Relations entre structure et comportement des boxes composites

Dans cette section, nous mettons en ´evidence comment le comportement d’un box

com-posite d´epend de celui des boxes qui le composent.

8.4.1 Propri´et´es statiques de boxes

Nous donnons pour commencer un r´esultat important du point de vue du d´eveloppement

Proposition 14.

SoientΩun op´erateur binaire de ABC,N₁ etN₂ deux boxes statiques,N un box statique

ou dynamique, a∈A, b∈B et B, B0∈mult(B).

1. N₁¤N₂=N₁¤N₂ =N₁¤N₂ etN₁¤N₂ =N₁¤N₂ =N₁¤N₂.

2. N₁~N₂=N₁~N₂=N₁~N₂ =N₁~N₂ et N₁~N₂=N₁~N₂.

3. N1;N2=N1;N2, N1;N2 =N1;N2 et N1;N2 =N1;N2.

4. N₁kN₂=N₁kN₂ et N₁kN₂ =N₁kN₂.

5. Nsca=Nsca, Nsca=Nsca, Ntieb=Ntieb et Ntieb=Ntieb.

6. (Nsca).B = (N.B)sca et (Ntieb).B= (N.B)tieb `a condition que b /∈B.

7. Si(N₁, N₂)∈dom(Ω) alors Ω((N₁.B, N₂.B)) = Ω((N₁, N₂)).(B+B0).

Preuve. Cons´equence des propositions 33 page 157 et 34(2) page 158 et des d´efinitions.

¤

8.4.2 Equivalences structurelles^´

Notre intention ici est de capturer les situations où différentes applications du même

opérateur conduisent à des résultats identiques. Nous commen¸cons par définir plusieurs

relations auxiliaires. Pour N = (^df N₁, N₂) et N⁰ = (^df N0

1, N0

2) deux paires de boxes, nous

d´efinissons les relations suivantes.

• N≡0 N⁰ s’il existe un boxN tel que{N1, N₁⁰}={N , N}etN2=N₂⁰. Cette

rela-tion est destinée à l’itérarela-tion lorsque son premier argument est dans un marquage

initial, ce qui est ´equivalent `a l’avoir dans un marquage final.

• N≡₁ N⁰s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰tels que{N,N⁰}={(N00

1, N₂⁰⁰),(N₁⁰⁰, N00

2)}.

Cette relation est destinée au choix et à l’itération en marquage initial, ce qui peut

ˆetre obtenu par le marquage initial de l’un ou l’autre des ses arguments.

• N≡₂ N⁰s’il existe des boxesN00

1 etN00

2 tels que{N,N⁰}={(N00

1, N00

2),(N00

1, N00

2)}.

Cette relation met en jeu le marquage final et ressemble à la précédente mais pour

le choix seulement.

• N≡₃ N⁰s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰tels que{N,N⁰}={(N₁⁰⁰, N₂⁰⁰),(N₁⁰⁰, N₂⁰⁰)}.

Cette relation est destinée à la séquence et à l’itération lorsque le premier

argu-ment a atteint un marquage final, cela correspond `a avoir le second arguargu-ment

dans un marquage initial.

• N≡4 N⁰ s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰, et des ´el´ements demult(B)B1,B2,B₁⁰ et

B₂⁰ tels que B₁+B₂ =B₁⁰ +B₂⁰, N= (N₁⁰⁰.B₁, N₂⁰⁰.B₂) etN⁰ = (N₁⁰⁰.B₁⁰, N₂⁰⁰.B₂⁰).

Autrement dit, les paires N etN⁰ ne diff`erent que par la distribution des jetons

dans les places de liens ouvertes de mˆeme statuts. Cette relation est destin´ee aux

op´erateurs binaires, qui assurent la fusion des places de liens ouvertes et ajoutent

leurs marquages.

Rappelons que, ´etant donn´ees deux relations binairesRetR⁰ sur un ensembleE, nous

d´efinissonsR◦R⁰ =^df {(x, y)| ∃z∈E : (x, z)∈R∧(z, y)∈R⁰}.

Nous d´efinissons maintenant une relation binaire pour chacun des op´erateurs de ABC :

≡_Ω_k =^df ≡₄ ≡_Ω_¤ =^df ≡₄◦(id_abox∪ ≡₁∪ ≡₂)

≡_Ω_sca =^df idabox ≡_Ω_~ =^df ≡₄◦(idabox∪ ≡₀∪ ≡₁∪ ≡₃)

≡_Ω_tieb =^df id_abox ≡_Ω_; =^df ≡₄◦(id_abox∪ ≡₃)

o`uidabox est l’identit´e surabox.

Les relations ≡_Ω sont r´eflexives et sym´etriques, mais elles ne sont pas transitives en

g´en´eral. En effet, pour deux boxesN₁ etN₂, nous avons :

(N₁, N₂)≡_Ω_¤ (N₁, N₂) et

(N₁, N₂)≡_Ω_¤ (N₁, N₂) mais

(N1, N2)6≡_Ω_¤ (N1, N2) .

Cependant, comme le montre le r´esultat suivant, si nous les restreignons aux domaines

des op´erateurs correspondants, elles deviennent transitives et identifient les Ω-uplets de

boxes qui produisent les mˆemes r´eseaux composites.

Proposition 15.

SoitΩ un box op´erateur de ABC, et soient N∈dom(Ω) etN⁰ deux Ω-uplets de boxes.

1. Si N≡_ΩN⁰ alors N⁰ ∈dom(Ω)et bbNcc=bbN0cc.

2. ≡_Ω est une relation d’´equivalence sur dom(Ω).

3. Si bbNcc=bbN⁰cc alors Ω(N) = Ω(N⁰) ssi N≡Ω N⁰.

Preuve. Cons´equence de la proposition 34 page 158. ¤

La conditionbbNcc=bbN0ccdans la troisième propriété ne peut pas être supprimée. En

effet, nous avonsN_ab+ 6≡Ωsca N_ab− mais pourtant N_ab+sca=N_ab−sca (les scopings ne

laissent aucune transition).

8.4.3 Propri´et´es dynamiques des boxes composites

Dans les r´esultats qui suivent, nous capturons la compositionnalit´e comportementale

de notre mod`ele, c’est-`a-dire la fa¸con dont le comportement des boxes composites (en

termes de steps franchissables) est reli´e au comportement de leurs constituants. Dans

sa plus simple expression, cela revient `a ´etablir quels steps de Ω(N) sont franchissables

sachant ceux qui le sont dans N.

Proposition 16.

SoientΩ_bin∈ {Ω_k,Ω_¤,Ω~,Ω_;} etN∈dom(Ω_bin). Alors enabled(Ω_bin(N))contient

exac-tement tous les ensembles de transitionsU = (v^bin₁ // U1)∪(v^bin₂ // U2) tels qu’il existe une

paire de boxesN⁰ = (N₁⁰, N₂⁰)satisfaisantN⁰ ≡_Ω_bin NetUi ∈enabled(N_i⁰)pouri∈ {1,2}.

De plus,Ω_bin(N)[UiΩ_bin(N⁰⁰) o`u N0

i[UiiN00

Preuve. Pour Ω_k, le résultat est une conséquence des définitions ; ≡Ω_k est nécessaire

pour r´earranger les jetons dans les places de liens ouvertes de N₁ et N₂, de fa¸con `a ce

que les stepsU₁ etU₂ soient franchissables s´epar´ement.

Pour les autres opérateurs, le résultat découle de la proposition 35 page 161. ¤

Proposition 17.

Soient N un box, a∈A, b∈B, B∈mult({b}) et B⁰ ∈mult(B).

1. enabled(Nsca) comprend exactement tous les ensembles de transitions

U = (v^scâ// Z)∪ {v^scâ/{v1, w1}, . . . , v^scâ/{vk, wk}}

tels que Z ∪V ∪W ∈ enabled(N), o`u les steps Z, V =^df {v₁, . . . , vk} et W =^df

{w₁, . . . , wk} satisfont `a {a,ba} ∩λN(Z) = ∅, λN(V) ={a} et λN(W) ={ba}. De

plus, Nsca[UiN0sca, o`u N[Z∪V ∪WiN0.

2. enabled(Ntieb) comprend exactement tous les ensembles U = vtieb// V tels que

V ∈enabled(N). De plus,Ntieb[UiN⁰tieb, o`u N[ViN⁰.

3. enabled((Ntieb).B) comprend exactement tous les ensemblesU ∈enabled(Ntieb).

De plus, (Ntieb).B[UiN⁰.B, o`uNtieb[UiN⁰.

4. enabled(N) est un sous-ensemble de enabled(N.B0). De plus, si N[UiN0, alors

N.B0[UiN0.B0.

Preuve. Par d´efinition. ¤

La réciproque de la dernière propriété n’est pas vraie, en effet, le box dynamiqueN_ab−

n’autorise pas le franchissement de step non vide alors que N_ab−.b[{vab−

}iN_ab−.

Le comportement des boxes asynchrones de base de ABC est captur´e ci-dessous.

Proposition 18.

Soit B ∈mult(B) et soit N =N_β.B, o`u N_β est l’un des boxes de base donn´es figure 8.6.

1. Pour β ∈ {a, ab⁺}, les steps non vides de N sont, respectivement, N[{va}iNa.B

et N[{vab⁺}iN_ab+.b.B.

2. Pourβ ∈ {ab−, ab±}, sib /∈B alorsN n’a que des steps vides, sinon, les steps non

vides de N sont, respectivement, N[{vab−

}iN_ab−.(B− {b}) et N[{vab±

}iN_ab±.B.

Preuve. Par d´efinition. ¤

Nous pouvons tirer plusieurs conséquences importantes des résultats présentés

ci-dessus. En particulier, que la fa¸con dont les boxes dynamiques et statiques sont compos´es

garantit que le r´esultat est un box statique ou dynamique si le domaine des op´erateurs

est respect´e.

Proposition 19.

Soit Ω un opérateur de ABC et soit N∈dom(Ω). Alors, tout réseau dérivable deΩ(N)

est de la forme Ω(N⁰) o`u N⁰ ∈dom(Ω) et bbNcc=bbN0cc. De plus, si aucun box dans N

142 n’est dynamique, alors tout r´eseau d´erivable deΩ(N) ou deΩ(N)est de la forme Ω(N⁰),

o`u N⁰ ∈dom(Ω) etbbNcc=bbN⁰cc.

Preuve. La premi`ere partie r´esulte des propositions 16 et 17(1,2). La seconde partie

est cons´equence de la premi`ere et de la proposition 14. ¤

Th´eor`eme 20.

Tout r´eseau composite de ABC est un box dynamique ou statique dont le marquage est

quasi-sˆur. De plus, il est statique ssi les op´erateurs de marquages (·) et (·) ne sont pas

utilisés, à moins qu’ils ne soient placés sous un opérateurb·c ou bb·cc.

Preuve. Résulte du théorème 12, des propositions 10 et 19 et du fait que les boxes

asynchrones des figures 8.6 et 8.7 sont tous statiques. Les r´eseaux composites sont

quasi-sûrs en conséquence du théorème 12 et du fait que tous les marquages sains des réseaux

des figures 8.6 et 8.7 sont quasi-sˆurs (il s’agit soit des marquages d’entr´ee soit des

mar-quages de sortie). ¤

Dans le document Modèles composables et concurrents pour le temps-réel (Page 140-144)

Relations entre structure et comportement des boxes composites

Dans cette section, nous mettons en ´evidence comment le comportement d’un box

com-posite d´epend de celui des boxes qui le composent.

8.4.1 Propri´et´es statiques de boxes

Nous donnons pour commencer un r´esultat important du point de vue du d´eveloppement

Proposition 14.

SoientΩun op´erateur binaire de ABC,N1 etN2 deux boxes statiques,N un box statique

ou dynamique, a∈A, b∈B et B, B0∈mult(B).

1. N1¤N2=N1¤N2 =N1¤N2 etN1¤N2 =N1¤N2 =N1¤N2.

2. N1~N2=N1~N2=N1~N2 =N1~N2 et N1~N2=N1~N2.

3. N1;N2=N1;N2, N1;N2 =N1;N2 et N1;N2 =N1;N2.

4. N1kN2=N1kN2 et N1kN2 =N1kN2.

5. Nsca=Nsca, Nsca=Nsca, Ntieb=Ntieb et Ntieb=Ntieb.

6. (Nsca).B = (N.B)sca et (Ntieb).B= (N.B)tieb `a condition que b /∈B.

7. Si(N1, N2)∈dom(Ω) alors Ω((N1.B, N2.B)) = Ω((N1, N2)).(B+B0).

Preuve. Cons´equence des propositions 33 page 157 et 34(2) page 158 et des d´efinitions.

¤

8.4.2 Equivalences structurelles´

Notre intention ici est de capturer les situations où différentes applications du même

opérateur conduisent à des résultats identiques. Nous commen¸cons par définir plusieurs

relations auxiliaires. Pour N = (df N1, N2) et N0 = (df N0

1, N0

2) deux paires de boxes, nous

d´efinissons les relations suivantes.

• N≡0 N0 s’il existe un boxN tel que{N1, N10}={N , N}etN2=N20. Cette

rela-tion est destinée à l’itérarela-tion lorsque son premier argument est dans un marquage

initial, ce qui est ´equivalent `a l’avoir dans un marquage final.

• N≡1 N0s’il existe des boxesN100etN200tels que{N,N0}={(N00

1, N200),(N100, N00

2)}.

Cette relation est destinée au choix et à l’itération en marquage initial, ce qui peut

ˆetre obtenu par le marquage initial de l’un ou l’autre des ses arguments.

• N≡2 N0s’il existe des boxesN00

1 etN00

2 tels que{N,N0}={(N00

1, N00

2),(N00

1, N00

2)}.

Cette relation met en jeu le marquage final et ressemble à la précédente mais pour

le choix seulement.

• N≡3 N0s’il existe des boxesN100etN200tels que{N,N0}={(N100, N200),(N100, N200)}.

Cette relation est destinée à la séquence et à l’itération lorsque le premier

argu-ment a atteint un marquage final, cela correspond `a avoir le second arguargu-ment

dans un marquage initial.

• N≡4 N0 s’il existe des boxesN100etN200, et des ´el´ements demult(B)B1,B2,B10 et

B20 tels que B1+B2 =B10 +B20, N= (N100.B1, N200.B2) etN0 = (N100.B10, N200.B20).

Autrement dit, les paires N etN0 ne diff`erent que par la distribution des jetons

dans les places de liens ouvertes de mˆeme statuts. Cette relation est destin´ee aux

op´erateurs binaires, qui assurent la fusion des places de liens ouvertes et ajoutent

leurs marquages.

Rappelons que, ´etant donn´ees deux relations binairesRetR0 sur un ensembleE, nous

d´efinissonsR◦R0 =df {(x, y)| ∃z∈E : (x, z)∈R∧(z, y)∈R0}.

Nous d´efinissons maintenant une relation binaire pour chacun des op´erateurs de ABC :

≡Ωk =df ≡4 ≡Ω¤ =df ≡4◦(idabox∪ ≡1∪ ≡2)

≡Ωsca =df idabox ≡Ω~ =df ≡4◦(idabox∪ ≡0∪ ≡1∪ ≡3)

≡Ωtieb =df idabox ≡Ω; =df ≡4◦(idabox∪ ≡3)

o`uidabox est l’identit´e surabox.

Les relations ≡Ω sont r´eflexives et sym´etriques, mais elles ne sont pas transitives en

g´en´eral. En effet, pour deux boxesN1 etN2, nous avons :

(N1, N2)≡Ω¤ (N1, N2) et

(N1, N2)≡Ω¤ (N1, N2) mais

(N1, N2)6≡Ω¤ (N1, N2) .

Cependant, comme le montre le r´esultat suivant, si nous les restreignons aux domaines

des op´erateurs correspondants, elles deviennent transitives et identifient les Ω-uplets de

boxes qui produisent les mˆemes r´eseaux composites.

Proposition 15.

SoitΩ un box op´erateur de ABC, et soient N∈dom(Ω) etN0 deux Ω-uplets de boxes.

1. Si N≡ΩN0 alors N0 ∈dom(Ω)et bbNcc=bbN0cc.

2. ≡Ω est une relation d’´equivalence sur dom(Ω).

3. Si bbNcc=bbN0cc alors Ω(N) = Ω(N0) ssi N≡Ω N0.

Preuve. Cons´equence de la proposition 34 page 158. ¤

La conditionbbNcc=bbN0ccdans la troisième propriété ne peut pas être supprimée. En

effet, nous avonsNab+ 6≡Ωsca Nab− mais pourtant Nab+sca=Nab−sca (les scopings ne

laissent aucune transition).

8.4.3 Propri´et´es dynamiques des boxes composites

Dans les r´esultats qui suivent, nous capturons la compositionnalit´e comportementale

de notre mod`ele, c’est-`a-dire la fa¸con dont le comportement des boxes composites (en

termes de steps franchissables) est reli´e au comportement de leurs constituants. Dans

sa plus simple expression, cela revient `a ´etablir quels steps de Ω(N) sont franchissables

SoientΩun op´erateur binaire de ABC,N₁ etN₂ deux boxes statiques,N un box statique

1. N₁¤N₂=N₁¤N₂ =N₁¤N₂ etN₁¤N₂ =N₁¤N₂ =N₁¤N₂.

2. N₁~N₂=N₁~N₂=N₁~N₂ =N₁~N₂ et N₁~N₂=N₁~N₂.

4. N₁kN₂=N₁kN₂ et N₁kN₂ =N₁kN₂.

7. Si(N₁, N₂)∈dom(Ω) alors Ω((N₁.B, N₂.B)) = Ω((N₁, N₂)).(B+B0).

8.4.2 Equivalences structurelles^´

relations auxiliaires. Pour N = (^df N₁, N₂) et N⁰ = (^df N0

• N≡0 N⁰ s’il existe un boxN tel que{N1, N₁⁰}={N , N}etN2=N₂⁰. Cette

• N≡₁ N⁰s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰tels que{N,N⁰}={(N00

1, N₂⁰⁰),(N₁⁰⁰, N00

• N≡₂ N⁰s’il existe des boxesN00

2 tels que{N,N⁰}={(N00

• N≡₃ N⁰s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰tels que{N,N⁰}={(N₁⁰⁰, N₂⁰⁰),(N₁⁰⁰, N₂⁰⁰)}.

• N≡4 N⁰ s’il existe des boxesN₁⁰⁰etN₂⁰⁰, et des ´el´ements demult(B)B1,B2,B₁⁰ et

B₂⁰ tels que B₁+B₂ =B₁⁰ +B₂⁰, N= (N₁⁰⁰.B₁, N₂⁰⁰.B₂) etN⁰ = (N₁⁰⁰.B₁⁰, N₂⁰⁰.B₂⁰).

Autrement dit, les paires N etN⁰ ne diff`erent que par la distribution des jetons

Rappelons que, ´etant donn´ees deux relations binairesRetR⁰ sur un ensembleE, nous

d´efinissonsR◦R⁰ =^df {(x, y)| ∃z∈E : (x, z)∈R∧(z, y)∈R⁰}.

≡_Ω_k =^df ≡₄ ≡_Ω_¤ =^df ≡₄◦(id_abox∪ ≡₁∪ ≡₂)

≡_Ω_sca =^df idabox ≡_Ω_~ =^df ≡₄◦(idabox∪ ≡₀∪ ≡₁∪ ≡₃)

≡_Ω_tieb =^df id_abox ≡_Ω_; =^df ≡₄◦(id_abox∪ ≡₃)

Les relations ≡_Ω sont r´eflexives et sym´etriques, mais elles ne sont pas transitives en

g´en´eral. En effet, pour deux boxesN₁ etN₂, nous avons :

(N₁, N₂)≡_Ω_¤ (N₁, N₂) et

(N₁, N₂)≡_Ω_¤ (N₁, N₂) mais

(N1, N2)6≡_Ω_¤ (N1, N2) .

SoitΩ un box op´erateur de ABC, et soient N∈dom(Ω) etN⁰ deux Ω-uplets de boxes.

1. Si N≡_ΩN⁰ alors N⁰ ∈dom(Ω)et bbNcc=bbN0cc.

2. ≡_Ω est une relation d’´equivalence sur dom(Ω).

3. Si bbNcc=bbN⁰cc alors Ω(N) = Ω(N⁰) ssi N≡Ω N⁰.

effet, nous avonsN_ab+ 6≡Ωsca N_ab− mais pourtant N_ab+sca=N_ab−sca (les scopings ne

SoientΩ_bin∈ {Ω_k,Ω_¤,Ω~,Ω_;} etN∈dom(Ω_bin). Alors enabled(Ω_bin(N))contient

exac-tement tous les ensembles de transitionsU = (v^bin₁ // U1)∪(v^bin₂ // U2) tels qu’il existe une

paire de boxesN⁰ = (N₁⁰, N₂⁰)satisfaisantN⁰ ≡_Ω_bin NetUi ∈enabled(N_i⁰)pouri∈ {1,2}.

De plus,Ω_bin(N)[UiΩ_bin(N⁰⁰) o`u N0

Preuve. Pour Ω_k, le résultat est une conséquence des définitions ; ≡Ω_k est nécessaire

pour r´earranger les jetons dans les places de liens ouvertes de N₁ et N₂, de fa¸con `a ce

que les stepsU₁ etU₂ soient franchissables s´epar´ement.

Soient N un box, a∈A, b∈B, B∈mult({b}) et B⁰ ∈mult(B).

U = (v^scâ// Z)∪ {v^scâ/{v1, w1}, . . . , v^scâ/{vk, wk}}

tels que Z ∪V ∪W ∈ enabled(N), o`u les steps Z, V =^df {v₁, . . . , vk} et W =^df

{w₁, . . . , wk} satisfont `a {a,ba} ∩λN(Z) = ∅, λN(V) ={a} et λN(W) ={ba}. De

V ∈enabled(N). De plus,Ntieb[UiN⁰tieb, o`u N[ViN⁰.

De plus, (Ntieb).B[UiN⁰.B, o`uNtieb[UiN⁰.

La réciproque de la dernière propriété n’est pas vraie, en effet, le box dynamiqueN_ab−

n’autorise pas le franchissement de step non vide alors que N_ab−.b[{vab−

}iN_ab−.

Soit B ∈mult(B) et soit N =N_β.B, o`u N_β est l’un des boxes de base donn´es figure 8.6.

1. Pour β ∈ {a, ab⁺}, les steps non vides de N sont, respectivement, N[{va}iNa.B

et N[{vab⁺}iN_ab+.b.B.

}iN_ab−.(B− {b}) et N[{vab±

}iN_ab±.B.

est de la forme Ω(N⁰) o`u N⁰ ∈dom(Ω) et bbNcc=bbN0cc. De plus, si aucun box dans N

n’est dynamique, alors tout r´eseau d´erivable deΩ(N) ou deΩ(N)est de la forme Ω(N⁰),

o`u N⁰ ∈dom(Ω) etbbNcc=bbN⁰cc.