cm à la date t − 1 et dont le diamètre est supérieur à 7,5 cm à la date t.
17. Il s’agit d’un enjeu de modélisation pour FFSM 2.0.
18. Deux approches de la projection de la dynamique de la ressource existent : l’approche déterministe et l’approche stochastique (Vanclay, 1994). Un modèle déterministe donne une estimation de la croissance d’un peuplement, de la même façon que la moyenne indique la croissance attendue d’une population, les mêmes conditions initiales entraînant toujours les mêmes résultats. Le modèle stochastique, par contre, cherche à illustrer la variation naturelle en fournissant différentes prédictions, chacune avec une probabilité d’occurrence.
enfin, mourir naturellement. En outre de nouveaux arbres sont recrutés dans la première classe de diamètre.
Ainsi l’équation de dynamique peut s’écrire :
yk,t+1= Ak× yk,t+ rk (4.1) Avec : Ak= (1 − ∆t tpk,1 − hk,1− mk,1) 0 · · · 0 ∆t tpk,1 · · · ... 0 ... (1 − ∆t
tpk,u − hk,u− mk,u) ... ...
... ... νk,u νk,u−1 ∆t tpk,u ... ... 0 · · · (1 − hk,13− mk,13) Et : rk= rk,1 0 ... 0 Où :
– k indice le domaine d’étude ; – u indice les classes de diamètre ; – t indice le temps (ici les années) ;
– ∆t est le pas de temps retenu (ici un an) ;
– vk,u,t est le volume des arbres du domaine d’étude k dans la classe de diamètre u à
la fin de l’année t, c’est-à-dire après la récolte de l’année t ;
– tpk,u mesure le temps de passage moyen des arbres dans la classe de diamètre u : le
terme ∆t
tpk,u mesure donc la fraction des arbres de la classe de diamètre u qui passe
dans la classe de diamètre supérieure au cours d’une période (ici, un an) ; – mk,u représente le taux de mortalité des arbres de la classe de diamètre u ;
– hk,u,t le taux de prélèvement à l’année t ;
– νk,u est le volume unitaire moyen des arbres de la classe de diamètre u ; et
– νk,u
νk,u−1 est le coefficient d’augmentation de volume unitaire des arbres lorsqu’ils
passent de la classe de diamètre u − 1 à la classe de diamètre u ;
– rk,u le volume recruté dans le domaine d’étude k dans la classe de diamètre u. En
pratique le recrutement est non nul uniquement pour la classe de diamètre u = 1. Le modèle représenté a le mérite d’être parcimonieux, puisque la dynamique de croissance des peuplements d’un diamètre donné y est décrite, outre par la récolte calculée dans module économique, par quatre paramètres seulement : (1) le temps de
passage, (2) le taux de mortalité, (3) le taux de recrutement et (4) l’accroissement uni- taire en volume. Ces quatre paramètres sont estimés par l’IFN19(Colin et Chevalier, 2009).
Le modèle de dynamique repose sur quatre hypothèses :
1. Chaque domaine d’étude possède sa propre dynamique et les dynamiques internes de chaque domaine d’étude k sont indépendantes les unes des autres.
2. Dans chaque domaine d’étude, les conditions géo-climatiques et les surfaces sont constantes au cours du temps. Cette hypothèse est tenable pour des projections de court terme20. En outre la dynamique est indépendante de la densité21, ce qui constitue, selon Vanclay (1994), l’hypothèse de stationnarité.
3. Le devenir d’un arbre à la date t + 1 ne dépend que de l’état dans lequel il se trouve à la date t. En particulier il n’est pas fonction des états antérieurs à t.
4. Les arbres ne peuvent pas franchir plus d’une classe de diamètre par période (ici, un an). Ceci suppose que la largeur des classes de diamètre soit suffisamment grande et que le pas de temps soit suffisamment court.