1.3 Relaxation des contraintes résiduelles
1.3.2 Relaxation cyclique
La relaxation cyclique est définie par l’évolution du profil de contraintes résiduelles à grand nombre de cycles. Les principaux modèles sont détaillés.
1.3.2.1 Modèles phénoménologiques
La première grande famille de modèles pour décrire la relaxation est celle des modèles phénoménologiques. Ils ont pour but de décrire l’évolution des contraintes résiduelles en fonction du nombre de cycles (cycles d’amplitude constante). La plupart du temps, ils sont utilisés pour décrire l’évolution cyclique des contraintes résiduelles surfaciques.
[Schulze, 2006] a défini trois classes suivant la fonction mathématique utilisée (Figure
1.22).
Figure 1.22 – Modèles mathématiques pour décrire l’évolution des contraintes résiduelles en fonction du nombres de cycles [Schulze, 2006]
.
La forme exponentielle a été proposée en premier par [Valluri, 1963] qui estimait que la relaxation pouvait être similaire au processus de fluage. D’autres auteurs l’ont ensuite appliqué à l’évolution de la contrainte résiduelle lors de sollicitations cycliques pour lui donner sa forme finale. Cette forme décrit une relaxation faible dans les premiers cycles de vie puis forte en milieu de vie.
σres(N ) = σresN =1e−kN (1.38)
[Jhansale and Topper, 1971] ont proposé une évolution des contraintes résiduelles en
loi puissance. Celle-ci décrit une forte relaxation dans les premiers cycles de vie.
σres(N ) = σN =1res N−b (1.39) Le modèle le plus répandu a été proposé par [Jhansale and Topper, 1971]. Il pos- sède une forme logarithmique. Il décrit une relaxation constante du point de vue du logarithme du cyclage. Ce modèle a d’abord été utilisé pour décrire l’évolution de la contrainte moyenne mais [Rotvel, 1972] et [Kodama, 1972] l’ont adapté pour la relaxation des contraintes résiduelles tel que dans l’équation suivante :
σres(N ) = σresN =1− µlog(N ) (1.40) La pente de cette loi peut-être corrélée à la contrainte alternée σa imposée lors de
l’essai :
1.3.2.2 Modèles analytiques
Dans cette partie, seuls les principaux modèles de calcul de relaxation analytiques sont décrits.
Méthode de Zarka
La méthode de [Zarka et al., 1990] dite "Méthode d’analyse simplifiée des structures inélastiques" consiste à calculer l’état stabilisé des contraintes en connaissant le chargement élastique de la structure. La méthode est basée sur le calcul d’écoulement plastique de type Von Mises tel que dans l’équation 1.42.
3 2(dev(σ=) − X=) T(dev(σ =) − X=) ≤ σ 2 y (1.42)
où σy est la limite d’élasticité
Zarka propose de nouvelles surfaces d’écoulement dans un repère particulier. Il définit un nouvel espace de variable y d’équation 1.43.
y = = X = − dev(σ= res) = C ε = p− dev(σ = res) (1.43)
Dans cet espace, le critère de plasticité s’écrit de la façon suivante : 3 2(S el = − y=) T(Sel = − y=) ≤ σ 2 y (1.44)
De ce fait, les surfaces d’écoulement (Figure 1.23) n’évoluent pas avec les contraintes résiduelles. C’est le point de chargement qui va se déplacer dans ce nouveau repère. Seul l’écrouissage cinématique peut faire évoluer l’aire de la surface d’écoulement. Par projec- tion orthogonale sur la surface de charge, on peut calculer le point final y. Il est alors possible de remonter à la contrainte résiduelle finale en calculant la déformation plastique correspondante.
Figure 1.23 – Charge statique dans le repère de Zarka : y0 est le point initial et y1 est le point après chargement
Dans le cas d’un chargement cyclique tel que celui des sollicitations de fatigue, on définit deux surfaces de charge de centre Sel,min
maximum de chargement. A partir de ces deux surfaces, il est alors possible de distinguer plusieurs cas. Si les deux convexes possèdent une intersection et que le point de charge initiale est hors de celle-ci, il y aura adaptation de la structure (voir Figure 1.24). Le point de chargement stabilisé est la projection orthogonale du point initial sur la surface de charge. Le point initial est dans l’intersection, le comportement cyclique est purement élastique. Si les sphères de chargement maximal et minimal ne possèdent pas d’intersec- tion, il y aura accommodation de la structure (Figure 1.25). Dans ce cas, l’écrouissage cinématique linéaire agrandira la surface d’écoulement jusqu’à trouver une intersection et donc un point de chargement stabilisé.
Figure 1.24 – Adaptation dans le repère de Zarka
Figure 1.25 – Accommodation cyclique dans le repère de Zarka
Méthode de saut de cycle
Cette méthode développée par [Savalle and Culié, 1978], [Lesne and Savalle, 1989] et
[Kruch, 1992] consiste à extrapoler l’évolution d’une variable interne en "sautant" certains
cycles. On nomme Y le vecteur de variables internes dépendant du nombre de cycles et y est le vecteur des mêmes variables exprimées en fonction du temps. Si T est la période du cycle et τ un instant du cycle, on en déduit l’équation suivante :
Après un développement de Taylor d’ordre 2, on peut exprimer le vecteur Y en fonction de ses dérivées sur un intervalle ∆N plus ou moins étroit.
Y (N + ∆N ) = Y (N ) + Y0(N )∆N + Y00(N )(δN ) 2
2 (1.46)
La détermination de l’incrément de saut de cycle se fait sous l’hypothèse que le terme d’ordre 2 est négligeable devant le terme d’ordre 1 tel que dans l’équation suivante :
∆N 2Y 0(N )
Y00(N ) (1.47)
Pour respecter cette condition, un facteur de précision η est introduit tel que le saut de cycle s’écrit pour chaque composante du vecteur Y de la façon suivante :
∆Ni = 2η
Y0i(N )
Y00
i(N )
(1.48)
Dans la pratique, on choisit le ∆Ni le plus petit.
Méthode Neuber
La méthode basée sur la règle de Neuber [Neuber, 1961], effectue un calcul de char- gement en fond d’entaille. En faisant l’hypothèse d’un comportement purement élastique, il est trivial de calculer le chargement σe et la déformation élastique εe. Le postulat de
Neuber consiste à dire que le produit de la déformation et la contrainte élastiques est égal au produit de la déformation et la contrainte réelles (soit la densité d’énergie élastique). Cette hypothèse est illustré sur la figure 1.26(a) et par l’équation :
σeεe = σε (1.49)
Géométriquement, le postulat prédit que les aires des rectangles à point de chargement donné purement élastique et réelle sont identiques.
Figure 1.26 – Illustration de la règle de Neuber pour un cas statique (a) et un cas cyclique (b)
La méthode peut être appliquée à un chargement cyclique en modifiant l’équation de la façon suivante (Figure1.26.b) :
(σie− σe i−1)(ε
e i − ε
e
i−1) = (σi− σi−1)(εi− εi−1) (1.50)