Explosion de l’espace des ´etats

Les r´esultats pr´esent´es ci-dessus indiquent que les performances obtenues avec MARIA

pour les M-nets causalement temporis´es sont g´en´eralement meilleures que celles

obte-nues avec les autres outils pour les automates temporis´es. Cet optimisme doit cependant

ˆetre un peu temp´er´e. En effet, en s’appuyant sur MARIA, l’approche causale du temps

souffre du probl`eme bien connu d’explosion de l’espace des ´etats : si nous augmentons

les constantes utilis´ees pour borner les comptages de tics, le nombre de marquages

ac-cessibles croˆıt tr`es vite. Comme MARIA g´en`ere explicitement tous ces marquages, ses

performances deviennent tr`es mauvaises.

Avec les automates temporis´es, ce qui est effectivement test´e n’est pas les automates

eux mˆemes mais desautomates de r´egions qui confondent les ´etats ´equivalents des

au-tomates de d´epart. Les r´egions sont n´ecessaires dans cette approche car le temps ´etant

suppos´e continu, un syst`eme qui utiliserait au moins un chronom`etre aurait une infinit´e

non d´enombrable d’´etats distincts. Une telle notion de r´egions n’existe pas dans le cas

du temps causal. Nous envisageons de mener des recherches dans cette direction afin de

lever la limitation actuelle.

D’autre part, les techniques permettant d’all´eger le probl`eme d’explosion de l’espace de

´etats pour les r´eseaux de Petri sont typiquement bas´ees sur l’ind´ependance de certaines

actions et reposent le plus souvent sur des s´emantiques d’ordres partiels des r´eseaux.

Par exemple, l’espace des ´etats peut ˆetre repr´esent´e implicitement par un pr´efixe du

r´eseau d’occurrences g´en´eralis´e [McM95]. Ces techniques sont pour le moment limit´ees

aux mod`eles bas´es sur les r´eseaux places/transitions, mais des recherches r´ecentes dans le

domaine montrent qu’il est possible de les ´etendre `a des r´eseaux color´es pour produire des

pr´efixes de haut niveau qui peuvent ˆetre analys´es [Kou⁺02, FP00]. Il est mˆeme possible

d’am´eliorer consid´erablement l’efficacit´e des v´erifications en d´efinissant une ´equivalence

sur les marquages, ce qui permet de regrouper de nombreux ´etats dans les pr´efixes

g´en´er´es. Cela revient `a abstraire les donn´ees du r´eseau color´e pour ne les repr´esenter

que lorsqu’elles influent sur son ex´ecution. Dans notre sp´ecification, par exemple, la

placeTimen’apparaˆıtrait dans le pr´efixe que lorsque les valeurs qu’elle contient seraient

discriminantes pour l’´evolution du syst`eme. De mˆeme, la plupart des occurrences du tic

Ce type d’approches m`enera certainement rapidement `a une solution satisfaisante du

probl`eme d’explosion de l’espace des ´etats. Dans ce cas, non seulement nous l`everions

les limites actuelles, mais en plus, les performances constat´ees pourraient se voir encore

am´elior´ees puisque la v´erification des pr´efixes est g´en´eralement beaucoup plus efficace

que la g´en´eration des graphes de marquage. En fait, le gain en efficacit´e est proportionnel

au degr´e de concurrence du r´eseau v´erifi´e. Dans notre cas, il faudra r´ealiser un contrˆoleur

permettant plus de concurrence pour am´eliorer grandement nos r´esultats. Remarquons

quand mˆeme que les constantes que nous avons utilis´ees ne sont pas sp´ecialement petites

et l’utilisation de ces techniques r´eduirait consid´erablement la taille de la repr´esentation

de l’espace des ´etats, mˆeme avec la sp´ecification pr´esent´ee ici.

6

Pr´eemption

Ce chapitre est d´edi´e `a l’introduction de la pr´eemption dans le mod`ele des M-nets. Cette

introduction est motiv´ee par la recherche d’un mod`ele complet pour le temps-r´eel et

nous avons vu au chapitre 2 que la pr´eemption est un concept central du temps-r´eel, au

mˆeme titre que la repr´esentation du temps.

Nous avons aussi vu que la pr´eemption imp´erative n´ecessite une vue globale de la

tˆache `a interrompre. Pour mod´eliser la suspension notamment, il faut donc se doter

d’un m´ecanisme permettant de contrˆoler la franchissabilit´e d’un ensemble de transitions

(celles qui composent la tˆache `a suspendre) de mani`ere centralis´ee. Dans les r´eseaux

de Petri, chaque transition n’a qu’une vue locale du syst`eme (ses places en entr´ee) et

son franchissement ne d´epend que de cet environnement restreint. La franchissabilit´e

d’un ensemble de transitions est donc un crit`ere r´eparti et non centralis´e comme nous

en aurions besoin. Ce mod`ele se r´ev`ele donc `a priori peu adapt´e `a l’introduction de la

suspension.

Afin de surmonter cette difficult´e, nous augmentons le mod`ele des M-nets avec des

priorit´es entre les transitions. Ajouter des priorit´es aux r´eseaux de Petri peut augmenter

leur expressivit´e et permettre de repr´esenter les machines de Turing. C’est le cas en

g´en´eral lorsque les r´eseaux sont non born´es. Les places de liens n’´etant pas born´ees en

g´en´eral, l’ajout des priorit´es augmente strictement la puissance d’expression des M-nets.

Cependant, comme nous l’avons vu `a la section 3.4, il est possible de garantir que les

places de liens restent born´ees par l’ajout de places compl´ementaires. Nous pouvons alors

montrer que les r´eseaux ainsi born´es sont des abr´eviations de r´eseaux places/transitions

et que leur taille est compact´ee (avec un facteur exponentiel) grˆace `a l’utilisation des

priorit´es.

L’ajout des priorit´es nous permet de d´efinir deux nouveaux op´erateurs autorisant

res-pectivement la suspension/reprise et l’avortement d’un M-net `a priorit´es. Nous

respec-tons ainsi l’aspect composable de notre mod`ele de d´epart et nous obtenons un nouveau

mod`ele, baptis´ealg`ebre des M-nets pr´eemptibles (aussi appel´esPM-nets). L’importance

de l’ind´ependance de la pr´eemption par rapport aux autres aspects, comme le temps,

le contrˆole de flot et les communications est d´etaill´ee dans [Ber93]. En l’int´egrant sous

op´erateurs de l’alg`ebre), nous garantissons sa compl`ete orthogonalit´e au reste du mod`ele.

Afin d’aboutir `a la d´efinition de l’alg`ebre des PM-nets, nous proc´edons en plusieurs

´etapes correspondant aux sections de ce chapitre.

1. Nous commen¸cons par ajouter aux M-nets des priorit´es entre leurs transitions.

Il en r´esulte des M-nets `a priorit´es. Cette classe de r´eseaux de Petri peut ˆetre

vue comme une version de haut niveau des syst`emes `a priorit´es d´efinis et ´etudi´es

dans [BK92].

2. Les op´erateurs de l’alg`ebre des M-nets sont ensuite ´etendus pour tenir compte des

priorit´es. Les M-nets `a priorit´es sont alors dot´es de la mˆeme structure alg´ebrique

que les M-nets pr´esent´es au chapitre 3.

3. Nous d´efinissons deux nouveaux op´erateurs,πsetπa, autorisant respectivement la

suspension/reprise et l’avortement de M-nets `a priorit´es.

4. Nous d´efinissons enfin l’alg`ebre des PM-nets grˆace `a des contraintes syntaxiques

sur les M-nets `a priorit´es qui permettent d’assurer de bonnes propri´et´es au mod`ele

ainsi obtenu (en particulier, nous montrons qu’ils abr`egent les r´eseaux P/T dans

les cas finis).

Remarquons que l’approche consistant `a d´efinir un mod`ele g´en´eral et puissant sur

lequel on impose des restrictions syntaxiques a d´ej`a ´et´e utilis´ee pour les M-nets (voir les

restrictions syntaxiques impos´ees `a la section 3.3 page 48).

6.1 M-nets `a priorit´es

Soit N = (S, T, ι) un M-net. Une relation de priorit´es sur les transitions de N est une

relation binaireρ⊆T×T. Pour (t₁, t₂)∈ρ, nous notonst₁≺ρt₂(ou simplementt₁ ≺t₂

s’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e surρ) ; cela signifie intuitivement que le franchissement de t2

est toujours prioritaire sur celui det₁ lorsque les deux transitions peuvent ˆetre franchies.

D’autre part, sit₁ ett₂ sont en conflit sur une place, la priorit´e r´esout le conflit en faveur

de t2; si les deux transitions sont ind´ependantes, et donc potentiellement franchissables

dans un mˆeme step, seulet₂ peut s’ex´ecuter car t₁ est inhib´ee.

Le graphe d’une relation de priorit´es ρ sur T a pour nœuds les transitions de T et,

pour chaque paire (t, t⁰)∈ρ, il existe un arct← t⁰ dans le graphe. La figure 6.1 donne

un exemple de tel graphe.

Une relation de priorit´es ρ est bien form´ee si elle ne sp´ecifie rien d’incoh´erent avec

l’intuition donn´ee ci-dessus. Par exemple, s’il n’existe pas de transitions t1 et t2 telles

que t₁ ≺ t₂ et t₂ ≺t₁. Plus pr´ecis´ement, ρ est bien form´e si le graphe de ρ ne contient

pas de cycle (en particulier, il faut avoirρ∩ {(t, t)|t∈T}=∅qui interdit les cycles ne

contenant qu’un nœud). Cela revient `a dire que nous pouvons compl´eterρpour former un

ordre partiel, ce qui correspond bien `a la perception intuitive d’une relation de priorit´es.

La relation de la figure 6.1 est bien form´ee.

.

.

t₁

t₂

t₃

t₄

t₅

Figure 6.1 — Le graphe de la relation de priorit´es{(t2, t1),(t3, t1),(t5, t1),

(t4, t2),(t5, t2)}.

Un M-net `a priorit´es, ou ρ-net, est une paire P = (N, ρ) o`uN est un M-net et ρ est

une relation de priorit´es sur les transitions deN. Un ρ-net P = (N, ρ) estbien form´e si

N etρ le sont. Nous appelons N la partie r´eseau deP etρ sa relation de priorit´es.

Remarquons que nous n’imposons pas `a unρ-net d’ˆetre bien form´e. Nous verrons dans

la suite que c’est une propri´et´e qui sera obtenue, sur une sous-classe desρ-nets, par des

restrictions syntaxiques.

Un ρ-net est statique, respectivement dynamique, si sa partie r´eseau l’est. Plus

g´e-n´eralement, le vocabulaire associ´e aux propri´et´es des M-nets et de leurs marquages est

´etendu aux ρ-nets en consid´erant leurs parties r´eseaux.

Franchissement et s´emantique concurrente. La r`egle de franchissement des ρ-nets

doit prendre en compte les priorit´es entre transitions. SoitP = (N, ρ) un ρ-net tel que

N = (S, T, ι) et soitM un marquage de N (par extension, nous dirons aussi que c’est

un marquage de P). Une transition t ∈ T, franchissable sous le marquage M, est ρ

-franchissable, ce que nous notons M[tiρ, s’il n’existe pas de transition t⁰ ∈T telle que

M[t⁰iett≺t⁰. Nous voyons ici que l’ajout de priorit´es peut rendre non franchissable une

transition qui aurait pu l’ˆetre avec la r`egle de franchissement des M-nets, mais que le

contraire n’est pas vrai. Nous avons donc toujoursM[tiρ⇒M[timais pas la r´eciproque.

Comme la r`egle de franchissement, la notion de steps doit ˆetre adapt´ee aux

priori-t´es. Sans cela, la s´emantique steps des M-nets `a priorit´es contiendrait des incoh´erences.

Consid´erons par exemple leρ-netP = (N, ρ) pr´esent´e figure 6.2 (cet exemple est repris

de [BK92]).

.

.

•^⇐ t1 t2 _⇒

•^⇐ t₃ ^⇒

Figure 6.2 —Un ρ-net pour lequelρ={(t3, t2)}.

En consid´erant uniquement sa partie r´eseau N, nous obtenons :

o`u ∅ repr´esente la s´equence vide. Cette s´emantique contient la s´equence {t1}{t3} qui

viole la relation de priorit´es ; en effet, si t₁ est franchie,t₂ ett₃ deviennent toutes deux

franchissables et, puisquet₃≺t₂,t₃n’est pasρ-franchissable. Il faut donc supprimer cette

s´equence de la s´emantique. Ce n’est pourtant pas suffisant car la s´emantique contient

encore le step {t₁, t₃} dont {t₁}{t₃} est une lin´earisation. Pour conserver la coh´erence

de la s´emantique par rapport `a la lin´earisation, il faut aussi supprimer {t₁, t₃}. La

s´e-mantique steps coh´erente d’un ρ-net P = (N, ρ), not´eesteps(P), est donc le plus grand

sous-ensemble de steps(N) tel que chaque s´equence de steps(P) et chacune de ses

lin´ea-risations respecte ρ. Pour l’exemple ci-dessus, nous obtenons :

steps(P) ={∅,{t₁},{t₃},{t₃}{t₁},{t₁}{t₂}} .

Dans [BK92], les auteurs consid`erent cette s´emantique comme l’une des « plus

concur-rentes »qu’on peut obtenir pour des r´eseaux de Petri `a priorit´es.

Dans le document Modèles composables et concurrents pour le temps-réel (Page 92-97)