Avant d’aller plus loin, on peut illustrer les définitions précédentes sur un exemple concret, le plus simple des groupes de Carnot, celui de Heisenberg (voir [1] ou [30]).
Le groupe de Heisenberg Hd peut être identifié à son algèbre de Lie Rd× Rd× R grâce à des
coordonnées exponentielles x = (p, q ; t). La structure de groupe est non commutative : (p, q; t)· (p0, q0; t0) = p + p0, q + q0; t + t0− 2(q · p0− p · q0).
La mesure de Haar est la mesure de Lebesgue induite par R2d+1 et sera donc notée encore dx.
Les champs : ˆ X : Xi= ∂pi+ 2qi∂t Yi = ∂qi− 2pi∂t (1≤ i ≤ d) (4.5.1)
sont invariants à gauche. On vérifie immédiatement que ∂t= 14[Yi, Xi].
4.5.1 Structure de dérivation naturelle sur le groupe de Heisenberg
La propriété suivante fait le lien avec les espaces de Sobolev “abstraits” du paragraphe §4.2. Proposition 8 Le C∞-module engendré par les champs de vecteurs qui annulent la 1-forme canonique
κ = dt + 2(pdq− qdp) (4.5.2)
est une structure de dérivation sur Hd. La famille ˆXdéfinie par (4.5.1) est une base.
Sur le groupe de Heisenberg, la notation X désigne systématiquement cette structure de dérivation. La structure ˆXvérifie uniformément la condition de crochet de rang 2. On a en effet :
X
T ∈ˆX∪[ˆX, ˆX]
|T (x) · ξ|2≥ 12(ξp2+ ξq2) + 2(2 + p2+ q2)ξ2t ≥ C|ξ|2
pour tout x = (p, q; t) dans Hd et ξ = (ξ
p, ξq; ξt) dans T∗xHd.
4.5.2 Distance de Carnot
La distance de Carnot associée à ˆX est notée DHd(x, y). Elle est invariante à gauche et unifor- mément équivalente à la distance de gauge x−1· y
g où
k(p, q; t)kg =
4
q
(p2+ q2)2+ t2. (4.5.3)
Partie II - Chapitre 4 RÉSULTATS - §4.6
4.5.3 Espaces de Sobolev
On démontrera ultérieurement (voir le Théorème 13 p.112) que les espaces de Sobolev Hs(Hd)
définis par interpolation complexe ou par le calcul de Weyl ont une norme équivalente à : kuk2Hk+σ(Hd) =kuk2Hk(Hd)+ X |α|=k ZZ ∆0 |ˆXαu(x)− ˆXαu(y)|2 D Hd(x, y)Q+2σ dx dy (4.5.4)
avec (k, σ) ∈ N×]0; 1[. L’entier Q = 2d + 2 est la dimension homogène. Dans cette formule, on note ∆0={(x, y) ; DHd(x, y)≤ c0}
et le choix d’une autre constante c0 ∈ ]0, +∞[ conduit simplement à une norme équivalente.
Rappelons aussi que la théorie de Littlewood-Palley a été généralisée au groupe de Heisenberg par H. Bahouri, P. Gerard et C.J. Xu (voir [7] et [6]).
4.6 Principaux résultats
Le chapitre 5 est consacré à l’étude d’un problème élémentaire, celui des espaces de Sobolev définis en variable de Fourier par un poids anisotrope. Bien qu’élémentaire, ce modèle est assez représentatif des idées que nous utiliserons dans le cas général.
Au chapitre 6, on considère une famille de champs vérifiant uniformément la condition de crochet d’ordre 2. On démontre alors que les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaires définis par l’analyse fonctionnelle abstraite peuvent être caractérisés par la distance de Carnot. Un exemple d’application est la formule (4.5.4) précédente. Ce résultat est le fruit d’une collaboration avec Sami Mustapha (voir [27]). Le théorème repose à la fois sur une analyse microlocale précise des opérateurs de translation et sur des estimations classiques du noyau de la chaleur associé au Laplacien sous- elliptique.
Le chapitre 7 est centré sur l’inégalité de Hardy et ses applications à l’éclatement des espaces de Sobolev de faible régularité. L’inégalité de Hardy sous-riemannienne peut être démontrée dans un contexte très général, par exemple seulement sour l’hypothèse de Hörmander d’ordre 2 ou 3 et sur certains exemples d’ordre arbitraire. Pour des raisons techniques, le théorème d’éclatement nécessite une inégalité plus forte, translatée dans l’échelle de régularité, et qui semble beaucoup plus difficile à démontrer. Ainsi, on ne sait démontrer le résultat d’éclatement pour toutes les régularités fractionnaires naturelles (i.e. pour s < Q/2 où Q est la dimension homogène) que dans le cadre du groupe de Heisenberg. Dans les autres cas, on doit imposer des restrictions plus sévères sur s comme, par exemple, être inférieur au plus grand entier minorant strictement Q/2.
Au chapitre 8, on envisage le problème de la restriction d’une fonction Hs(Hd) à une hypersur-
face Σ du groupe de Heisenberg. La restriction peut en effet développer des singularités aux points caractéristiques, c’est-à-dire lorsque Σ est parallèle au noyau de la 1-forme canonique (4.5.2). En supposant que la surface Σ vérifie une certaine hypothèse géométrique générique, on peut mettre en oeuvre une technique d’éclatement autour des points caractéristiques. On obtient alors l’existence de traces pour tout s > 1/2, ainsi qu’un théorème de relèvement. Lorsque l’indice de régularité est inférieur à 1, l’espace de traces n’est pas contenu dans L2
loc(Σ).
Le chapitre 9 contient enfin quelques illustrations produites par un petit programme informa- tique personnel. Ce programme n’a guère plus d’ambition que d’être un « jeu éducatif » : il simule le déplacement d’un mobile sous-riemannien dans R4, permettant ainsi d’expérimenter la difficulté
Chapitre 5
Etude d’un problème modèle
L’objet de ce chapitre est d’exposer l’essentiel des idées qui seront développées dans les chapitres suivants, tout en s’affranchissant des difficultés techniques inhérentes aux familles de champs de vecteurs.
Les espaces de Sobolev construits avec des champs de vecteurs expriment une régularité micro- locale anisotrope : les notations étant celles du paragraphe §4.1, les fonctions de Hs(X) sont, en
effet, microlocalement de classe Hx,ξs/k lorsque ξ ∈ Vk(x) . La difficulté majeure est que le champ
de surfaces Vk n’est, par hypothèse, pas intégrable et ne peut donc pas être réalisé comme l’espace
tangent à une sous-variété de Rq de dimension r
k. Ce défaut de platitude rend nécessaire l’utili-
sation de techniques “avancées” comme le calcul fonctionnel des opérateurs sous-elliptiques, ou le calcul symbolique de Weyl-Hörmander.
Dans ce chapitre, on considère des espaces fonctionnels exprimant une régularité anisotrope invariante par translation euclidienne, ce qui permet d’utiliser seulement l’analyse de Fourier “clas- sique” sur Rq.
5.1 Espaces de Sobolev anisotropes, invariants par translation
Soient 1 ≤ ω1 ≤ ω2≤ . . . ≤ ωq des nombres réels. Pour tout ξ ∈ Rq, on pose :
m(ξ) = 1 +
q
X
j=1
|ξj|1/ωi. (5.1.1)
Définition – Pour s ≥ 0, l’espace H(ms) est l’espace constitué des fonctions u∈ L2(Rq) telles que :
kuk2H(ms)=
Z
Rq
m(ξ)2s|ˆu(ξ)|2dξ < +∞. (5.1.2)
C’est un espace de Hilbert séparable contenu dans l’espace usuel Hs/ωq(Rq).
Remarques
1. Par exemple, lorsque ω1 = . . . = ωq= 1, on retrouve l’espace usuel Hs(Rq).
2. La régularité microlocale d’une fonction u ∈ H(ms) est Hs/ωk
x,ξ lorsque
Cette propriété ne coïncide pas avec la zone où la kème
composante est dominante : Ek= ξ∈ R q;|ξ k|1/ωk ≥ X j6=k |ξj|1/ωj . Cependant, Vk est la direction asymptotique de Ek car :
Vk={ξ ∈ Rq;∃R0> 0, ∀R ≥ R0 ⇒ Rξ ∈ Ek} .
Cette discussion est illustrée sur la Figure 5.1 en dimension 2 et 3. Dans ce dernier cas, on remarque en particulier que E1 et E3 ont une frontière commune ; ce phénomène est en
partie responsable des difficultés techniques qui apparaissent lorsqu’on cherche à développer un calcul symbolique avec des champs vérifiant la condition de crochet d’ordre 3 ou plus (voir
aussi la Proposition 24 p.130 et les remarques qui suivent). ♦
ξ1 ξ2 |ξ1| = |ξ2|1/2 -10 0 10 Ξ1 0 2 4 Ξ2 -2 0 2 Ξ3 -10 0 10
Fig.5.1 – Zone sous-elliptique et régularité microlocale.