Relations

2.2 Relations

2.2.1 Généralités

Définition 2.11 Soient E et F deux ensembles. Unerelation(oucorrespondance)R deEversF est définie par tout triplet(E,R,F)où R est une partie de E×F .

Considérons un couple(x,y)deE×F vérifiant(x,y)∈R. On dit que l’élémentxdeEesten relation parRavec l’élément ydeF, ce que l’on notexRy. L’ensembleEs’appelle l’ensemble de départdeR,Fl’ensemble d’arrivéede RetRest legraphedeR. Enfin, on appelleensemble de définitiondeRla partieAdeEdéfinie comme suit :

A={x∈E| ∃y∈F, xRy}, etensemble imagedeRla partieBdeF définie par :

B={y∈F | ∃x∈E, xRy}.

Définition 2.12 Soient E, F , G trois ensembles,R, (resp.S) une relation de E vers F (resp. F vers G). On définit la relation composée deRetS, notéeS ◦ R, de E vers G par :

∀(x,z)∈E×G, (xS ◦ Rz⇔(∃y∈F, xRy et ySz)).

Exemple. SoientE = F = G l’ensemble des droites d’un plan affine euclidien etR = S =⊥, la relation d’orthogonalité. AlorsS ◦ R=k, la relation de parallélisme, car, pour toutes droitesDetD⁰⁰du planE, on a :

(DkD⁰⁰)⇔(∃D⁰∈E, D⊥D⁰etD⁰⊥D⁰⁰) On peut donc écrire ici :⊥ ◦ ⊥=k.

Proposition 2.13 Soient E, F , G, H des ensembles etR(resp.S, resp.T) une relation de E vers F (resp. F vers G, resp. G vers H). On a alors :

(T ◦ S)◦ R=T ◦(S ◦ R).

DÉMONSTRATION. On remarque tout d’abord que les relations(T ◦ S)◦ RetT ◦(S ◦ R)ont le même ensemble de départ (E) et d’arrivée (H). Soit(x,t)∈E×H. On a :

x(T ◦ S)◦ Rt⇔(∃y∈F,(xRyetyT ◦ St))

⇔(∃y∈F,∃z∈G,(xRyetySzetzTt))

⇔(∃z∈G,(xS ◦ RzetzTt))

⇔xT ◦(S ◦ R)t.

ƒ Définition 2.14 Soient E, F deux ensembles etRune relation de E vers F . On définit larelation réciproque deR, notéeR⁻¹, de F vers E par :

∀(x,y)∈E×F, (yR⁻¹x⇔xRy). Proposition 2.15 1) Pour toute relationR, on a :(R⁻¹)⁻¹=R.

2) Soient E, F , G trois ensembles etR(resp.S) une relation de E vers F (resp. F vers G). On a : (S ◦ R)⁻¹=R⁻¹◦ S⁻¹.

DÉMONSTRATION. 1) C’est immédiat.

2) ∀(x,z)∈E×G, on a :

z(S ◦ R)⁻¹x⇔x(S ◦ R)z

⇔(∃y∈F,(xRyetySz))

⇔(∃y∈F,(zS⁻¹yetyR⁻¹x))

⇔zR⁻¹◦ S⁻¹x.

ƒ Définition 2.16 Soit E un ensemble. Une correspondance de E vers E est appelée unerelation binaire dans E.

CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET RELATIONS

Exemples.

— Soitnun entier naturel. etR={(p,q)∈Z²| ∃k∈Z, p−q=kn}. La relation ainsi définie est appelée congruence modulon. Au lieu d’écrire(p,q)∈ Rou encorepRq, on notep≡q(modn).

— La relation d’égalitéa=bsur un ensembleEest une relation binaire dont le graphe est la diagonale de E², c’est-à-dire l’ensemble des(x,x)quandx parcourtE. Les ensembles de définition et image de cette relation coïncident avecE.

— SoientEun ensemble,AetBdeux parties deE. La relation d’inclusionA⊂Best une relation binaire dans P(E). Les ensembles de définition et image de cette relation coïncident avecP(E)tout entier.

Définition 2.17 Une relation binaireRdans un ensemble E est dite :

• réflexivesi et seulement si :∀x∈E, xRx,

• symétriquesi et seulement si :∀(x,y)∈E², (xRy⇒yRx),

• antisymétriquesi et seulement si :∀(x,y)∈E², ((xRy et yRx)⇒x=y),

• transitivesi et seulement si :∀(x,y,z)∈E³,((xRy et yRz)⇒xRz). Exemples.

— La relation d’égalité dans un ensemble quelconque est réflexive, symétrique et transitive.

— L’inclusion dansP(E)est réflexive, non symétrique, antisymétrique et transitive.

— Dans l’ensemble des droites du plan affine euclidien, la relation⊥d’orthogonalité est symétrique, mais n’est ni réflexive, ni antisymétrique, ni transitive. Une droite n’est en effet pas perpendiculaire à elle-même et, d’autre part,D⊥D⁰etD⁰⊥D⁰⁰entraînentDkD⁰⁰(Dparallèle àD⁰⁰) et nonD⊥D⁰⁰.

Définition 2.18 Soient E un ensemble,Rune relation binaire sur E et A une partie de E. La relation binaire dans A, notéeRA, définie par :

∀(x,y)∈A², (xRAy⇔xRy), est appeléerelation induite parRsurA.

2.2.2 Relations d’équivalence

Définition 2.19 SoitRune relation binaire dans un ensemble E. On dit queRest unerelation d’équivalencesi et seulement siRest réflexive, symétrique et transitive.

Étant donnée une relation d’équivalence, on identifie les éléments qui sont en relation en introduisant lesclasses d’équivalence.

Définition 2.20 SoitR une relation d’équivalence dans un ensemble E. Pour chaque x de E, on appelle classe d’équivalence de x(moduloR)le sous-ensemble de E défini par :

C(x) ={y∈E|xRy}.

Tout élément deC(x)est appelé unreprésentant de la classeC(x). L’ensemble des classes d’équivalence moduloR se nommeensemble quotient deEparRet se note E/R.

Exemples.

— Comme on l’a déjà vu, la relation d’égalité dans un ensembleEquelconque est une relation d’équivalence, d’ensemble quotient{{x} | x∈E}.

— Lorsque la relation d’équivalence est la congruence modulon, avecnun entier positif, dansZ, l’ensemble quotient est notéZ/nZet on a :

Z/nZ={C(0),C(1), . . . ,C(n−1)}, avecC(i) ={i+nk|k∈Z}, 0≤i≤n−1.

— Dans l’ensemble des droites d’un plan affine, la relation de parallélismekest une relation d’équivalence.

Pour toute droiteD, la classe deDmodulokest appelée la directionD.

2.2. RELATIONS

Théorème 2.21 À toute relationR d’équivalence dans un ensemble E correspond une partition de E en classes d’équivalence et réciproquement, toute partition de E définit sur E une relation d’équivalence R, dont les classes coïncident avec les éléments de la partition donnée.

DÉMONSTRATION. SoitRune relation d’équivalence dansE. Pour tout élémentxdeE,C(x)est non vide carxappartient à C(x). Soit(x,y)∈E²tel queC(x)∩ C(y)6=∅. Il existe doncz∈ C(x)∩ C(y). On a alorsxRzetyRz, d’où (par symétrie et transitivité de la relation)xRy. On en déduit queC(x)⊂ C(y). Soit en effettdeC(x), on axRtetxRy, d’oùyRt, soit encoret∈ C(y). Puis,xetyjouant des rôles symétriques, on aC(x) =C(y). Comme, pour chaque élémentxdeE,x appartient àC(x), la réunion des éléments deE/RestE.

Réciproquement, soitP une partition deEetRla relation définie dansEpar :

∀(x,y)∈E²,(xRy⇔(∃P∈ P,(x∈Pety∈P))).

Par définition, il existe, pour chaque xdeE, un élémentPdeP auquelxappartient, on a :∀x∈E,xRx, et doncRest réflexive.

Pour tout(x,y)deE², on a :

xRy⇔(∃P∈ P,(x∈Pety∈P))⇔(∃P∈ P,(y∈Petx∈P))⇔yRx, et doncRest symétrique.

Soit(x,y,z)∈E³tel quexRyetyRz. Il existePetQ∈ P tels que :

((x∈Pety∈P)et(y∈Qetz∈Q)).

CommeP∩Q6=∅et queP est une partition, on aP=Q, donc(x∈Petz∈P)d’oùxRz. Ainsi,Rest transitive.

Enfin, soitxun élément deE. Il existePdeP tel quexappartient àPet l’on a alorsC(x) =P. En effet, pour toutydeP, (x∈Pety∈P)doncxRy.

Pour tout élément ydeC(x), il existeQappartenant àP tel que(x∈Qety∈Q)etQ=P(pour les mêmes raisons que précédemment) et donc y∈P. Ceci prouve queE/R ⊂ P.

Réciproquement, soitP∈ P. Il existexappartenant àPet l’on a alorsC(x) =P. Ceci montre queP ⊂E/R. ƒ

2.2.3 Relations d’ordre

Généralités

Définition 2.22 SoitR une relation binaire dans un ensemble E. On dit que R est une relation d’ordre si et seulement siRest réflexive, antisymétrique et transitive.

Une relation d’ordre est souvent notée≤ou encore. Le couple(E,≤), oùEest un ensemble et≤une relation d’ordre, est appeléensemble ordonné. La relation x≤yetx6=yest notée x< y.

Définition 2.23 Soit(E,≤)un ensemble ordonné. La relation≤est diterelation d’ordre totalsi deux éléments quelconques de E sontcomparables:

∀(x,y)∈E², (x≤ y ou y≤x). Dans le cas contraire, l’ordre est ditpartiel.

Exemples.

— La relation≤usuelle surRest une relation d’ordre total.

— SiEest un ensemble ayant au moins deux éléments, l’inclusion dansP(E)est une relation d’ordre partiel.

Soient Eun ensemble,≤une relation d’ordre surEetAune partie deE. La relation induite par≤dansAest une relation d’ordre appeléerelation d’ordre induite par≤sur A.

CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET RELATIONS

Éléments remarquables d’un ensemble ordonné

Définition 2.24 Soient(E,≤)un ensemble ordonné et A une partie de E.

1) Un élément x de E est appelé unmajorant(resp.minorant) de A dans E si et seulement si :

∀a∈A, a≤x (resp.∀a∈A, x≤a).

2) On dit que A estmajorée(resp.minorée) dans E si et seulement si A admet au moins un majorant (resp. minorant) dans E, c’est-à-dire :

∃x∈E, ∀a∈A, a≤x (resp.∃x∈E, ∀a∈A, x≤a).

3) Un élément x de E est appelé unplus grand(resp.plus petit) élément de A si et seulement s’il appartient à A et s’il majore (resp. minore) A, c’est-à-dire :

(x∈A et(∀a∈A, a≤x)) (resp.(x∈A et(∀a∈A, x≤a))).

4) Soit x appartenant à A. On dit que x est un élémentmaximal(resp.minimal) de A si et seulement si :

∀a∈A, (x≤a⇒x=a) (resp.∀a∈A, (a≤x⇒x=a)). Exemples.

— Dans(R,≤),R₊n’a pas d’élément maximal.

— Dans(R,≤),[0, 1]admet un élément maximal et un seul, qui est 1. C’est aussi le plus grand élément de [0, 1].

Définition 2.25 Soient(E,≤)un ensemble ordonné et A une partie de E. On dit qu’un élément M de E est laborne supérieure deAdansE, notéesupA, si l’ensemble des majorants de A dans E admet M comme plus petit élément. Un élément m de E sera appelé laborne inférieure deAdansE, notéeinfA, si l’ensemble des minorants de A dans E admet m comme plus grand élément.

Exemples.

— DansRmuni de l’ordre usuel,Nne possède pas de borne supérieure,[0, 1[possède une borne supérieure égale à 1 et une borne inférieure égale à 0.

— DansQmuni de l’ordre usuel, on considèreA={x∈Q+ |x²<2}. L’ensemble des majorants deAdans Qest{x∈Q+ x²≥2}={x∈Q+ x²>2}, qui n’a pas de plus petit élément (cela revient àp

2∈/Q) ;A n’admet donc pas de borne supérieure dansQ.