5.5 Théorie des traces
5.5.2 Problème géométrique associé aux traces sur une sous-variété
La théorie générale des traces sur une sous-variété de codimension 1 est difficile. En effet, la normale à la surface peut ne pas appartenir au même ensemble Vk le long de Σ, ce qui modifie
radicalement la nature de l’espace de traces. Ce problème apparaît par exemple systématiquement si la surface est le bord d’un domaine borné régulier, par exemple la boule unité.
Plus précisément, on dit qu’un point x0 ∈ Σ est caractéristique si ν(x0) ∈ Vk mais il existe
des points arbitrairement proches tels que ν(x) ∈ V` avec ` < k). En termes naïfs, la surface cesse
d’être transverse à une direction de plus haute régularité microlocale. La singularité qui apparaît au voisinage d’un point caractéristique dépend de l’ordre du contact entre Σ et les surfaces de régularité.
L’exemple le plus simple est celui de R2 avec le poids m = (1 + |ξ
1|4+|ξ2|2)1/4 et la surface Σ
d’équation x2
1− x2= 0. L’origine est un point caractéristique. Le Théorème 12 indique que, le long
de Σ, la régularité microlocale d’une fonction u ∈ H(ms) est
s 2 − 1 4 si x 6= 0, s− 1 à l’origine.
Le premier cas exige s > 1/2 et le second n’est démontré que pour s > 1. Lorsque 1/2 < s ≤ 1, la trace sur Σ des fonctions de H(ms) est bien définie dans L2
loc(Σ\{0}) mais peut présenter une
Sur la couronne C0 ={c0 <|x1| < c1}, les Théorèmes 12 et 9 donnent pour 1/2 < s < 1 : ZZ C2 0 |v(x1)− v(x01)|2 |x1− x01|1+(s− 1 2) ≤ C ZZ C2 0 |u(x) − u(x0)|2 δ(x, x0)3+2s + C Z C0|u(x)| 2
en notant v(x1) = u(x1, x21) la restriction à Σ et δ(x, x0) =|x1− x01| + |x2− x02|1/2. Par dilatation
anisotrope (x1, x2)7→ (λ−1x1, λ−2x2), on en déduit l’estimation suivante :
ZZ C2 λ |v(x1)− v(x01)|2 |x1− x01|1+(s− 1 2) ≤ Cλ 3 2−s ZZ C2 λ |u(x) − u(x0)|2 δ(x, x0)3+2s + Cλ 3 2+s Z Cλ|u(x)| 2
avec Cλ = λ−1C0. On peut donc décrire les traces de H(ms) par :
X λ∈2N λs−32 ZZ C2 λ |v(x1)− v(x01)|2 |x1− x01|s+ 1 2 dx1dx01 ≤ C kuk2H(ms)+ C Z |u(x)|2 δ(x, 0)2s dx. (5.5.2)
Le contrôle du dernier terme nécessite une inégalité de Hardy anisotrope : ∀s < 3/2, Z |u(x)|2 δ(x, 0)2s dx≤ Cskuk 2 H(ms). (5.5.3)
L’entier 3 qui borne 2s est la dimension homogène associée à la distance δ. L’étude de cette inégalité et de ces généralisations aux familles de champs de vecteurs fait l’objet du Chapitre 7.
Il est important de remarquer que, dans cet exemple, le changement d’échelle anisotrope adapté à l’espace de Sobolev laisse aussi la surface de trace invariante. Cette méthode se généralise à des surfaces Σ d’équation g(x1, x2) = 0 pourvu que ∂x21g 6= 0 en chaque point caractéristique. Cette
technique sera développée au chapitre 8 pour décrire les traces des espaces de Sobolev sur le groupe de Heisenberg, avec une hypothèse analogue pour le contact champs-surface.
Chapitre 6
Réalisation des espaces de Sobolev d’indice
fractionnaire
Dans son cours sur les espaces fonctionnels, H. Triebel [31] décrit la construction d’espaces d’ordre fractionnaire au dessus d’une variété riemannienne ou d’un groupe de Lie et en donne une caractérisation intrinsèque au moyen d’estimations intégrales sur des opérateurs de translation. Cependant, ces espaces sont essentiellement de nature “isotrope” puisque le nombre de dérivations localement indépendantes est, en tout point, maximal.
L’objectif de ce chapitre est de donner une description “effective et calculable” des espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire, lorsque les dérivations sont associées à une famille de champs de vecteurs vérifiant la condition de Hörmander de rang 2.
Etant donné que la régularité est un problème de nature locale, on ne s’intéresse pas ici aux éventuels problèmes qui pourraient apparaître à l’infini ou être induits par la présence d’un bord. Le lecteur intéressé plutôt par les questions globales pourra éventuellement consulter le chapitre 8 (en particulier, la remarque p.162), mais ce problème est essentiellement ouvert.
6.1 Enoncé principal
Soit X = (X1, . . . , Xm) une famille de champs de vecteurs réguliers sur une ouvert connexe Ω
de Rq, de rang constant r. On suppose que tout champ de vecteur X peut se décomposer (mais
pas nécessairement de façon unique) :
X =XαjXj+Xβk,l[Xk, Xl] (6.1.1)
avec des fonctions localement bornées αj, βk,l sur Ω. La distance de Carnot-Carathéodory définie
sur Ω par (4.3.1) sera notée d.
Pour tout compact K ⊂ Ω, on considère l’espace :
HK1(X ) =u∈ L2(Ω) t.q. Xju∈ L2(Ω) (j = 1, . . . , m), avec supp u⊂ K . (6.1.2)
L’analyse fonctionnelle abstraite décrit les espaces intermédiaires entre L2(K) et H1 K(X ) :
HKs(X ) = [L2(K); HK1(X )]s
Théorème 13 (avec S. Mustapha [27]) Pour 0 < s < 1 et K sous-ensemble compact de Ω, il existe une constante Cs,K > 0 telle que :
Cs,K−1 kuk2Hs K(X ) ≤ kuk 2 L2(Ω)+ ZZ Ω×Ω d(x,y)<1 |u(x) − u(y)|2 d(x, y)2s dx dy Vol(Bx d(x,y)) ≤ Cs,Kkuk2Hs K(X ) (6.1.3)
pour toute fonction mesurable u supportée dans K, les trois expressions étant simultanément finies ou infinies.
Le membre de gauche de (6.1.3) entraîne en particulier : ˜ Cs,K−1 ZZ |x−y|<1 |u(x) − u(y)|2 |x − y|2n+1+s dxdy≤ Z Ω|u(x)| 2dx + ZZ d(x,y)<1 |u(x) − u(y)|2 d(x, y)2n+2+2s dxdy. (6.1.4)
En effet, le théorème de Hörmander appliqué à l’opérateur hypoelliptique −∆X = PXj∗Xj
entraîne une inclusion continue Hs
loc(X )⊂ H s/2 loc(Rq).
Remarque - Le Théorème 13 peut être vu comme une extension de ceux de [17], à savoir l’inclusion de Hs
loc(X ) dans les espaces de Hölder construits avec la distance de Carnot lorsque s > Q/2. ♦
Idées et structure de la preuve
La démonstration du Théorème 13 met en oeuvre deux approches complémentaires.
Très approximativement, le membre de gauche de (6.1.3) signifie qu’on est capable de contrô- ler les puissances fractionnaires de −∆X =
P X∗
j Xj par une expression faisant intervenir des
puissances négatives de la distance de Carnot. L’outil approprié est le calcul fonctionnel avec le semi-groupe et∆X et plus précisément, l’estimation exponentiellement décroissante du noyau de
convolution associé.
La preuve du membre de droite de (6.1.3) s’inspire de celle de l’inégalité (5.3.2), à savoir l’analyse fréquentielle de la différence u(y)−u(x) vue comme opérateur de translation (T∗
y−x−Id)u. On peut
alors faire abstraction des notions de chemins X -horizontaux et de géodésiques, en ne retenant que l’idée de “bonnes” ou “mauvaises” directions.
On peut remarquer que, contrairement au cas modèle étudié au chapitre 5, l’anisotropie induite par la distribution de plans X (x) ⊂ TxΩ ne peut pas être redressée car (6.1.1) est incompatible
avec le théorème de Darboux. L’analyse de Fourier classique doit donc laisser la place à un calcul microlocal convenable.
Réduction du problème
On peut réduire arbitrairement la taille de support de u puisque si le résultat est démontré sur deux compacts K et K0, il s’étend de manière évidente à K ∪ K0. On peut alors supposer que K
est contenu dans un ouvert de carte.
Le cas Ω = Rq suffit à démontrer le théorème en toute généralité. En effet, étant donnée un
sous-ensemble compact K ⊂ Ω, on choisit une fonction régulière χ à support compact dans Ω et égale à 1 au voisinage de K. On considère alors la famille de champs
f
Partie II - Chapitre 6 BORNE INFÉRIEURE - §6.2 Elle est de rang constant r sur K et vérifie la condition de Hörmander (6.1.1) sur Rq. L’augmentation
du rang de fX sur supp(1 − χ) n’est pas un problème car l’hypothèse de rang constant ne servira en fait que sur K. Par abus mais afin de simplifier les notations, la famille fX sera notée X dans la suite de ce chapitre.
On procède aussi à l’identification naturelle T∗Rq ' Rq× Rq.