Relation avec le polyedre graphique

g[W 2 (voir gure 3.3) est valide pour le polytopeITSP (n; p). De plus, toutes les tournees internationales appartenant a I

L saturent x((S

?)) 2. On mon-trera dans la section 3.3.6.1 que l'inequation de coupe x((S

?)) 2 induit une facette du polytopeITSP(n; p).

3.3.4 Relation avec le polyedre graphique

Le polytopeITSP (n; p) n'est pas de pleine dimension; des inequations dierentes peuvent induire une m^eme facette. Soit cx  c

0 une inequation induisant une facette F du polytope ITSP (n; p), toutes les inequations fx  f

0 qui induisent la m^eme facette F, i.e. equivalentes a cx  c

0, sont donnees par les relationsf =A

?+kcetf

0 = 2I1+kc

0, avec A

? la matrice d'incidence sommet-pays,  un vecteur ligne de IRp etk un reel.

Etant donnee une facette F d'un polytope qui n'est pas de pleine dimen-sion, une question que l'on peut se poser est la suivante: quelle inequation (ou forme d'inequation) induisant la facetteF faut-il considerer? Souvent, le choix d'une forme d'inequation est etroitement associe a une relaxation du polytope considere.

Une forme particuliere d'inequation peut ^etre egalement utilisee comme un standard d'ecriture lorsqu'elle est unique. Dans ce cas, deux inequations induisant des facettes d'un polytope sont equivalentes si les ecritures stan-dards des deux inequations sont identiques modulo une multiplication des deux membres des inequations par un scalaire positif.

Pour le cas du TSP, de nombreux resultats ont ete etablis en conside-rant des formes particulieres d'inequations induisant des facettes. Les formes d'inequations les plus connues sont la forme triangulaire serree [69] et la forme normale [81] associees respectivement a la relaxation graphique et a la monotonisation du polytope du TSP.

Dans ce qui suit, on s'interesse a la forme triangulaire serree des inequa-tions induisant des facettes du polytopeITSP (n; p) et la relation qui existe entre celui-ci et le polytopeP

3.3.4.1 Forme triangulaire serree

Le resultat suivant suggere une procedure pour obtenir la forme triangu-laire serree d'une inequation induisant une facette de ITSP (n; p).

Theoreme 3.3.3

Soit cx  c

0 une inequation induisant une facette du po-lytope ITSP(n; p). Une inequation fxf

0 equivalente a cxc

0 est FTS

si et seulement si f =A

?+kc et f

0 = 2I1+kc

0, ou k est un reel positif et

 un vecteur de IRp tel que, pour un pays W

u, on a:



Wu = k

2 ( ^max fc(v; w),c(u; v),c(u; w)g); (3.3)

pour u, v et w des sommets appartenant respectivement aux pays W u

; W v et

W

w deux a deux dierents.

Preuve :

L'inequation fxf

0 est FTS si  et k verient la condition suf-sante 3.3. Supposons que fxf

0 est une inequationFTS. Les inequations fx  f

0 et cx  c

0 sont equivalentes, alors il existe un vecteur  2 IRp et un reel k tels que f =A

?+kc et f

0 = 2I1+kc

0. L'inequation fx f 0 est triangulaire, alors pour tous sommets u,v et w appartenant respectivement a des pays W

u ; W

v etW

w deux a deux dierents, on a: f(u; v)f(u; w) +f(v; w);

et en remplacant les composantes de f par leurs valeurs dans la relation f =A ?+kc, on obtient:  W u  k 2 (c(v; w),c(u; v),c(u; w)): L'inequation fx  f

0 est triangulaire serree, alors, pour tout pays W u, la relation precedente est veriee avec egalite pour au moins un triplet (u; v; w) de sommets appartenant respectivement au paysW

u et a des pays W v etW

w

deux a deux dierents. 2

Ainsi, pour trouver l'ecritureFTS d'une inequation induisant une facette du polytope ITSP(n; p), il sut de xer la constante k, par exemple a 1, puis calculer le vecteur  en utilisant la relation 3.3. La complexite d'une telle procedure est O(n

86 Etude Polyedrale

3.3.4.2 Relation avec

P 0(n; p)

Theoreme 3.3.4

Soit cx  c 0 une inequation FTS. Si cx  c 0 induit une facette non triviale de ITSP (n; p), alors elle induit egalement une facette de P

0(n; p).

Preuve :

Si n = p, le polytope ITSP(n; p) est exactement le polytope TSP (n). Dans ce cas, Naddef et Rinaldi [69] ont montre que le resultat est vrai.

Supposons que n > p. Soit I

0 un ensemble de jEj ,p tournees inter-nationales lineairements independantes appartenant a I

=

c . On construit un ensemble T

0 de ptours internationaux de la maniere suivante. Pour chaque pays W

i, i = 1; :::; p, considerons une ar^ete e = [u; v] 2
c(W i). On note w un sommet de W

i tel que c([u; v]) = c([u; w]) +c([v; w]). Soit I e une tournee internationale appartenant a I

=

c qui utilise l'ar^ete e; une telle tournee existe sinon l'inequation cx c

0 est l'inequation triviale associee a l'ar^etee. On denit le tour internationalT

i =I e ,[u; v]+[u; w]+[v; w]. On acx T i =cx Ie, alors T i appartient a T = c . L'ensemble I 0 [T 0 est un ensemble de jEj tours internationaux lineairements independants. En eet, supposons qu'un tour international de I

0 [T

0 soit une combinaison lineaire des autres tours internationaux de I

0 [T

0. Deux cas peuvent se presenter;

1 er cas:

un tour international deT

0, disonsT

1, est une combinaison lineaire des autres elements deI

0 et T 0; i.e T 1 =jEj,p X i=1  i I i+ p X j=2  j T j ; (3.4) avec  i et 

j des reels pour i= 1; :::; jEj,p etj = 2; :::; p. En additionnant les lignes associees aux ar^etes incidentes au pays W

1 dans la relation 3.4, on obtient la relation

jEj,p X i=1  i+ p X j=2  j = 2: (3.5)

Si on eectue la m^eme operation en considerant un pays W

k dierent de W 1, on obtient la relation jEj,p X  i+ p X  j + k= 1; pour k = 2; :::; p: (3.6)

En soustrayant membre a membre les relations 3.5 et 3.6, on trouve que, pour k = 2; :::; p, k=,1 et, par consequent,

p X

k=2

k=,p+ 1:

Si on additionne toutes les lignes dans la relation 3.4, on obtient la relation n+ 1 =n 0 @ jEj,p X i=1 i+ p X j=2 j 1 A+ p X j=2 j Or jEj,p X i=1 i + p X j=2 j = 2 et p X j=2

j = ,p+ 1, ce qui nous donne n = p. Ceci contredit l'hypothese initiale que n > p.

2 eme cas:

une tournee internationale de I

0 est une combinaison lineaire des autres elements de I

0 et T

0. Par hypothese, I

0 est un en-semble de tournees internationales lineairements independantes, alors au moins un element de T

0 a un coecient non nul dans cette combi-naison lineaire. Ceci nous ramene au premier cas.

L'ensembleI 0 [T 0 est un sous-ensemble deT = c dejEjtours internationaux lineairements independants. La face induite par l'inequation cx  c0 est de dimension jEj,1; l'inequation cx c0 induit une facette de P0(n; p). 2 Cette derniere preuve montre egalement que l'ecritureFTS d'une inequa-tion induisant une facette du ITSP(n; p) est unique. Ainsi, etant donnes deux inequations induisant des facettes du polytope ITSP(n; p), on peut verier en O(n3) si elles sont equivalentes ou non.

Dans le cas du TSP, on peut, evidemment, resoudre le probleme de la m^eme maniere en O(n3). Queyranne et Wang [81] ameliorent la complexite du probleme en considerant la forme normale comme ecriture standard des inequations; ils proposent une procedure en O(m).

88 Etude Polyedrale

Dans le cas duITSP, la denition de la forme normale d'une inequation est la suivante.

Denition 3.3.2

Une inequation cx c0 induisant une facette du polytope

ITSP(n; p) est dite sous forme normale par rapport a un sommet h appar-tenant a un pays Wh, ou sous formeh-normale, si elle verie les conditions suivantes:

(i) ce = 0pour toute ar^ete e2(fhg);

(ii) c0 et il existe une ar^ete e 2E(V nfhg) telle que ce = 0; (iii) min fce >0 :e2E(V)g= 1.

Etant donnes une facetteF deITSP(n; p) et un sommeth, une inegalite sous forme h-normale unique induit la facette F. La procedure en O(m) decrite par Queyranne et Wang, dans [81], pour trouver l'ecritureh-normale reste valide pour le cas du ITSP.

Le resultat suivant constitue la generalisation pour le cas du ITSP de la relation fondamentale qui existe entre les polytopes duTSP et du GTSP.

Theoreme 3.3.5

Toute facette non triviale de ITSP (n; p) est contenue dans exactement p+ 1 facettes de P0(n; p) dont p facettes sont les facettes induites par les inequations de degre.

Preuve :

SoitF une facette non triviale du polytopeITSP(n; p). La facette

F est contenue dans chacune des p facettes du polytope P0(n; p) induites par les inequations de degre. Soit fx  f0 l'inequation FTS unique qui induit la facette F. D'apres le theoreme 3.3.4, l'inequation fx  f0 induit une facette du polytopeP0(n; p) qu'on notera F1. La facetteF est contenue dans F1. Supposons qu'une facette F2 de P0(n; p) dierente de F1 et des facettes induites par les inequations de degre contient F. La facette F2 est induite par une inequation FTS gx  g0 dierente de fx  f0. Les deux inequations fx  f0 et gx  g0 sont FTS et induisent la m^eme facette

F de ITSP(n; p). Ceci contredit le fait qu'une facette de ITSP (n; p) est induite par une inequationFTS unique modulo une multiplication des deux

Dans la suite, on s'interessera aux facettes non triviales du polytope ITSP (n; p). Chacune des ces facettes peut ^etre induite par une inequa-tion FTS. On distinguera deux classes de facettes: les facettes regulieres et les facettes non regulieres.

3.3.5 Facettes regulieres

Dans le document Heuristiques et approche polyedrale du probleme de voyageur de commerce international (Page 95-100)