Ce mini-logiciel permet d’appréhender la distance associée à une famille de champs de vecteurs en autorisant des déplacements uniquement le long des champs. Cependant, on doit remarquer que cette approche est biaisée. Par exemple, dans le cas euclidien, des déplacements uniquement parallèles aux axes suggèreraient que (1, 1) est à distance√2 de l’origine. . .
Un “vrai” programme devrait permettre à l’expérimentateur de se déplacer dans la direction d’une combinaison linéaire quelconque des champs de base. En théorie, on peut paramétrer les combinaisons par un point dans un polyèdre ; en pratique, il faudrait programmer une manette de jeu ou les déplacements de la souris pour rendre ce polyèdre intuitif. La réalisation de cette modification dépasse le cadre de la présente thèse.
On pourrait ensuite envisager d’améliorer le moteur de calcul. L’algorithme de calcul des tra- jectoires est en effet particulièrement naïf. Par exemple, les trajectoires des champs R2 et R3 étant
des ellipses, le fait de suivre la tangente induit une dérive systématique vers l’extérieur. On pourrait améliorer la précision en utilisant les algorithmes classiques de résolution d’EDO.
Le programme peut être modifié assez facilement pour explorer d’autres familles de champs de vecteurs. Il suffit de changer la définition des champs au début du code source. Par exemple, pour la famille de Goursat étudiée p.124 qui est d’ordre 3 :
sub field {
my ($n) = @_; if ( $n == 0) {
(0,0,0,0); # ce champ n’est pas utilisé } elsif ($n == 1) { (1,$p2,$q2,0); } elsif ( $n == 2) { (0,0,0,$q1); } else {
die "Undefined vector field"; }
}
Voici un exemple d’exécution du programme modifié.
Partie II - Bibliographie
Bibliographie de la partie II
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Index thématique
Espaces à poidsDécroissance p-faible (Taux ηp) . . . 7
Espace Lpϑ. . . 5 Inclusions de Sobolev . . . 37 Inclusions naturelles . . . 5 Espaces de Sobolev Hk(Ω; X; µ) . . . 93 Calcul de Weyl : H(ms). . . .98
Modèle (en Fourier) : H(ms) . . . 103
Régularité microlocale : Hs x,ξ. . . .91 Structure de dérivation : X . . . 92 Espaces de traces Condition de non-dégénérescence . . . 147 Espaces de Sobolev : Hs(Σ∗) . . . 151
Structure de dérivation projetée : X∗ . 149 Famille de champs de vecteurs Bien structurée . . . 131
Condition de crochet de Hörmander . . . 92
Cordonnées adaptées . . . 118, 128, 131 Crochets de rang ≥ 3 . . . 124, 130 Dimension homogène : Q . . . 94, 128 Distance de Carnot : D X(x, y) . . . 93 Point régulier . . . 92 Groupe de Heisenberg Espace de Sobolev : Hs(Hd) . . . 101 Généralités sur Hd. . . .100
Structure de dérivation naturelle . . . 100
Structure sous-riemannienne . . . . 100, 150 Traces de Hs(Hd) . . . 152
Inégalités Hölder . . . voir: Espaces à poids - Inclusions Hardy (classique). . . 127
Hardy sous-riemannien . . . 135, 138 Peetre. . . .6, 39 Young . . . voir: Théorèmes - convolution Modélisation Eq. d’Euler . . . 15
Eq. de la Chaleur et∆. . . 3
Mécanique des fluides . . . 11-19 Magnéto-hydrodynamique (MHD) . . . 67 Navier-Stokes (NS) . . . 18 Noyaux de convolution Hydrodynamique : Fj;h,k. . . 19 Estimations ponctuelles. . . .20 Opérateur de convolution . . . 22 Propriétés de symétrie . . . 19 Magnétique : Gj;h,k. . . 68 Sous-riemannien : pt(x, y) . . . 114 Simulation numérique Description du modèle. . . .151
Programme & captures d’écran . . . 167
Théorèmes principaux Pour un résumé, voir p.8 et p.101 Convolution Critère asymétrique . . . 25
Loi de Young à poids . . . 6
Loi précisée. . . .71
Principe de moindre localisation . . . 29
Espaces de Sobolev (cas modèle) Caractérisation de Hs (s /∈ N) . . . 105
Inclusions de Sobolev. . . .106
Traces . . . 107-110 Espaces de Sobolev (sous-riemanniens) Caractérisation de Hs (s /∈ N) . . . 112
Densité des fonctions “épointées” . . . 134
Eclatement de Hs(Hd) . . . 140
Inégalité de Hardy. . . .135, 138 Structure crochet d’ordre ≤ 3 . . . 131
Traces de Hs(Hd) . . . 152
MHD Diffusion instantanée . . . 80 Propagation faible de la localisation . 69
Développement asymptotique . . . 47 Inégalité d’énergie généralisée . . . 41 Localisation du tourbillon . . . 64 Loi du tout ou rien, temps de vie . . . . 33 Obstacle aérodynamique . . . 61 Obstructions à la décroissance . . . . 56-61 Propagation de profils anisotropes . . . 38 Propagation faible de la localisation . 36 Propagation forte de la localisation . . 30 Propriétés du noyau . . . voir: Noyaux Symétries et décroissance . . . 45