Définitions 9.51 On appellesinus hyperboliqueetcosinus hyperboliqueles parties impaire et paire de la fonction exponentielle de base e :
∀x∈R, sinh(x) = ex−e−x
2 et cosh(x) = ex+e−x
2 .
On définit également les applicationstangente hyperboliqueetcotangente hyperboliquepar tanh(x) = sinh(x)
cosh(x), ∀x∈R, etcoth(x) = cosh(x)
sinh(x), ∀x∈R∗. Les preuves des résultats suivants sont laissées en exercice au lecteur.
Proposition 9.52 Pour tout(x,y)∈R2, on a 1) cosh2(x)−sinh2(x) =1,
2) sinh(x+y) =sinh(x)cosh(y) +cosh(x)sinh(y), 3) sinh(x−y) =sinh(x)cosh(y)−cosh(x)sinh(y), 4) cosh(x+y) =cosh(x)cosh(y) +sinh(x)sinh(y), 5) cosh(x−y) =cosh(x)cosh(y)−sinh(x)sinh(y).
Proposition 9.53 1) L’applicationsinhest une bijection deRdansR, de bijection réciproque notéeargsinhtelle que argsinh(x) =ln
x+p x2+1
, ∀x∈R.
2) L’applicationcoshest une bijection deR+dans[1,+∞[, de bijection réciproque notéeargcoshtelle que argcosh(x) =ln
x+p x2−1
, ∀x∈[1,+∞[.
3) L’applicationtanhest une bijection deRdans]−1, 1[, de bijection réciproque notéeargtanhtelle que argtanh(x) =1
2ln
1+x 1−x
, ∀x∈]−1, 1[.
Chapitre 10
Dérivabilité
Dans ce chapitre,Kdésigne un corps (K=RouC),I un intervalle deRnon vide et non réduit à un point et F(I,K)est l’ensemble des applications définies surI et à valeurs dansK.
10.1 Dérivées
10.1.1 Dérivabilité en un point
Définition 10.1 Soient f ∈ F(I,K)et a∈I . On dit que f estdérivable en a si et seulement si lim
x→a
f(x)−f(a) x−a existe et est finie ; cette limite est alors appeléedérivée de f ena et notée f0(a).
En posanth=x−a, on obtient une autre écriture très souvent employée : f0(a) =lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h ,
dans laquelle le rapport f(a+h)−f(a)
h s’appelle letaux d’accroissement de f entre a et a+h.
On note également df
dx(a)au lieu de f0(a).
Exemple. Toute application constante deI dansRest dérivable en tout point deI, de dérivée nulle.
Définition 10.2 Soient f ∈ F(I,K)et a∈I .
1) On dit que f estdérivable à droite ena si et seulement si lim
x→a+
f(x)−f(a)
x−a existe et est finie ; cette limite est alors appeléedérivée de f à droite ena et notée fd0(a).
2) On dit que f estdérivable à gauche ena si et seulement si lim
x→a−
f(x)−f(a)
x−a existe et est finie ; cette limite est alors appeléedérivée de f à gauche ena et notée fg0(a).
Exemple. L’applicationx7→ |x|deRdansRest dérivable à gauche en 0 et dérivable à droite en 0, et fg0(0) =−1, fd0(0) =1.
Le résultat suivant est immédiat.
Proposition 10.3 Soient f ∈ F(I,K)et a∈I . Pour que l’application f soit dérivable en a, il faut et il suffit que f soit dérivable à gauche et à droite en a et que fg0(a) =fd0(a). Dans ces conditions, on a f0(a) =fg0(a) =fd0(a). Proposition 10.4 Soient f ∈ F(I,K)et a∈I . Si l’application f est dérivable en a, alors elle est continue en a.
CHAPITRE 10. DÉRIVABILITÉ
DÉMONSTRATION. On sait d’une part que
limx→a
Remarque. La réciproque de cette proposition est fausse : une application peut être continue enasans pour autant être dérivable en ce point. Par exemple, l’application x7→ |x|deRdansR, déjà étudiée plus haut, est continue en 0 sans y être dérivable.
10.1.2 Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point
Théorème 10.5 Soient a∈I ,λ∈Ket f,g∈ F(I,K)deux applications dérivables en a. Alors on a
Puisquef etgsont dérivables ena, ces applications sont continues ena, donc lim
x→af(x) = f(a)et lim
10.1. DÉRIVÉES
Dérivée d’une fonction réciproque
Théorème 10.7 Soient a∈I et f : I→Rune application continue et strictement monotone sur I , dérivable en a et telle que f0(a)6=0; on note ef :I →f(I)l’application qui à tout x de I associe f(x). Alors la fonction réciproque
fe−1est dérivable en f(a)et l’on a(fe−1)0(f(a)) = 1 f0(a).
DÉMONSTRATION. D’après le théorème 9.45, l’applicationef :I→f(I)est bijective et sa bijection réciproqueef−1est strictement monotone, de même sens quef, et continue sur f(I). Pour toutydef(I)\ {f(a)}, on a alors
fe−1(y)−ef−1(f(a))
y−f(a) = fe−1(y)−a f(fe−1(y))−f(a). Comme f est dérivable ena, de dérivée non nulle en ce point, et que lim
y→f(a)ef−1(y) =a, on obtient, après composition des limites,
y→limf(a)
ef−1(y)−a
f(ef−1(y))−f(a)= 1 f0(a).
L’application ef−1est donc dérivable enf(a).
Exemples.
• On sait que la restriction de la fonction sinus à l’intervalle
−π2,π2
est une bijection continue de cet intervalle sur[−1, 1]. Sa dérivée, la fonction cosinus, ne s’annule qu’aux points−π2 et π2, d’images respectives−1 et 1. Sa bijection réciproque arc sinus est donc continue sur[−1, 1]et dérivable sur]−1, 1[, de dérivée
(arcsinx)0= 1
cos(arcsinx)= 1
p1−x2, ∀x∈]−1, 1[.
• On sait que la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle[0,π]est une bijection continue de cet intervalle sur[−1, 1]. De la même façon que pour la fonction arc sinus, on montre que sa bijection réciproque arc cosinus est donc continue sur[−1, 1]et dérivable sur]−1, 1[, de dérivée
(arccosx)0= −1
sin(arccosx)= −1
p1−x2, ∀x∈]−1, 1[.
• On sait que la restriction de la fonction tangente à l’intervalle
−π2,π2
est une bijection continue de cet intervalle surR. Sa dérivée, la fonctionx7→1+tan2x, ne s’annule pas. Sa bijection réciproque arc tangente est donc dérivable surR, de dérivée
(arctanx)0= 1
1+tan2(arctanx)= 1
1+x2, ∀x∈R.
10.1.3 Application dérivée
Définition 10.8 Soit f ∈ F(I,K). On appelledérivée de f l’application qui à chaque x de I tel que f0(x)existe associe f0(x).
10.1.4 Dérivées successives
Définitions 10.9 Soit f ∈ F(I,K). On définit lesdérivées successives de f par récurrence pour tout n deN∗:
• pour a∈I , f(n)(a)est, si elle existe, la dérivée de f(n−1)en a,
• f(n)est l’application dérivée de f(n−1).
On appelledérivéenede f ena le réel f(n)(a)etapplication dérivéenede f l’application x7→f(n)(x).
On dit que f est nfois dérivable surI si et seulement si f(n)est définie sur I . Enfin, on dit que f estindéfiniment dérivable sur I si et seulement si f est n fois dérivable sur I pour tout entier positif n.
Par convention, f(0)= f et l’on note aussidnf
dxn au lieu de f(n). Comme on l’a déjà vu, on écrit souvent f0=f(1)et, de la même manière, f00= f(2)etf000=f(3).
CHAPITRE 10. DÉRIVABILITÉ
Proposition 10.10 Soientλ∈K, n∈N∗et f,g :I→Kdes applications n fois dérivables sur l’intervalle I . On a 1) f +g est n fois dérivable sur I et(f +g)(n)=f(n)+g(n).
2) λf est n fois dérivable sur I et(λf)(n)=λf(n).
3) f g est n fois dérivable sur I et on a laformule de Leibniz1suivante (f g)(n)=
DÉMONSTRATION. Tous ces résultats se démontrent par récurrence surn. Nous laissons au lecteur les preuves (aisées) de 1) et de 2).
3) Le casn=1 a été traité dans le théorème 10.5. Supposons la propriété vraie au rangn>1. Soientf etgdeux fonctions deIdansK,(n+1)fois dérivables surI. D’après l’hypothèse de récurrence,f gestnfois dérivable surIet
(f g)(n)=
n
X
k=0
Cnkf(k)g(n−k).
Ainsi,(f g)(n)apparaît comme somme de produits d’applications dérivables surIet est donc dérivable surI. On a alors (f g)(n)0
g2 estnfois dérivable surI. Finalement, f
g est(n+1)fois dérivable surI.
Nous introduisons enfin la notion declassed’une fonction.
Définition 10.11 Soit f ∈ F(I,K).
1) Soit n∈N. On dit que f estde classeCnsurI si et seulement si f est n fois dérivable sur I et f(n)est continue sur I .
2) On dit que f estde classeC∞ surI si et seulement si f est indéfiniment dérivable sur I . Pourn∈N∪ {+∞}, on noteCn(I,K)l’ensemble des applications de classeCndeI dansK.
1. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1erjuillet 1646 - 14 novembre 1716) était un philosophe, mathématicien (et plus généralement scientifique), bibliothécaire, diplomate et homme de loi allemand. Il inventa, indépendamment de Newton, le calcul intégral et différentiel et introduisit plusieurs notations mathématiques en usage aujourd’hui.