Existence de limites

— il n’y a pas de limite ; par exemple, pour toutn∈N,u_n=n+ (−1)ⁿetv_n=−n, alors(u_n+v_n) = (−1)ⁿqui n’a pas de limite.

(v_n)n∈N

(u_n)n∈N l>0 l=0 l<0 +∞ −∞ ^PL

l⁰>0 l l⁰ 0 l l⁰ +∞ −∞ ^PL

l⁰=0 0 0 0 ? ? ?

l⁰<0 l l⁰ 0 l l⁰ −∞ +∞ ^PL

+∞ +∞ ? −∞ +∞ −∞ ?

−∞ −∞ ? +∞ −∞ +∞ ?

PL PL ? PL ? ? ?

Tableau des limites possibles pour la suite(u_nv_n)n∈Nen fonction des limites respectives des suites réelles(u_n)n∈Net(v_n)n∈N.

Là encore, les lettresPLsignifient que la suite considérée n’a pas de limite et le symbole « ? » correspond à une forme indéterminée. Différents cas sont possibles :

— la limite est finie : par exemple, pour toutn∈N^∗,u_n=netv_n=1 n, lim

n→+∞u_nv_n=1,

— la limite est infinie : par exemple, pour toutn∈N,u_n=n²etv_n=1 n, lim

n→+∞u_nv_n= +∞,

— il n’y a pas de limite : par exemple, pour toutn∈N^∗,u_n=netv_n=(sinn)²

n , alorsu_nv_n= (sinn)²qui n’a pas de limite.

8.3 Existence de limites

Nous rassemblons dans cette section plusieurs résultats relatifs à l’existence de limites.

Proposition 8.21 1) Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.

2) Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.

DÉMONSTRATION.

1) Soit(u_n)n∈Nune suite réelle croissante et majorée. L’ensemble{uk|k∈N}des termes de la suite est une partie deRnon vide et majorée, qui admet donc une borne supérieure, notéel. On a alorsu_n≤l, pour tout entiern, et pour tout réel"

strictement positif,l−"n’est pas un majorant de l’ensemble{u_k|k∈N}. Il existe alorsN∈Ntel que l−"≤u_N≤l.

La suite(u_n)n∈Nétant croissante, on en déduit

∀n∈N,(n≥N⇒l−"≤u_N≤u_n≤l),

et donc|x_n−l| ≤". On en conclut que(u_n)n∈Nconverge versl.

2) Il suffit d’appliquer le résultat 1) à la suite(−un)n∈N.

ƒ Proposition 8.22 1) Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers+∞.

2) Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers−∞. DÉMONSTRATION.

1) Soit(u_n)n∈Nune suite réelle croissante non majorée. L’ensemble{u_k|k∈N}des termes de la suite est une partie deRnon majorée, et donc, quel que soitA>0, il existe un entierNtel queu_N>A. La suite(u_n)n∈Nétant croissante, on en déduit

∀n∈N,(n≥N⇒u_n≥u_N>A), d’où lim

n→+∞u_n= +∞.

CHAPITRE 8. SUITES NUMÉRIQUES

2) Il suffit d’appliquer le résultat 1) à la suite(−un)n∈N.

ƒ Proposition 8.23 Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.

DÉMONSTRATION. Soient(u_n)n∈Net(v_n)n∈Ndeux suites adjacentes. Supposons(u_n)n∈Ncroissante et(v_n)n∈Ndécroissante. La suite(u_n−v_n)n∈Nest donc croissante et tend par hypothèse vers 0, on en déduit que c’est une suite négative et,∀n∈N,u_n≤v_n. De plus,∀n∈N,u₀≤u_netv_n≤v₀. En combinant ces inégalités, nous obtenons

∀n∈N,u0≤u_n≤v_n≤v0.

La suite(u_n)n∈Nest alors croissante et majorée parv0, c’est donc une suite convergente. De même, la suite(v_n)n∈Nest décroissante et minorée paru₀, donc(v_n)n∈Nest convergente.

D’autre part, on a lim

n→+∞(u_n−v_n) =0 et, comme les deux suites sont convergentes, on en déduit lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞v_n. ƒ

Nous pouvons à présent établir le

Théorème 8.24 (« théorème des segments emboîtés »)Soit([a_n,b_n])n∈Nune suite de segments emboîtés (c’est-à-dire, ∀n ∈ N, [a_n+1,b_n+1] ⊂ [a_n,b_n]) telle que lim

n→+∞(b_n−a_n) = 0. Alors l’intersectionT

n∈N[a_n,b_n] est un singleton.

DÉMONSTRATION. Notons que les suites(a_n)n∈Net(b_n)n∈Nsont adjacentes. On en déduit que qu’elles convergent vers une même limitelet l’on a,∀n∈N,a_n≤l≤b_ndoncl∈[a_n,b_n]pour tout entiern, et, par suite,l∈T

n∈N[a_n,b_n]. D’autre part sil⁰∈T

n∈N[a_n,b_n], alorsl⁰∈[a_n,b_n]pour tout entiern. Comme on a égalementl∈[a_n,b_n]pour tout entiern, nous obtenons∀n∈N,b_n−a_n≥ |l−l⁰|. En faisant tendrenvers l’infini, nous trouvonsl=l⁰.

En conclusion,T

n∈N[a_n,b_n] ={l}. ƒ

Théorème 8.25 (« théorème de Bolzano²–Weierstrass³»)De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

DÉMONSTRATION. Soit(u_n)n∈Nune suite réelle bornée. Il existe alors deux réelsa0etb0tels que, pour tout entiern,a0≤u_n≤b0. Il est clair que{k∈N|u_k∈[a₀,b₀]}=Nest infini.

Soit à présentn∈N; nous supposons défini le couple(a_n,b_n)∈R²tel que i) a_n≤b_n,

ii) {k∈N|u_k∈[a_n,b_n]}est infini, iii) b_n−a_n= 1

2ⁿ(b₀−a₀).

En considérant alors le milieu^an+b₂ⁿ de l’intervalle fermé[a_n,b_n], il est clair que l’un des deux intervalles

a_n,^an+b₂ ⁿ ,a_n+bn

2 ,b_n est tel que l’ensemble des entiersktels queu_ksoit dans cet intervalle est infini. Il existe donc(a_n+1,b_n+1)∈R²tel que

i) a_n+1≤b_n+1,

ii) {k∈N|u_k∈[a_n+1,b_n+1]}est infini, iii) b_n+1−a_n+1=1

2(b_n−a_n) = 1

2ⁿ⁺¹(b₀−a₀).

Il est alors évident que les intervalles[a_n,b_n],n∈N, forment une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. On en déduit (d’après le théorème 8.24) qu’ils ont un seul point communl∈R, qui est la limite commune de(a_n)n∈Net(b_n)n∈N. D’autre part, il est aisé de construire une extractriceσtelle queσ(0) =0 et telle qu’il existe, pour tout entiern, un entierktel que sik> σ(n)alorsu_k∈[a_n,b_n]etσ(n+1) =k. Les inégalitésa_n≤u_σ(n)≤b_n, valables pour tout entiern, montrent alors

que la suite(u_σ(n))n∈Ntend versl. ƒ

Théorème 8.26 Toute suite de Cauchy à valeurs réelles est convergente (on dit queRestcomplet).

2. Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano (5 octobre 1781 - 18 décembre 1848) était un mathématicien, théologien et philosophe bohémien de langue allemande. Ses travaux portèrent essentiellement sur les fonctions et la théorie des nombres et il est considéré comme un des fondateurs de la logique moderne.

3. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (31 octobre 1815 - 19 février 1897) était un mathématicien allemand, souvent cité comme le « père de l’analyse moderne ». On lui doit l’introduction de plusieurs définitions et de formulations rigoureuses, comme les notions de limite et de continuité, et ses contributions au développement d’outils théoriques en analyse ouvrirent la voie à l’étude du calcul des variations telle que nous la connaissons aujourd’hui.

8.3. EXISTENCE DE LIMITES

DÉMONSTRATION. Soit(u_n)n∈Nune suite réelle de Cauchy. D’après la proposition 8.6, nous savons que(u_n)n∈Nest bornée. Il existe alors, en vertu du théorème de Bolzano–Weierstrass, une suite extraite(u_σ(n))n∈Nqui converge vers une limitel. Montrons que la suite(u_n)n∈Nconverge vers cette limite.

Soit" >0. Il existe des entiersNetN⁰tels que

2. En combinant ces deux inégalités, nous obtenons

∀n∈N,

En alliant ce théorème à la proposition 8.15, nous en déduisons qu’une suite réelle converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy.

Nous terminons cette section avec un résultat relatif à la suite des moyennes arithmétiques des premiers termes d’un suite convergente.

Théorème 8.28 (« lemme de Cesàro »)La moyenne de Cesàro d’une suite convergente de limite l converge vers l.

DÉMONSTRATION. Soit(u_n)n∈N^∗une suite convergente de limitelet(s_n)n∈N^∗sa moyenne de Cesàro. Soit" >0. Il existe un entier naturel non nulNtel que

∀n∈N^∗, et il existe donc un entier naturel non nulN⁰tel que

∀n∈N^∗,

4. Ernesto Cesàro (12 mars 1859 - 12 septembre 1906) était un mathématicien italien, connu pour ses contributions à la géométrie différentielle et son procédé de sommation des séries divergentes.

CHAPITRE 8. SUITES NUMÉRIQUES