1.4 Analyse et modélisation de la fatigue
1.4.1 La fatigue multiaxiale
Un essai de fatigue est basé sur un chargement cyclique comportant plusieurs carac- téristiques de l’analyse de durée de vie (1.33). Les deux grandeurs primordiales sont σa,
la contrainte alternée et σm la contrainte moyenne. De même, la fréquence des cycles de
fatigue est un paramètre important.
Figure 1.33 – Définition du chargement en fatigue [Hénaff and Morel, 2005]
On définit aussi le rapport de charge :
R = σmin σmax
où σmin et σmax sont les contraintes minimales et maximale du chargement au cours d’un
cycle.
— R=-1 est un chargement en contraintes alternées symétriques ;
— R=0,1 est un chargement en contraintes ondulées assez répandu dans l’industrie ; — R=0 est un chargement en contraintes répétées.
Durant des essais de fatigue, les couples nombre de cycle/contrainte alternée pour lesquels l’éprouvette rompt sont relevés. Les résultats sont reportés dans un diagramme logarithmique. La régression modélisant la probabilité de rupture à 50% est alors tracée. C’est la courbe de Wohler (Figure 1.34).
Figure 1.34 – Courbe de Wohler [Hénaff and Morel, 2005]
Sur ce diagramme on peut distinguer trois zones de fatigue :
— La fatigue oligocyclique : ce domaine se situe pour des durées de vie inférieures à 104-105 cycles. Il correspond à des contraintes alternées élevées, en général supé- rieures à la limite élastique du matériau. Cette fatigue entraine une déformation plastique macroscopique de l’éprouvette. Il est délimité en borne supérieure par la charge de rupture statique Rm du matériau. L’écrouissage est important dans ce domaine, un durcissement ou un adoucissement notable est observé.
— Le domaine d’endurance limitée : la rupture survient entre 105 et 107 cycles. Peu de déformations plastiques macroscopiques sont observées. L’éprouvette est donc dans son domaine purement élastique ou adapté (devenu élastique suite à la stabili- sation cyclique). Le nombre de cycles à la rupture croît quand la contrainte décroît.
— Le domaine d’endurance illimitée : il correspond à des contraintes faibles et de grands nombres de cycles. Dans cette zone, on dit que la durée de vie est illimitée. La courbe tend alors vers une asymptote σa= σD. C’est la limite de fatigue. Cette
valeur n’existe pas dans tous les cas, en particulier pour les alliages non ferreux. Dans ce cas, une limite conventionnelle de fatigue est donnée, c’est la probabilité de rupture à 50% pour un nombre de cycles donné (entre 106 et 107).
Il est à noter qu’il existe aussi la fatigue gigacyclique pour l’étude de l’effet de la fatigue sur des matériaux au-delà de 107 cycles [Bathias and Paris, 2004].
1.4.1.2 Régression des courbes de Wohler
Il existe de nombreuses expressions mathématiques pour modéliser la courbe d’endu- rance. Elles sont plus ou moins complexes et décrivent tout ou partie de la courbe de Wohler. Ces régressions peuvent être linéaires ou non. Ci-après se trouve une liste des principaux modèles :
— [Wohler, 1870] : Wohler a proposé un modèle linéaire simple. Il décrit bien la zone
d’endurance limitée.
ln(N ) = a − bσa où a et b sont des paramètres (1.52)
— [Basquin, 1910] : le modèle de Basquin reste une régression linéaire en prenant le
logarithme des cycles et celui de la contrainte alternée. Cependant ce modèle apporte une amélioration qui est de représenter le coude inférieur de la zone d’endurance limitée :
σa =
A
Nγ où A et γ sont des paramètres (1.53)
— [Stromeyer, 1914] : à partir de celui de Stromeyer, les modèles de régression ne sont
plus linéaires. La formulation de Stromeyer prend en compte la limite d’endurance qui est notée par la suite E.
σa= E +
A
Nγ (1.54)
— [Palmgren, 1924] : le modèle de Palmgren permet de représenter le coude entre la
fatigue oligo-cyclique et le domaine d’endurance limitée.
σa= E +
A
(N + B)γ où B, E et A sont des paramètres (1.55)
— [Weibull et al., 1949] : le modèle de Weibull est proche de celui de Palmgren. Ce
modèle demande un paramètre supplémentaire qui est la contrainte statique ultime pour l’essai étudié.
σa= E + (σD− E)e−b(ln(N )) c
où b et c sont des paramètres (1.56)
— [Bastenaire, 1971] : enfin le modèle de Bastenaire permet une inflexion de la courbe
sur la transition LCF/HCF et a pour asymptote la limite d’endurance. Il est plus compliqué à mettre en oeuvre car il nécessite jusqu’à quatre paramètres à identifier.
N = Ae
−(σa−EB )c
σa− E
1.4.1.3 Critère de fatigue multiaxiale
Un critère de fatigue permet de savoir si la limite de fatigue à N cycles du matériau est atteinte pour un chargement multiaxial. Les variables définissant le critère évoluent au cours du ou des cycles. Il met en relation des grandeurs liées au chargement telles que une contrainte alternée et/ou la contrainte moyenne de différentes natures (normale, de cisaillement) aux limites d’endurance (flexion alternée symétrique, torsion alternée symétrique, traction répétée, etc.). Il permet donc de situer le chargement par rapport à une ou plusieurs limites d’endurance ou limite de fatigue à N cycles. Quand le critère est atteint, il prévoit l’amorçage de fissure. L’analogie peut être faite avec les critères de plasticité.
Il existe trois grandes classes de critère multiaxiaux :
— Les critères empiriques : ils sont issus d’observations expérimentales d’essais sur des matériaux et des chargements donnés.
— Les critères globaux ou de type Von Mises : ils font intervenir les invariants du tenseur et du déviateur des contraintes. Ces quantités permettent une représen- tation globale de l’état de l’ensemble des contraintes. Certains critères définissent des grandeurs liées à l’ensemble des plans physiques possibles passant par le point où l’étude en fatigue est conduite pour ensuite en faire une moyenne, quadratique en général [Weber, 1999]. Les critères énergétiques rentrent dans cette catégorie. — Les critères de plans critiques ou de types Tresca : ces critères sont basés sur
la recherche du plan physique critique. L’endommagement du matériau en fatigue est lié à l’action des contraintes sur le plan critique.
La figure 1.35 récapitule l’ensemble des critères de fatigues multiaxiaux en 1999. Ils sont classés dans les trois catégories et subdivisés en catégories plus précises. Cette liste n’est pas exhaustive mais permet d’avoir une vision globale des critères les plus utilisés. L’auteur propose également une classification de ces critères.